2019年自考公共課數(shù)論初步章節(jié)講義

2019年自考公共課數(shù)論初步章節(jié)講義【同余】一、主要內(nèi)容同余的定義、性質(zhì)、剩余類和完全剩余系、歐拉函數(shù)、簡化剩余系、歐拉定理、費爾馬小定理、循環(huán)小數(shù)、特殊數(shù)2，3，4，5，6，78，9，11，13的整除規(guī)律二、基本要求通過本章的學(xué)習(xí)，能夠掌握同余的定義和性質(zhì)，區(qū)別符號：三和=之間的差異。能利用同余的一些基本性質(zhì)實行一些計算，深刻理解完全剩余系，簡化剩余系的定義、性質(zhì)及構(gòu)造。能判斷一組數(shù)是否構(gòu)成模m的一個完全剩余系或一個簡化剩余系。能計算歐拉函數(shù)的值，掌握歐拉定理、費爾馬小定理的內(nèi)容以及證明方法。能應(yīng)用這二個定理證明相關(guān)的整除問題和求余數(shù)問題。能實行循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化。三、難點和重點同余的概念及基本性質(zhì)完全剩余系和簡化剩余系的構(gòu)造、判別歐拉函數(shù)計算、歐拉定理、費爾馬小定理的證明及應(yīng)用循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化特殊數(shù)的整除規(guī)律。四、自學(xué)指導(dǎo)同余理論是初等數(shù)論中最核心的內(nèi)容之一，由同余定義可知，若a三b(modm),則a和b被m除后有相同的余數(shù)。這里m為正整數(shù)，一般要求m大于1,稱為模，同余這個思想本質(zhì)上是將整數(shù)按模m分類，然后討論每一個類中整數(shù)所具有的共性及不同類之間的差異。第一章中用帶余除法定理將整數(shù)分類解決一些問題的方法只不過是同余理論中的一個特殊例子。從同余的定理上看，同余和整除實際上是同一回事，故同余還有二個等價的定義：①用整除來定義即m|a-b。②用等號來定義a=b+mt。值得注意a和b關(guān)于m同余是個相對概念。即它是相對于模m來講，二個整數(shù)a和b關(guān)于一個整數(shù)模m同余。則對于另一個整數(shù)模m，a和b未必會同余。從定義上看，同余和整除是同一個事情，但引進(jìn)了新的符號三后無論從問題的敘述上，還是解決問題的方法上都有了顯著的變化，同時也帶來了一些新的知識和方法。在引進(jìn)了同余的代數(shù)性質(zhì)和自身性質(zhì)后，同余符號三和等號=相比，在形式上有幾乎一致的性質(zhì)，這便于我們記憶。事實上在所有等號成立的運算中，只有除法運算是個例外，即除法的消去律不成立。為此對于同余的除法運算我們有二種除法：模不改變的除法，若ak三bk(modm),(k,m)=l，貝a三b(modm)模改變的除法，若ak三bk(modm)(k,m)二d,則a三b這個點讀者要特別注意。完全剩余系和簡化剩余系是二個全新的概念，讀者只要搞清引成這些概念的過程。因為同余關(guān)系是一個等價關(guān)系，利用等價關(guān)系能夠?qū)嵭袑⑷w整數(shù)實行分類，弄清來朧去脈，對于更深刻理解其本質(zhì)是很有好處的。完全剩余系或簡化剩余系是一個以整數(shù)為元素的集合，在每個剩余類各取一個數(shù)組成的m個不同數(shù)的集合，故一組完全剩余系包含m個整數(shù)，因為二個不同的剩余類中的數(shù)關(guān)于m兩兩不同余，故可得判別一組數(shù)是否為模m的一個完全剩余系的條件有二條為(1)個數(shù)二m關(guān)于m兩兩不同余另外要能用已知完全剩余系構(gòu)造新的完全剩余系。即有定理設(shè)(a,m)=l,x為m的完全剩余系，則ax+b也是m的完全剩余系。當(dāng)時,能由的完全剩余系和的完全剩余系,構(gòu)造完全剩余系。為討論簡化剩余系，需要引進(jìn)歐拉函數(shù)少(m),歐拉函數(shù)少(m)定義為不超過m且與m互素的正整數(shù)的個數(shù)，記為少(m),要掌握少(m)的計算公式，了解它的性質(zhì)。這些性質(zhì)最主要的是當(dāng)(a,b)=l時，屮(ab)=屮(a)屮(b)，和現(xiàn)在在剩余類中把與m互素的集合分出來，從中可在各個集合中任取一個數(shù)即可構(gòu)造模m的一個簡化剩余系。另一方面，簡化剩余數(shù)也可從模m的一個完全剩余系中得到簡化剩余系，一組完全剩余系中與m互素的的數(shù)組成的少(m)個不同數(shù)的集合稱為m簡化剩余系。同樣簡化剩余系也有一個判別條件。判別一組整數(shù)是否為模m的簡化剩余系的條件為個數(shù)=少(m)關(guān)