應變理論課程學習

位移和應變Chapter4.1

位移

第1頁/共151頁第一頁，共152頁。位移和應變Chapter4.1

位移的描述

剛體位移：整個物體在空間做剛體運動引起的，包括平動和轉(zhuǎn)動。變形：物體形狀變化引起的位移，位移發(fā)生時不僅改變物體的絕對位置，而且改變了物體內(nèi)部各個點的相對位置。一般來說，剛體位移和變形是同時出現(xiàn)的。第2頁/共151頁第二頁，共152頁。位移和應變Chapter4.1

位移

第3頁/共151頁第三頁，共152頁。位移和應變Chapter4.1

位移

分量形式：或第4頁/共151頁第四頁，共152頁。位移和應變Chapter4.1

單軸應變xdxxABA’B’u(x)u(x+dx)F第5頁/共151頁第五頁，共152頁。位移和應變Chapter4.1

單軸應變微元的長度變化：Taylor級數(shù)展開：第6頁/共151頁第六頁，共152頁。位移和應變Chapter4.1

單軸應變略去高階項：單軸應變（工程應變）定義為：第7頁/共151頁第七頁，共152頁。位移和應變

應變分量平行六面體(稱為微元體)Chapter4.1第8頁/共151頁第八頁，共152頁。

應變分量Chapter4.1位移和應變第9頁/共151頁第九頁，共152頁。Chapter4.1位移和應變第10頁/共151頁第十頁，共152頁。Chapter4.1

正應變(相對伸長度)位移和應變第11頁/共151頁第十一頁，共152頁。Chapter4.1

切應變(剪應變)位移和應變第12頁/共151頁第十二頁，共152頁。Chapter4.1

工程剪應變位移和應變第13頁/共151頁第十三頁，共152頁。位移和應變＋uyx第14頁/共151頁第十四頁，共152頁。由于位移是坐標值的連續(xù)函數(shù)，所以P點在x及y軸上的位移分量為u，v，則A點及B點的位移分量為Chapter4.1位移和應變A:B:A:B:第15頁/共151頁第十五頁，共152頁。按照多元函數(shù)Taylor級數(shù)展開，并利用小變形假設而略去二階以上的無窮小量，則得A點及B點的位移分量為Chapter4.1位移和應變第16頁/共151頁第十六頁，共152頁。Chapter4.1位移和應變＋u適用條件？第17頁/共151頁第十七頁，共152頁。Chapter4.1位移和應變第18頁/共151頁第十八頁，共152頁。小應變情況下，應變和位移的關系：Chapter4.1

幾何方程位移和應變第19頁/共151頁第十九頁，共152頁。小應變情況下，應變和位移的關系：Chapter4.1

幾何方程位移和應變第20頁/共151頁第二十頁，共152頁。小應變情況下，工程應變和位移的關系：Chapter4.1

幾何方程位移和應變第21頁/共151頁第二十一頁，共152頁。應變理論

位移和應變（小應變情況）位移和應變（一般情況）

剛體轉(zhuǎn)動應變協(xié)調(diào)方程位移場的單值條件由應變求位移Chapter4第22頁/共151頁第二十二頁，共152頁。Chapter4.2拉格朗日坐標系（或隨體坐標系、物質(zhì)坐標系）由變形前嵌入物體內(nèi)的老坐標系隨物體質(zhì)點一起變形而得到的，所以在變形過程中，質(zhì)點的坐標值始終保持不變。在物體變形中一般變?yōu)榍€坐標系。在固體力學中，大多采用拉格朗日坐標系。位移和應變第23頁/共151頁第二十三頁，共152頁。Chapter4.2位移和應變歐拉坐標系（或空間坐標系）固定在空間點上的坐標系，其基矢量不隨物體變形而變化。在流體力學中，一般采用歐拉坐標系。第24頁/共151頁第二十四頁，共152頁。Chapter4.2位移和應變u第25頁/共151頁第二十五頁，共152頁。uChapter4.2P及P點的矢徑分別為：位移和應變第26頁/共151頁第二十六頁，共152頁。Chapter4.2根據(jù)變形后不開裂或重疊的基本假設，xi和ai間應存在一一對應的互逆關系。于是，以上兩式的雅可比行列式應不為零，即位移和應變第27頁/共151頁第二十七頁，共152頁。Chapter4.2位移和應變第28頁/共151頁第二十八頁，共152頁。Chapter4.2定義P點的位移矢量：即注:彈性力學中，通常假定位移場足夠光滑，存在三階以上的連續(xù)偏導數(shù)。位移和應變

位移第29頁/共151頁第二十九頁，共152頁。Chapter4.2

描述物體位移的方法拉格朗日描述法歐拉描述法位移和應變第30頁/共151頁第三十頁，共152頁。Chapter4.2

拉格朗日描述法以物體變形前的初始構形B為參照構形，質(zhì)點變形前的坐標ai=(a1,a2,a3)為基本未知量。將變形后物體的位置x表示為a1,a2,a3的函數(shù)：

位移場u用初始坐標ai描述：位移和應變第31頁/共151頁第三十一頁，共152頁。Chapter4.2

歐拉描述法以物體變形后的新構形B為參照構形，質(zhì)點變形后的坐標xi=(x1,x2,x3)為基本未知量。將變形前物體的位置a表示為x1,x2,x3的函數(shù)：位移和應變位移場u用當前坐標xi描述：

第32頁/共151頁第三十二頁，共152頁。

變形的描述

考慮變形前的任意線元，其端點P(a1,a2,a3）及Q(a1+da1,a2+da2,a3+da3)的矢徑分別為Chapter4.2位移和應變第33頁/共151頁第三十三頁，共152頁。Chapter4.2變形后，P、Q兩點分別位移至P和Q，相應的矢徑和線元為位移和應變第34頁/共151頁第三十四頁，共152頁。Chapter4.2變形前后，線元和的長度平方為位移和應變第35頁/共151頁第三十五頁，共152頁。Chapter4.2采用拉格朗日描述法，xm=xm(ai)，

則注：一般記，稱為變形梯度張量位移和應變第36頁/共151頁第三十六頁，共152頁。Chapter4.2位移和應變第37頁/共151頁第三十七頁，共152頁。Chapter4.2記位移和應變第38頁/共151頁第三十八頁，共152頁。Chapter4.2根據(jù)商判則，E是二階張量，稱為格林應變張量。

位移和應變第39頁/共151頁第三十九頁，共152頁。Chapter4.2將上式改寫為

求導

格林應變張量的位移分量表達式位移和應變第40頁/共151頁第四十頁，共152頁。Chapter4.2引進笛卡爾坐標系中位移梯度u和u寫成實體符號：位移和應變第41頁/共151頁第四十一頁，共152頁。Chapter4.2在笛卡爾坐標系中分量形式為位移和應變第42頁/共151頁第四十二頁，共152頁。Chapter4.2

用格林應變張量表示線元的長度變化變形前，長度比：

位移和應變

第43頁/共151頁第四十三頁，共152頁。Chapter4.2長度比表示為：位移和應變其中：第44頁/共151頁第四十四頁，共152頁。Chapter4.2

用格林應變張量表示線元方向的改變變形后，線元方向為位移和應變利用任意線元變形后的方向余弦可用位移表示成

第45頁/共151頁第四十五頁，共152頁。位移和應變Chapter4.2

用格林應變表示線元間夾角余弦的變化

第46頁/共151頁第四十六頁，共152頁。

用格林應變表示線元間夾角余弦的變化

變形前的兩個任意線元和，其單位矢量分別為v和t，方向余弦分別為vi和ti，夾角余弦為Chapter4.2位移和應變第47頁/共151頁第四十七頁，共152頁。

用格林應變表示線元間夾角余弦的變化

變形后，其單位矢量分別為v和t，夾角余弦為Chapter4.2位移和應變第48頁/共151頁第四十八頁，共152頁。Chapter4.2于是上式簡化為可知，應變張量給出了物體變形狀態(tài)的全部信息。

位移和應變

用格林應變表示線元間夾角余弦的變化

第49頁/共151頁第四十九頁，共152頁。Chapter4.2以上介紹了拉格朗日描述法的推導過程和結果。類似地，若采用歐拉描述法將導出稱為阿爾曼西(Almansi,E.)應變張量

位移和應變第50頁/共151頁第五十頁，共152頁。Chapter4.2上兩式表明，若Eij

0，或eij

0，則dS=dS0。所以物體無變形（僅作剛體運動）的充分必要條件是應變張量Eij（或eij）處處為零。位移和應變第51頁/共151頁第五十一頁，共152頁。Chapter4.2Green應變張量：長度比：位移和應變夾角變化：第52頁/共151頁第五十二頁，共152頁。Chapter4.2Green應變張量：Almansi應變張量：位移和應變小應變張量：第53頁/共151頁第五十三頁，共152頁。Chapter4.2

小應變張量定義和意義對于小變形情況（位移比物體最小尺寸小得多）：由小變形假設略去二階小量位移和應變第54頁/共151頁第五十四頁，共152頁。Chapter4.2在小變形情況下，格林應變張量和阿爾曼西應變張量簡化為ij稱為柯西應變張量或小應變張量。實體形式為位移和應變第55頁/共151頁第五十五頁，共152頁。Chapter4.2在笛卡爾坐標系中，應變位移關系或幾何方程為指標形式為:位移和應變第56頁/共151頁第五十六頁，共152頁。Chapter4.2

小變形情況下結果的簡化長度比

定義

為方向線元的工程正應變.位移和應變第57頁/共151頁第五十七頁，共152頁。Chapter4.2

線元的轉(zhuǎn)動

變形后線元的方向余弦：

位移和應變第58頁/共151頁第五十八頁，共152頁。Chapter4.2對變形前與坐標軸a1平行的線元有位移和應變變形后線元的方向余弦：

第59頁/共151頁第五十九頁，共152頁。Chapter4.2變形后的單位矢量2很小位移和應變第60頁/共151頁第六十頁，共152頁。Chapter4.2同理上述兩式說明，變形前與a2和

a3軸垂直的線元，變形后分別向a2和

a3軸旋轉(zhuǎn)了和角。同理，沿a2和

a3軸的線元變形后也將發(fā)生轉(zhuǎn)動。位移和應變第61頁/共151頁第六十一頁，共152頁。a1a3a2位移和應變Chapter4.2第62頁/共151頁第六十二頁，共152頁。Chapter4.2

兩線元間的夾角變化

變形后，線元的夾角表示為位移和應變其中：第63頁/共151頁第六十三頁，共152頁。Chapter4.2略去二階小量，可得若變形前兩線元互相垂直令為變形后線元間直角的減小量，則

位移和應變第64頁/共151頁第六十四頁，共152頁。Chapter4.2工程剪應變定義為兩正交線元間的直角減小量若v,t為坐標軸方向的單位矢量，例如,

vi=1,tj=1(i≠j),其余的方向余弦均為零，則由上式得位移和應變第65頁/共151頁第六十五頁，共152頁。Chapter4.2位移和應變小應變張量e

的幾何意義是：當指標i=j時，表示沿坐標軸i方向的線元工程正應變，以伸長為正，縮短為負；當指標(i≠j)時，的兩倍表示坐標軸i與j方向兩個正交線元間的工程剪應變。以銳化（直角減?。檎?，鈍化（直角增加）為負。第66頁/共151頁第六十六頁，共152頁。Chapter4.2小應變張量的性質(zhì)

新老坐標中的應變張量分量與

滿足轉(zhuǎn)軸公式由此可根據(jù)應變分量ij求出任意方向的正應變和剪應變。因而小應變張量完全表征了一點的應變狀態(tài)。位移和應變第67頁/共151頁第六十七頁，共152頁。

應變張量在每點存在三個相互正交的主方向設v為主方向的單位矢量，則按張量主方向的定義有標量稱為應變張量的主值，即沿主方向v的主應變。與主應力類似，主應變也具有實數(shù)性，正交性和極值性。

Chapter4.2位移和應變第68頁/共151頁第六十八頁，共152頁。Chapter4.2

存在第一、第二和第三應變不變量系數(shù)行列式為零其中：分別稱為第一、第二和第三應變不變量。位移和應變第69頁/共151頁第六十九頁，共152頁。Chapter4.2

應變主軸－沿每點應變主方向的坐標線由應變主軸組成的正交曲線坐標系稱為主應變坐標系。最大工程剪應變發(fā)生在主平面內(nèi)，其值為最大與最小主應變之差。等傾線元正應變（又稱八面體正應變）等于平均正應變0。位移和應變第70頁/共151頁第七十頁，共152頁。Chapter4.2

八面體剪應變是等傾面法線與等傾面上任意線元間之剪應變的最大值。位移和應變第71頁/共151頁第七十一頁，共152頁。Chapter4.2

應變張量可分解為應變球量和應變偏量之和

即稱為球形應變張量，0

為平均正應變。

位移和應變第72頁/共151頁第七十二頁，共152頁。Chapter4.2將0ij代入上述兩式可得

因此應變球量表示等向體積膨脹或收縮，它不產(chǎn)生形狀畸變。位移和應變第73頁/共151頁第七十三頁，共152頁。Chapter4.2

稱為應變偏量。即應變偏量不產(chǎn)生體積變化，僅表示形狀畸變。

位移和應變第74頁/共151頁第七十四頁，共152頁。Chapter4.2

幾種特殊的應變場剛體位移位移和應變第75頁/共151頁第七十五頁，共152頁。Chapter4.2于是可得位移和應變第76頁/共151頁第七十六頁，共152頁。Chapter4.2

純變形存在全微分位移和應變第77頁/共151頁第七十七頁，共152頁。Chapter4.2常正應變狀態(tài)是純變形的一例位移和應變第78頁/共151頁第七十八頁，共152頁。Chapter4.2

均勻變形狀態(tài)位移和應變第79頁/共151頁第七十九頁，共152頁。Chapter4.2

直線在變形后仍為直線；相同方向的直線以同樣比例伸縮；互相平行的直線變形后仍平行；平面在變形后仍為平面；平行平面變形后仍平行；球面變形后成為橢球面。均勻變形狀態(tài)的性質(zhì)：位移和應變第80頁/共151頁第八十頁，共152頁。應變理論

位移和應變

剛體轉(zhuǎn)動應變協(xié)調(diào)方程位移場的單值條件由應變求位移正交曲線坐標系中的幾何方程Chapter4第81頁/共151頁第八十一頁，共152頁。Chapter4.3剛體轉(zhuǎn)動位移場u

變形=剛體運動

+剛體運動剛體平移=剛體轉(zhuǎn)動

+第82頁/共151頁第八十二頁，共152頁?？紤]線元PQ，變形前其端點位置是P(x)和Q(x+dx)。P點位移為u(x)，Q點位移為

其中,u(x)是線元隨P點的剛體平移，du是Q點相對于P點位移的增量，其值為Chapter4.3由商判則可知，位移梯度u為一個二階張量。剛體轉(zhuǎn)動第83頁/共151頁第八十三頁，共152頁。Chapter4.3將u分解成對稱張量與反對稱張量之和

對稱部分即為小應變張量，定義反對稱部分為稱為轉(zhuǎn)動張量

剛體轉(zhuǎn)動第84頁/共151頁第八十四頁，共152頁。Chapter4.3代入剛體轉(zhuǎn)動第85頁/共151頁第八十五頁，共152頁。Chapter4.3由反對稱張量的性質(zhì)可知：反對稱張量只有三個獨立分量12,23和31

指標記號剛體轉(zhuǎn)動第86頁/共151頁第八十六頁，共152頁。Chapter4.3轉(zhuǎn)動矢量稱為張量的反偶矢量

剛體轉(zhuǎn)動第87頁/共151頁第八十七頁，共152頁。Chapter4.3指標形式為：(b)剛體轉(zhuǎn)動第88頁/共151頁第八十八頁，共152頁。Chapter4.3剛體平移變形剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動第89頁/共151頁第八十九頁，共152頁。Chapter4.3剛體轉(zhuǎn)動圖3-8

第90頁/共151頁第九十頁，共152頁。剛體轉(zhuǎn)動Chapter4.3第91頁/共151頁第九十一頁，共152頁。Chapter4.3

對變形體來說，轉(zhuǎn)動矢量和轉(zhuǎn)動張量都是隨點而異的。若考慮整個物體作剛體轉(zhuǎn)動（＝0，=常數(shù)）的情況，則這就是理論力學中熟知的剛體轉(zhuǎn)動公式：剛體轉(zhuǎn)動第92頁/共151頁第九十二頁，共152頁。Chapter4.3

小應變假設：所以線性彈性理論僅適用于應變和轉(zhuǎn)動都很小的情況。剛體轉(zhuǎn)動第93頁/共151頁第九十三頁，共152頁。應變理論Chapter4

位移和應變（小應變情況）

位移和應變（一般情況）

剛體轉(zhuǎn)動

應變協(xié)調(diào)方程位移場的單值條件由應變求位移第94頁/共151頁第九十四頁，共152頁。小應變情況下的幾何方程：Chapter4.4應變協(xié)調(diào)方程

任意給定應變分量后，不一定能由上述方程積分求出位移，所以需要補充方程才能使原問題有解。

對于連續(xù)體，相鄰微單元之間的變形必須互相協(xié)調(diào)。即必須滿足某些條件－變形的連續(xù)條件。第95頁/共151頁第九十五頁，共152頁。應變協(xié)調(diào)方程Chapter4.4在xy平面內(nèi)各應分量之間的關系

兩式相加后，得第96頁/共151頁第九十六頁，共152頁。應變協(xié)調(diào)方程Chapter4.4同理可以找出另外兩平面內(nèi)應變分量間的關系式

第97頁/共151頁第九十七頁，共152頁。應變協(xié)調(diào)方程Chapter4.4綜合起來可得以下方程：第98頁/共151頁第九十八頁，共152頁。應變協(xié)調(diào)方程Chapter4.4不同平面內(nèi)的應變分量也存在一定的關系,于是下面推導不同平面內(nèi)的應變分量之間的關系第99頁/共151頁第九十九頁，共152頁。應變協(xié)調(diào)方程Chapter4.4同理，可以求出另外兩個關系式：第100頁/共151頁第一百頁，共152頁。應變協(xié)調(diào)方程Chapter4.4共得到六個應變協(xié)調(diào)方程：第101頁/共151頁第一百零一頁，共152頁。應變協(xié)調(diào)方程Chapter4.4

應變協(xié)調(diào)方程是單連通域小變形連續(xù)的充分必要條件，這樣的六個應變分量將不能任意給定，他們必須滿足以上六個約束方程。以上六式不是完全獨立的，它們只相當于三個獨立的方程。第102頁/共151頁第一百零二頁，共152頁。應變協(xié)調(diào)方程應變協(xié)調(diào)方程的另外一種推導方法小應變張量ij的二階偏導數(shù)為Chapter4.4指標符號互換：第103頁/共151頁第一百零三頁，共152頁。同樣經(jīng)過指標對換可以得到

Chapter4.4應變協(xié)調(diào)方程第104頁/共151頁第一百零四頁，共152頁。當位移場單值連續(xù)，并存在三階以上連續(xù)偏導數(shù)時，根據(jù)偏導數(shù)與求導順序無關，可得

應變協(xié)調(diào)方程：

Chapter4.4應變協(xié)調(diào)方程第105頁/共151頁第一百零五頁，共152頁。由于在推導中只用了連續(xù)函數(shù)的求導順序無關性，所以上式的本質(zhì)是變形連續(xù)條件，常稱應變協(xié)調(diào)方程。當應變分量不是任意指定，而是根據(jù)幾何方程由單值連續(xù)的位移場確定時，上式是各應變分量二階偏導數(shù)間的恒等式，故又稱為圣維南(Saint-Venant)恒等式。在數(shù)學上，上式是能由幾何方程積分出單值連續(xù)位移場的必要條件，簡稱可積條件。Chapter4.4應變協(xié)調(diào)方程第106頁/共151頁第一百零六頁，共152頁。

變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學意義要使三個位移分量為未知函數(shù)的六個幾何方程不相矛盾，則應變分量必須滿足的必要條件。

而應變協(xié)調(diào)方程的物理意義可以從彈性體的變形連續(xù)作出解釋。假如物體分割成無數(shù)個微分六面體單元，變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象。

Chapter4.4應變協(xié)調(diào)方程第107頁/共151頁第一百零七頁，共152頁。Chapter4.4應變協(xié)調(diào)方程的個數(shù)上式中含有四個自由指標，共表示81個方程，但其中有不少是恒等式。不難驗證下述關系關于j，k反對稱：812796應變協(xié)調(diào)方程關于i，l反對稱：關于ij，kl對稱：

Lmn為對稱二階張量第108頁/共151頁第一百零八頁，共152頁。Chapter4.4應變協(xié)調(diào)方程

應變協(xié)調(diào)方程的實體表示：：第109頁/共151頁第一百零九頁，共152頁。Chapter4.4應變協(xié)調(diào)方程第110頁/共151頁第一百一十頁，共152頁。Chapter4.4在直角坐標系中，表示為：應變協(xié)調(diào)方程第111頁/共151頁第一百一十一頁，共152頁。Chapter4.4

小結物體的變形可以用三個位移分量來描述，也可用六個應變分量來描述。當用位移描述時，只要位移函數(shù)連續(xù)且存在三階以上連續(xù)偏導數(shù)，協(xié)調(diào)方程就自動滿足。當用應變描述時，六個應變分量必須首先滿足協(xié)調(diào)方程。只有從協(xié)調(diào)的應變場才能積分幾何方程，得到相應的位移場。

應變協(xié)調(diào)方程第112頁/共151頁第一百一十二頁，共152頁。應變理論Chapter4

位移和應變（小應變情況）

位移和應變（一般情況）

剛體轉(zhuǎn)動應變協(xié)調(diào)方程

位移場的單值條件由應變求位移第113頁/共151頁第一百一十三頁，共152頁。Chapter4.5位移場的單值條件

概念若域內(nèi)的任意閉曲線能通過在域內(nèi)的連續(xù)變形而收縮成一個點，則這種域稱為單連通域，否則為多連通域。

對二維問題，單連通域就是實心域，多連通域為空心域；但這個概念不能簡單地推廣到三維問題中去，例如內(nèi)含空洞的空心球體是一個單連通域，僅當孔洞貫穿三維體成管道時才是多連通域。第114頁/共151頁第一百一十四頁，共152頁。Chapter4.5單連通域:多連通域:位移場的單值條件第115頁/共151頁第一百一十五頁，共152頁。Chapter4.5n連通域有n個連接物體相鄰部分的通道，如果用橫貫通道的截面把n-1個通道切斷，就化為單連通域，簡稱基域。這些假想截面稱為切口。所以一個n連通域就相當于一個單連通的基域加n-1個切口。位移場的單值條件第116頁/共151頁第一百一十六頁，共152頁。Chapter4.5

位移場的單值條件單連通域上節(jié)從位移的單值連續(xù)性出發(fā)導出了應變協(xié)調(diào)方程，從而證明應變協(xié)調(diào)是保證位移單值連續(xù)的必要條件。下面將證明單連通域中應變協(xié)調(diào)方程是位移場函數(shù)單值的充分條件。位移場的單值條件第117頁/共151頁第一百一十七頁，共152頁。Chapter4.5位移場的單值條件

單連通域上位移場的單值條件第118頁/共151頁第一百一十八頁，共152頁。Chapter4.5位移場的單值條件第119頁/共151頁第一百一十九頁，共152頁。Chapter4.5x1x2x3Po位移場的單值條件第120頁/共151頁第一百二十頁，共152頁。Chapter4.5位移場的單值條件x1x2x3Po第121頁/共151頁第一百二十一頁，共152頁。Chapter4.5其中位移場的單值條件x1x2x3Po單值性條件：即：第122頁/共151頁第一百二十二頁，共152頁。Chapter4.5x1x2x3ALdlda由Stokes公式：位移場的單值條件第123頁/共151頁第一百二十三頁，共152頁。Chapter4.5位移場的單值條件因此，位移的單值性條件是應變滿足協(xié)調(diào)方程?；颍旱?24頁/共151頁第一百二十四頁，共152頁。Chapter4.5等價形式協(xié)調(diào)方程位移場的單值條件第125頁/共151頁第一百二十五頁，共152頁。Chapter4.5

多連通域位移場的單值條件

對于多連通域的情況，可先用n－1個切口將連通域化為單連通的基域。根據(jù)以上討論，只要滿足協(xié)調(diào)方程，就能保證基域上位移場的單值連續(xù)性。但變形后，在切口處仍可能出現(xiàn)開裂或重疊現(xiàn)象。所以對于多連通域，除了滿足協(xié)調(diào)方程外，還應補充保證切口處位移單值連續(xù)的附加條件。

位移場的單值條件第126頁/共151頁第一百二十六頁，共152頁。Chapter4.5證明：n連通域中應附加(n-1)個位移場函數(shù)的單值性條件

x1x2x3A+A-LLkLk’B-B+位移場的單值條件第127頁/共151頁第一百二十七頁，共152頁。Chapter4.5i

=1,2,3,k=1,2…n-1位移場的單值條件第128頁/共151頁第一百二十八頁，共152頁。Chapter4.5轉(zhuǎn)動單值性條件i

=1,2,3,k=1,2…n-1或位移場的單值條件第129頁/共151頁第一百二十九頁，共152頁。應變理論Chapter4

位移和應變（小應變情況）

位移和應變（一般情況）

剛體轉(zhuǎn)動應變協(xié)調(diào)方程位移場的單值條件

由應變求位移第130頁/共151頁第一百三十頁，共152頁。由應變求位移Chapter4.6本節(jié)介紹笛卡爾坐標系中，由應變和幾何方程求位移分量u1,u2,u3的方法。第131頁/共151頁第一百三十一頁，共152頁。由應變求位移Chapter4.6

線積分法直接積分法

第132頁/共151頁第一百三十二頁，共152頁。Chapter4.6

線積分法求位移分量

由于因此只要導出u1三個一階偏導數(shù)用應變分量的表達式，就可由上式積分出位移u1。由應變求位移第133頁/共151頁第一百三十三頁，共152頁。Chapter4.6由幾何方程得

已用應變分量表示，但和中還含有未知的位移偏導數(shù)。先處理由應變求位移第134頁/共151頁第一百三十四頁，共152頁。Chapter4.6。

由應變求位移第135頁/共151頁第一百三十五頁，共152頁。Chapter4.6其中C1為待定積分常數(shù)。由應變求位移第136頁/共151頁第一百三十六頁，共152頁。Chapter4.6用同樣的思路可求得偏導數(shù)，然后代入下式就能積分出位移分量u1(x1,x2,x3)。只要應變滿足協(xié)調(diào)方程，以上各式中的線積分均與路徑無關，一般取與坐標軸平行的折線為積分路徑?？捎猛瑯拥姆椒ㄟM一步求得位移分量u2和u3。

由應變求位移第137頁/共151頁第一百三十七頁，共152頁。Chapter4.6

求位移u1的方法