2018版高中數(shù)學(xué)第1章常用邏輯用語章末復(fù)習(xí)提升學(xué)案版2-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE13學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第1章常用邏輯用語1．要注意全稱命題、存在性命題的自然語言之間的轉(zhuǎn)換．2．正確理解“或”的意義，日常用語中的“或”有兩類用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我們這里僅研究“可兼”的“或"．3．有的命題中省略了“且”“或”，要正確區(qū)分．4．常用“都是”表示全稱肯定,它的存在性否定為“不都是”，兩者互為否定；用“都不是”表示全稱否定，它的存在性肯定可用“至少有一個是”來表示．5．在判定充分條件、必要條件時，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p,不能顧此失彼．證明題一般是要求就充要條件進(jìn)行論證,證明時要分兩個方面，防止將充分條件和必要條件的證明弄混．6．否命題與命題的否定的區(qū)別．對于命題“若p，則q”，其否命題形式為“若非p，則非q”，其命題的否定為“若p，則非q”，即否命題是將條件、結(jié)論同時否定，而命題的否定是只否定結(jié)論．有時一個命題的敘述方式是簡略式,此時應(yīng)先分清條件p，結(jié)論q,改寫成“若p，則q”的形式再判斷．1．轉(zhuǎn)化與化歸思想將所研究的對象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對象的思想方法稱之為轉(zhuǎn)化與化歸思想．一般將有待解決的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使之成為大家熟悉的或容易解決的問題模式．本章主要體現(xiàn)原命題與其逆否命題之間的轉(zhuǎn)化、邏輯語言與一般數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化等．通過轉(zhuǎn)化,使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化．例1判斷下列命題的真假．(1）對角線不相等的四邊形不是等腰梯形；（2)若x?A∩B,則x?A且x?B；（3)若x≠y或x≠－y，則｜x|≠|(zhì)y｜。解（1)該命題的逆否命題：“若一個四邊形是等腰梯形，則它的對角線相等”，它為真命題,故原命題為真．（2）該命題的逆否命題：“若x∈A或x∈B，則x∈A∩B”，它為假命題,故原命題為假．(3）該命題的逆否命題：“若｜x|＝｜y｜，則x＝y(tǒng)且x＝－y"，它為假命題,故原命題為假．跟蹤訓(xùn)練1下列各題中，p是q的什么條件？（1)p：圓x2＋y2＝r2與直線ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2）r2(其中r>0）；（2）p：x＋y≠－2，q:x，y不都是－1。解（1）若圓x2＋y2＝r2與直線ax＋by＋c＝0相切，圓心到直線ax＋by＋c＝0的距離等于r，即r＝eq\f（｜c(diǎn)|，\r(a2＋b2)）,所以c2＝（a2＋b2）r2;反過來，若c2＝(a2＋b2)r2，則eq\f(｜c(diǎn)|,\r（a2＋b2)）＝r成立,說明圓x2＋y2＝r2與直線ax＋by＋c＝0相切，故p是q的充要條件．(2）非q：x＝－1且y＝－1，非p:x＋y＝－2?！叻莙?非p,而非pD?/非q，∴非q是非p的充分不必要條件，從而，p是q的充分不必要條件．例2設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0，,x2＋2x－8>0。))（1）若a＝1,且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)若非p是非q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)由x2－4ax＋3a2〈0得(x－3a）(x－又a〉0,所以a〈x〈3a當(dāng)a＝1時，1〈x〈3，即p為真命題時,實(shí)數(shù)x的取值范圍是1〈x<3。由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0，,x2＋2x－8>0，）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤3，，x〈－4或x>2。）)即2<x≤3。所以q為真時，實(shí)數(shù)x的取值范圍是2〈x≤3.若p∧q為真，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（1<x〈3，，2<x≤3))?2<x<3，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(2，3)．(2)非p是非q的充分不必要條件,即非p?非q且非qD?/非p。設(shè)A＝｛x|x≤a或x≥3a｝，B＝{x|x≤2或x則AB。所以0<a≤2且3a〉3，即1<a所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2］．跟蹤訓(xùn)練2命題p：?x∈R，x2＋1>a，命題q：a2－4〉0，若p∨q為真,p∧q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解若p為真命題，則a〈1；若q為真命題，則a2〉4,即a>2或a<－2。由已知條件知：p與q一真一假，當(dāng)p為真,q為假時有：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a<1,,－2≤a≤2,))所以－2≤a<1，當(dāng)q為真,p為假時有:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥1，,a>2或a〈－2,))所以a〉2，綜上所述,－2≤a〈1或a〉2.2．分類討論思想分類討論又稱邏輯劃分，是中學(xué)數(shù)學(xué)常用思想方法之一,分類討論的關(guān)鍵是邏輯劃分標(biāo)準(zhǔn)要準(zhǔn)確，從而對問題進(jìn)行分類求解，常用邏輯用語一章所涉及的不等式大多是含有字母參數(shù)的，對這類含參數(shù)的問題要進(jìn)行分類討論，討論時要做到不重復(fù)、不遺漏．例3已知a>0，a≠1,設(shè)p：函數(shù)y＝loga（x＋1）在x∈(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減；q:曲線y＝x2＋（2a－3）x＋1與x軸交于不同的兩點(diǎn)，如果p∨q為真，p∧q為假，求a解方法一由題意知，p和q有且只有一個為真．p為真時，0＜a＜1；∵y＝x2＋（2a－3)x＋1與x軸有兩個不同交點(diǎn)，∴Δ＝（2a－3)2－4＞0，得a＜eq\f(1，2）或a＞eq\f(5,2)，即q為真時，0<a＜eq\f（1,2）或a＞eq\f（5，2)。（1）當(dāng)p為真，且q為假時，a∈（0,1)∩([eq\f（1,2）,1）∪（1，eq\f(5，2）]），即a∈[eq\f（1,2)，1）．(2)當(dāng)p為假，且q為真時，a∈(1，＋∞)∩eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0,\f(1，2）∪\f(5，2），＋∞)）,即a∈(eq\f（5,2)，＋∞）．綜上，a的取值范圍為［eq\f（1,2)，1)∪(eq\f(5，2)，＋∞)．方法二∵A＝｛a|p(a）｝＝{a｜0<a〈1｝，B＝{a|q(a)}＝{a｜0<a<eq\f(1，2）或a〉eq\f(5，2)｝，∴p和q有且只有一個為真?a∈A∪B且a?A∩B，故a的取值范圍為[eq\f(1，2），1)∪（eq\f（5,2)，＋∞)．跟蹤訓(xùn)練3命題p:函數(shù)f(x）＝lg(ax2＋2x＋1）的定義域?yàn)镽；命題q:函數(shù)g（x)＝eq\f（x＋a，x－2)在（2，＋∞)上是增函數(shù)．如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解當(dāng)p為真命題時,ax2＋2x＋1〉0恒成立，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a>0，,Δ〈0，））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a〉0，，4－4a<0，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a>0,,a〉1，)）∴a>1。當(dāng)q為真命題時,g(x)＝eq\f(x－2＋2＋a,x－2)＝1＋eq\f（a＋2,x－2）在（2,＋∞）上是增函數(shù)，∴a＋2〈0，即a〈－2?！遬∨q為真命題，p∧q為假命題,∴p與q一真一假，∴a的取值范圍是（－∞，－2)∪(1，＋∞）．3．?dāng)?shù)形結(jié)合思想“數(shù)形結(jié)合”指的是在處理數(shù)學(xué)問題時,能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形有機(jī)結(jié)合起來思索，促使抽象思維和形象思維的和諧復(fù)合，通過對規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析,化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到解決．本章中數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在命題真假的判斷、充要條件的判定上．例4設(shè)函數(shù)f(x)＝｜log2x|，則f(x)在區(qū)間(m,2m＋1)(m答案0<m〈1解析作出函數(shù)f（x)＝|log2x|的圖象如圖所示，可得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（0〈m〈1,,2m＋1>1，）)故0〈m〈1即為f（x）在區(qū)間（m，2m＋1）(m〉0）上不是單調(diào)函數(shù)的充要條件．故填0<m跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f（x）＝｜x－2｜＋1，g(x）＝kx.若方程f（x)＝g(x）有兩個不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案(eq\f(1，2），1)解析先作出函數(shù)f(x)＝｜x－2|＋1的圖象，如圖所示,當(dāng)直線g（x）＝kx與直線AB平行時斜率為1，當(dāng)直線g(x)＝kx過A點(diǎn)時斜率為eq\f（1，2)，故f(x）＝g（x）有兩個不相等的實(shí)根時，k的取值范圍為(eq\f（1，2），1）．4．反證法反證法是一種間接證法，它回避了從正面直接證明命題，它從命題結(jié)論的反面出發(fā),引出矛盾，從而肯定命題的結(jié)論．從邏輯角度看，命題“若p，則q”的否定是“若p，則非q”,由此進(jìn)行推理，如果產(chǎn)生矛盾，那么就說明“若p，則非q"為假，從而可以得出“若p，則q”為真,達(dá)到證明的目的．反證法是高中數(shù)學(xué)解題的一種基本方法．例5如果a，b，c，d為實(shí)數(shù)，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd〉1，求證a，b，c，d中至少有一個負(fù)數(shù)．證明假設(shè)a，b，c，d中至少有一個負(fù)數(shù)不成立,則a，b，c，d都為非負(fù)數(shù)，即a≥0，b≥0,c≥0，d≥0.因?yàn)閍＋b＝1，c＋d＝1,所以(a＋b)(c＋d)＝1，即(ac＋bd）＋(bc＋ad）＝1。因?yàn)閍，b，c，d均為非負(fù)數(shù)，于是bc＋ad≥0，故由上式可以知道ac＋bd≤1，這與已知條件的ac＋bd>1矛盾,所以假設(shè)不成立，故a,b，c，d中至少有一個負(fù)數(shù)．跟蹤訓(xùn)練5用反證法證明：鈍角三角形最大邊上的中線小于該邊長的一半．已知：在△ABC中,∠BAC〉90°，D是BC邊上的中點(diǎn)，求證:AD<eq\f(1,2）BC（如圖所示）．證明假設(shè)AD≥eq\f（1，2）BC.①若AD＝eq\f（1,2)BC，由平面幾何知識“如果三角形一邊上的中線等于該邊長的一半，那么這條邊所對的角為直角”知∠BAC＝90°，與題設(shè)矛盾．所以AD≠eq\f(1,2）BC.②若AD〉eq\f(1,2)BC，因?yàn)锽D＝DC＝eq\f（1,2)BC，所以在△ABD中,AD>BD,從而∠B〉∠BAD，同理∠C>∠CAD。所以∠B＋∠C>∠BAD＋∠CAD，即∠B＋∠C>∠BAC。因?yàn)椤螧＋∠C＝180°－∠BAC，所以180°－∠BAC>∠BAC.故∠BAC<90°，與題設(shè)矛盾．由①②知AD<eq\f（1,2)BC。1.對于命題的判斷問題，在考試中往往涉及多個知識點(diǎn)綜合進(jìn)行考查．考查知識點(diǎn)涉及邏輯聯(lián)結(jié)詞、三角函數(shù)、不等式、立體幾何等諸多內(nèi)容，得到命題者的青睞．該部分的考查重點(diǎn)有兩個：（1）是綜合其他知識,考查一些簡單命題真假的判斷；（2)是考查命題四種形式之間的關(guān)系．體現(xiàn)了考綱對“命題、充分條件、三角函數(shù)的有界性、不等式的性質(zhì)以及空間線面關(guān)系等”的要求．解決此類問題的關(guān)鍵是靈活根據(jù)題干和選項進(jìn)行判斷,主要是選出錯誤的命題，所以可以利用特例法確定選項，即只需舉出一個反例即可說明命題是假命題,對于較難判斷的問題，可以轉(zhuǎn)化為它的逆否命題來解決．2．充分條件、必要條件和充要條件是對命題進(jìn)行研究和考查的重要途徑．通過對命題條件和結(jié)論的分析，考查對數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確記憶和深層次的理解．3．正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，準(zhǔn)確把握含有三個邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的判斷方法，熟記規(guī)律：已知命題p、q，只要有一個命題為假，p∧q就為假；只要有一個為真，p∨q就為真，非p與p真假相對．另外注意命題的否定與命題的否命題的區(qū)別，這是兩個很容易混淆的概念，要準(zhǔn)確