正交試驗方差分析

一、正交設(shè)計原理和方法

(一)正交設(shè)計的基本概念

正交設(shè)計是利用正交表來安排多因素試驗、分析試驗結(jié)果的一種設(shè)計方法。它從多因素試驗的全部水平組合中挑選部分有代表性的水平組合進行試驗，通過對這部分試驗結(jié)果的分析了解全面試驗的情況，找出最優(yōu)水平組合。第1頁/共73頁第一頁，共74頁。

例如，研究氮、磷、鉀肥施用量對某小麥品種產(chǎn)量的影響：

A因素是氮肥施用量，設(shè)A1、A2、A33個水平；

B因素是磷肥施用量，設(shè)B1、B2、B33個水平；

C因素是鉀肥施用量，設(shè)C1、C2、C33個水平。這是一個3因素每個因素3水平的試驗，各因素的水平之間全部可能的組合有27種。

第2頁/共73頁第二頁，共74頁。

如果進行全面試驗，可以分析各因素的效應(yīng)，交互作用，也可選出最優(yōu)水平組合。但全面試驗包含的水平組合數(shù)較多，工作量大，由于受試驗場地、經(jīng)費等限制而難于實施。

如果試驗的主要目的是尋求最優(yōu)水平組合，則可利用正交設(shè)計來安排試驗。

第3頁/共73頁第三頁，共74頁。

正交設(shè)計的基本特點是：用部分試驗來代替全面試驗，通過對部分試驗結(jié)果的分析，了解全面試驗的情況。

正交試驗是用部分試驗來代替全面試驗，它不可能像全面試驗?zāi)菢訉Ω饕蛩匦?yīng)、交互作用一一分析；當交互作用存在時，有可能出現(xiàn)交互作用的混雜。第4頁/共73頁第四頁，共74頁。表133試驗的全面試驗方案C1C2C3A1B1A1B1C1A1B1C2A1B1C3B2A1B2C1A1B2C2A1B2C3B3A1B3C1A1B3C2A1B3C3A2B1A2B1C1A2B1C2A2B1C3B2A2B2C1A2B2C2A2B2C3B3A2B3C1A2B3C2A2B3C3A3B1A3B1C1A3B1C2A3B1C3B2A3B2C1A3B2C2A3B2C3B3A3B3C1A3B3C2A3B3C3第5頁/共73頁第五頁，共74頁。

圖13因素每個因素3水平試驗點的均衡分布圖第6頁/共73頁第六頁，共74頁。

正交設(shè)計就是從全面試驗點（水平組合）中挑選出有代表性的部分試驗點（水平組合）來進行試驗。圖1中標有‘’9個試驗點，就是利用正交表L9(34)從27個試驗點中挑選出來的9個試驗點。即：

(1)A1B1C1(2)A1B2C2(3)A1B3C3

(4)A2B1C2(5)A2B2C3(6)A2B3C1(7)A3B1C3(8)A3B2C1(9)A3B3C2第7頁/共73頁第七頁，共74頁。

上述選擇，保證了A因素的每個水平與B因素、C因素的各個水平在試驗中各搭配一次。從圖1中可以看到，9個試驗點分布是均衡的，在立方體的每個平面上有且僅有3個試驗點；每兩個平面的交線上有且僅有1個試驗點。

9個試驗點均衡地分布于整個立方體內(nèi)，有很強的代表性，能夠比較全面地反映全面試驗的基本情況。

第8頁/共73頁第八頁，共74頁。

正交表是一種特別的表格，是正交設(shè)計的基本工具。我們只介紹它的記號、特點和使用方法。二、正交表及其特性,

(一)正交表

記號及含義正交表的列數(shù)（最多能安排的因素個數(shù)，包括交互作用、誤差等）正交表的行數(shù)（需要做的試驗次數(shù)）各因素的水平數(shù)（各因素的水平數(shù)相等）q正交表的代號第9頁/共73頁第九頁，共74頁。如表示？表示各因素的水平數(shù)為2，做8次試驗，最多考慮7個因素（含交互作用）的正交表。第10頁/共73頁第十頁，共74頁。表2L8(27)正交表第11頁/共73頁第十一頁，共74頁。2水平正交表還有L4(23)、L16(215)等；

3水平正交表有L9(34)、L27(313)、…、等。

(二)正交表的特性

1、任一列中，不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相同

例如L8(27)中不同數(shù)字只有1和2，它們各出現(xiàn)4次；L9(34)中不同數(shù)字有1、2和3，它們各出現(xiàn)3次。第12頁/共73頁第十二頁，共74頁。

2、任兩列中，同一橫行所組成的數(shù)字對出現(xiàn)的次數(shù)相同

例如L8(27)的任兩列中(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)各出現(xiàn)兩次；L9(34)任兩列中(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)各出現(xiàn)1次。即每個因素的一個水平與另一因素的各個水平互碰次數(shù)相等，表明任意兩列各個數(shù)字之間的搭配是均勻的。

第13頁/共73頁第十三頁，共74頁。

用正交表安排的試驗，具有均衡分散和整齊可比的特點。

均衡分散，是指用正交表挑選出來的各因素水平組合在全部水平組合中的分布是均衡的。由圖1可以看出，在立方體中，任一平面內(nèi)都包含3個試驗點，任兩平面的交線上都包含1個試驗點。

第14頁/共73頁第十四頁，共74頁。

整齊可比是指每一個因素的各水平間具有可比性。因為正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含著另外因素的各個水平，當比較某因素不同水平時，其它因素的效應(yīng)都彼此抵消。如在A、B、C3個因素中，A因素的3個水平A1、A2、A3

條件下各有B、C的3個不同水平，即：第15頁/共73頁第十五頁，共74頁。

在這9個水平組合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3個水平，雖然搭配方式不同，但B、C皆處于同等地位，當比較A因素不同水平時，B因素不同水平的效應(yīng)相互抵消，C因素不同水平的效應(yīng)也相互抵消。所以A因素3個水平間具有可比性。同樣，B、C因素3個水平間亦具有可比性。第16頁/共73頁第十六頁，共74頁。(三)正交表的類別

1、相同水平正交表各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字相同的正交表稱為相同水平正交表。

L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大數(shù)字為2，稱為兩水平正交表；

L9(34)、L27(313)等各列中最大數(shù)字為3，稱為3水平正交表。

第17頁/共73頁第十七頁，共74頁。

2、混合水平正交表各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字不完全相同的正交表稱為混合水平正交表。

L8(41×24)表中有一列最大數(shù)字為4，有4列最大數(shù)字為2。也就是說該表可以安排1個4水平因素和4個2水平因素。

L16(44×23)，L16(4×212)等都混合水平正交表。第18頁/共73頁第十八頁，共74頁。三、正交設(shè)計方法

【例1】

某水稻栽培試驗選擇了3個水稻優(yōu)良品種(A)：二九矮、高二矮、窄葉青，3種密度(B)：15、20、25（萬苗/666.7m2）；3種施氮量(C)：3、5、8（kg/666.7m2），試采用正交設(shè)計安排一個試驗方案。

(一)確定試驗因素及其水平,列出因素水平表

第19頁/共73頁第十九頁，共74頁。水平因素品種(A)

密度(B)

施氮量(C)1二九矮(A1)15(B1)3(C1)2高二矮(A2)20(B2)5(C2)3窄葉青

(A3)25(B3)8(C3)表3因素水平表第20頁/共73頁第二十頁，共74頁。

(二)選用合適的正交表

根據(jù)因素、水平及需要考察的交互作用的多少來選擇合適的正交表。選用正交表的原則是：既要能安排下試驗的全部因素(包括需要考查的交互作用)，又要使部分水平組合數(shù)（處理數(shù)）盡可能地少。第21頁/共73頁第二十一頁，共74頁。

一般情況下，試驗因素的水平數(shù)應(yīng)恰好等于正交表記號中括號內(nèi)的底數(shù)；因素的個數(shù)（包括需要考查交互作用）應(yīng)不大于正交表記號中括號內(nèi)的指數(shù)；各因素及交互作用的自由度之和要小于所選正交表的總自由度，以便估計試驗誤差。若各因素及交互作用的自由度之和等于所選正交表總自由度，則可采用有重復正交試驗來估計試驗誤差。第22頁/共73頁第二十二頁，共74頁。

此例有3個3水平因素，若不考察交互作用，則各因素自由度之和為因素個數(shù)×(水平數(shù)-1)=3×(3-1)=6，小于L9(34)總自由度9-1=8，故可以選用L9(34)；

若要考察交互作用，則應(yīng)選用L27(313)，此時所安排的試驗方案實際上是全面試驗方案。

第23頁/共73頁第二十三頁，共74頁。

(三)表頭設(shè)計

表頭設(shè)計就是把挑選出的因素和要考察的交互作用分別排入正交表的表頭適當?shù)牧猩?。在不考察交互作用時，各因素可隨機安排在各列上；若考察交互作用，就應(yīng)按該正交表的交互作用列表安排各因素與交互作用。

第24頁/共73頁第二十四頁，共74頁。表2L8(27)正交表第25頁/共73頁第二十五頁，共74頁。

L8(27)表頭設(shè)計因素數(shù)列號12345673ABA×BCA×CB×C4ABA×BC×DCA×CB×DB×CA×DD4ABC×DA×BCB×DA×CDB×CA×D5AD×EBC×DA×BC×ECB×DA×CB×EDA×EB×CEA×B第26頁/共73頁第二十六頁，共74頁。表4表頭設(shè)計列號1234因素ABC空

此例不考察交互作用，可將品種(A)、密度(B)和施氮量(C)依次安排在L9(34)的第1、2、3列上，第4列為空列，見表4。第27頁/共73頁第二十七頁，共74頁。

(四)列出試驗方案

把正交表中安排因素的各列(不包含欲考察的交互作用列)中的每個數(shù)字依次換成該因素的實際水平，就得到一個正交試驗方案。第28頁/共73頁第二十八頁，共74頁。

表5正交試驗方案試驗號因素ABC12311(二九矮)1(15)1(3)21(二九矮)2(20)2(5)31(二九矮)3(25)3(8)42(高二矮)1(15)2(5)52(高二矮)2(20)3(8)62(高二矮)3(25)1(3)73(窄葉青)1(15)3(8)83(窄葉青)2(20)1(3)93(窄葉青)3(25)2(5)第29頁/共73頁第二十九頁，共74頁。第二節(jié)正交試驗資料的方差分析

若各號試驗處理都只有一個觀測值，則稱之為單個觀測值正交試驗；若各號試驗處理都有兩個或兩個以上觀測值，則稱之為有重復觀測值正交試驗。

第30頁/共73頁第三十頁，共74頁。

一、單個觀測值正交試驗資料的方差分析

對【例1】用L9(34)安排試驗方案后，各號試驗只進行一次，試驗結(jié)果列于表6。試對其進行方差分析。

第31頁/共73頁第三十一頁，共74頁。表6正交試驗結(jié)果計算表試驗號因素產(chǎn)量ABC(1)(2)(3)1111340.0(x1)2122422.5(x2)3133439.0(x3)4212360.0(x4)5223492.5(x5)6231439.0(x6)7313392.0(x7)8321363.5(x8)9332462.5(x9)第32頁/共73頁第三十二頁，共74頁。T11201.51092.01142.53711.0(T)T21291.51278.51245.0T31218.01340.51323.5

400.50364.00380.83430.50426.17415.00406.00446.83441.17

Ti為各因素同一水平試驗指標之和，T為9個試驗號的試驗指標之和；

為各因素同一水平試驗指標的平均數(shù)。

第33頁/共73頁第三十三頁，共74頁。

該試驗的9個觀測值總變異由A因素、B因素、C因素及誤差變異4部分組成，因而進行方差分析時平方和與自由度的分解式為：

SST=SSA+SSB+SSC+SSe

dfT=dfA+dfB+dfC+dfe

用n表示試驗(處理)數(shù)；a、b、c表示A、B、C因素的水平數(shù)；ka、kb、kc表示A、B、C因素的各水平重復數(shù)。本例，n=9、a=b=c=3、ka=kb=kc=3。

第34頁/共73頁第三十四頁，共74頁。

1、計算各項平方和與自由度矯正數(shù)

C=T2/n=37112/9=1530169.00

總平方和

SST=Σx2-C=（340.02+422.52+…+462.52）

-1530169.00=21238.00

第35頁/共73頁第三十五頁，共74頁。A因素平方和

SSA=Σ/ka-C

=(1201.52+1291.52+1218.02)/3-1530169.00=1530.50

B因素平方和

SSB

=Σ/kb-C

=(1092.02+1278.52+1340.52)/3-1530169.00=11153.17

第36頁/共73頁第三十六頁，共74頁。

C因素平方和

SSC=ΣT2C/kc-C

=(1142.52+1245.02+1323.52)/3-1530169.00=5492.17

誤差平方和

SSe=SST-SSA-SSB-SSC=21238.00-1530.5-11153.17-5492.17=3062.16第37頁/共73頁第三十七頁，共74頁。

總自由度dfT=n-1=9-1=8

A因素自由度dfA=a-1=3-1=2

B因素自由度dfB=b-1=3-1=2

C因素自由度dfC=c-1=3-1=2

誤差自由度dfe=dfT-dfA-dfB-dfC

=8-2-2-2=2第38頁/共73頁第三十八頁，共74頁。

2、列出方差分析表，進行F檢驗表7

方差分析表變異來源SSdfMSFF0.05(2,2)品種(A)1530.502765.25<1

19.00密度(B)11153.1725576.593.64ns施氮量(C)5492.1722746.091.79ns誤差3062.1621531.08總變異21238.008第39頁/共73頁第三十九頁，共74頁。表6正交試驗結(jié)果計算表試驗號因素產(chǎn)量ABC(1)(2)(3)1111340.0(x1)2122422.5(x2)3133439.0(x3)4212360.0(x4)5223492.5(x5)6231439.0(x6)7313392.0(x7)8321363.5(x8)9332462.5(x9)第40頁/共73頁第四十頁，共74頁。

F檢驗結(jié)果表明，三個因素對產(chǎn)量的影響都不顯著。究其原因可能是本例試驗誤差大且誤差自由度小(僅為2)，使檢驗的靈敏度低，從而掩蓋了考察因素的顯著性。由于各因素對增重影響都不顯著，不必再進行各因素水平間的多重比較。此時，可從表6中選擇平均數(shù)大的水平A2、B3、C3組合成最優(yōu)水平組合A2B3C3。第41頁/共73頁第四十一頁，共74頁。

若F檢驗結(jié)果3個因素對試驗指標的影響顯著或極顯著，進行各因素水平間多重比較常采用SSR法。本例是選用相同水平正交表L9(34)安排的試驗，A、B、C因素各水平重復數(shù)相同，即ka=kb=kc=3，它們的標準誤相同，即第42頁/共73頁第四十二頁，共74頁。

單個觀測值正交試驗資料的方差分析，其誤差是由“空列”來估計的。然而“空列”并不空，實際上是被未考察的交互作用所占據(jù)。這種誤差既包含試驗誤差，也包含交互作用，稱為模型誤差。若交互作用不存在，用模型誤差估計試驗誤差是可行的；若因素間存在交互作用，則模型誤差會夸大試驗誤差，有可能掩蓋考察因素的顯著性。第43頁/共73頁第四十三頁，共74頁。

試驗誤差應(yīng)通過重復試驗值來估計。所以，進行正交試驗最好能有二次以上的重復。正交試驗的重復，可采用完全隨機或隨機區(qū)組設(shè)計。第44頁/共73頁第四十四頁，共74頁。

二、有重復觀測值正交試驗資料的方差分析

【例2】

為了探討花生銹病藥劑防治效果的好壞，進行了藥劑種類（A）、濃度（B）、劑量（C）3因素試驗，各有3個水平，選用正交表L9(34)安排試驗。試驗重復2次，隨機區(qū)組設(shè)計。正交試驗方案及試驗結(jié)果(產(chǎn)量kg/小區(qū)，小區(qū)面積133.3m2)見表10，對試驗結(jié)果進行方差分析。第45頁/共73頁第四十五頁，共74頁。用r表示試驗處理的重復數(shù)(區(qū)組數(shù))；

n，a、b、c，ka、kb、kc的意義同上。此例r=2；n=9，

a=b=c=3，

ka=kb=kc=3。第46頁/共73頁第四十六頁，共74頁。表10防治花生銹病藥劑種類、濃度、劑量正交試驗方案及結(jié)果計算表試驗號

因素

產(chǎn)量x(kg/小區(qū))TtABC區(qū)組I區(qū)組II(1)(2)(3)11（百菌清）1（高）1（80）28.028.556.528.2521（百菌清）2（中）2（100）35.034.869.834.9031（百菌清）3（低）3（120）32.232.564.732.3542（敵銹靈）1（高）2（100）33.033.266.233.1052（敵銹靈）2（中）3（120）27.427.054.427.2062（敵銹靈）3（低）1（80）31.832.063.831.9073（波爾多）1（高）3（120）34.234.568.734.3583（波爾多）2（中）1（80）22.523.045.522.7593（波爾多）3（低）2（100）29.430.059.429.70第47頁/共73頁第四十七頁，共74頁。T1191.0191.4165.8

273.5275.5549.0T2184.4169.7195.4

T3173.6187.9187.8

31.8331.9027.6330.7328.2832.5728.9331.3231.30

Ti為各因素同一水平試驗指標之和，T為9個試驗號的試驗指標之和；

為各因素同一水平試驗指標的平均數(shù)。

第48頁/共73頁第四十八頁，共74頁。

對于有重復、且重復采用隨機區(qū)組設(shè)計的正交試驗，總變異可以劃分為處理間、區(qū)組間和誤差變異三部分，而處理間變異可進一步劃分為A因素、B因素、C因素與模型誤差變異四部分。此時，平方和與自由度分解式為：

SST=SSt+SSr+SSe2

dfT=dft+dfr+dfe2

而SSt=SSA+SSB+SSC+SSe1dft=dfA+dfB+dfC+dfe1

第49頁/共73頁第四十九頁，共74頁。于是SST=SSA+SSB+SSC+SSr+SSe1+SSe2

dfT=dfA+dfB+dfC+dfr+dfe1+dfe2

其中：SSr為區(qū)組間平方和；SSe1為模型誤差平方和；SSe2為試驗誤差平方和；SSt為處理間平方和；dfr

、dfe1

、dfe2

、dft

為相應(yīng)自由度。第50頁/共73頁第五十頁，共74頁。

注意，對于重復采用完全隨機設(shè)計的正交試驗，在平方和與自由度劃分式中無SSr、dfr項。

1、計算各項平方和與自由度

矯正數(shù)

C=T2/rn=549.02/（2×9）=16744.50

第51頁/共73頁第五十一頁，共74頁。

總平方和

SST=Σx2-C=28.02+35.02+…+30.02-16744.50=246.62

區(qū)組間平方和

SSr=ΣT2r/n-C=(273.52+275.52)/9-16744.50=0.22

第52頁/共73頁第五十二頁，共74頁。

處理間平方和

SSt=ΣT2t/r-C

=(56.52+69.82+…+59.42)/2-16744.50=245.96

A因素平方和

SSA=ΣT2A/kar-C=(191.02+184.42+173.62)/(3×2)-16744.50

=25.72

第53頁/共73頁第五十三頁，共74頁。B因素平方和

SSB=ΣT2B/kbr-C

=(191.42+169.72+187.92)/(3×2)-16744.50

=45.24

C因素平方和

SSC=ΣT2C/kcr-C=(165.82+195.42+187.82)/(3×2)-16744.50

=78.77

第54頁/共73頁第五十四頁，共74頁。模型誤差平方和

SSe1=SSt–SSA–SSB-SSC=245.96-25.72-45.24.-78.77

=

96.23

試驗誤差平方和

SSe2=SST–SSr-SSt=246.62-0.22-245.96

=

0.44

第55頁/共73頁第五十五頁，共74頁。

總自由度

dfT=rn-1=2×9-1=17

區(qū)組自由度dfr=r-1=2-1=1

處理自由度dft=n-1=9-1=8A因素自由度dfA=a-1=3-1=2B因素自由度dfB=b-1=3-1=2C因素自由度dfC=c-1=3-1=2

模型誤差自由度

dfe1=dft-dfA-dfB-dfC=8-2-2-2=2

試驗誤差自由度dfe2=dfT-dfr-dft=17-1-8=8第56頁/共73頁第五十六頁，共74頁。

2、列出方差分析表，進行F檢驗表10有重復觀測值正交試驗資料的方差分析表變異來源SSdfMSFF0.05F0.01A25.72212.86214.33**4.107.55B45.24222.62377.00**C78.77239.39656.50**區(qū)組0.2210.223.67ns4.9610.01模型誤差(e1)96.23248.12802.00**試驗誤差(e2)0.4480.06總的246.6217第57頁/共73頁第五十七頁，共74頁。

首先檢驗MSe1與MSe2差異的顯著性，若經(jīng)F檢驗不顯著，則可將其平方和與自由度分別合并，計算出合并的誤差均方，進行F檢驗與多重比較，以提高分析的精度；若F檢驗顯著，說明存在交互作用，二者不能合并，此時只能以MSe2進行F檢驗與多重比較。

第58頁/共73頁第五十八頁，共74頁。

本例MSe1

/MSe2=802.00**，模型誤差均方MSe1與試驗誤差均方MSe2差異極顯著，說明試驗因素間交互作用極顯著，只能以試驗誤差均方MSe2進行F檢驗與多重比較。F檢驗結(jié)果表明，藥劑種類（A）、濃度（B）、劑量（C）3因素對花生產(chǎn)量都有極顯著影響；區(qū)組間差異不顯著

。第59頁/共73頁第五十九頁，共74頁。3、多重比較

(1)若模型誤差顯著，說明試驗因素間存在交互作用，各因素所在列有可能出現(xiàn)交互作用的混雜，此時各試驗因素水平間的差異已不能真正反映因素的主效，因而進行各因素水平間的多重比較無多大實際意義，但應(yīng)進行試驗處理間的多重比較，以尋求最優(yōu)水平組合。進行各試驗處理間多重比較時選用試驗誤差均方MSe2。模型誤差顯著，還應(yīng)進一步試驗，以分析因素間的交互作用。

第60頁/共73頁第六十頁，共74頁。

(2)若模型誤差不顯著，說明試驗因素間交互作用不顯著，各因素所在列有可能未出現(xiàn)交互作用的混雜，此時各因素水平間的差異能真正反映因素的主效，因而進行各因素水平間的多重比較有實際意義，并從各因素水平間的多重比較中選出各因素的最優(yōu)水平相組合，得到最優(yōu)水平組合。

第61頁/共73頁第六十一頁，共74頁。

進行各因素水平間的多重比較時，用合并的誤差均方

MSe=（SSe1+SSe2）/（dfe1+dfe2）此時可不進行試驗處理間的多重比較。

本例模型誤差極顯著，說明因素間存在交互作用，不必進行各因素水平間的多重比較，應(yīng)進行試驗處理間的多重比較，以尋求最優(yōu)水平組合。為了讓讀者了解多重比較的方法，下面仍對各因素水平間、各試驗處理間進行多重比較。第62頁/共73頁第六十二頁，共74頁。（1）A、B、C因素各水平平均數(shù)的多重比較

表12A因素各水平平均數(shù)的多重比較表(SSR法)A因素平均數(shù)-28.93-30.73A131.832.90**1.10*A230.731.80**A328.93第63頁/共73頁第六十三頁，共74頁。

表13B因素各水平平均數(shù)的多重比較表(SSR法)B因素平均數(shù)-28.28-31.32B131.903.62**0.58**B331.323.04**B228.28第64頁/共73頁第六十四頁，共74頁。

表14C因素各水平平均數(shù)的多重比較表(SSR法)C因素平均數(shù)-27.63-31.30C232.574.94**1.27**C331.303.67**C127.63第65頁/共73頁第六十五頁，共74頁。因為

由dfe=8和k=2,3,查得SSR值并計算出LSR值列于表15。第66頁/共73頁第六十六頁，共74頁。