用向量方法處理立體幾何

內(nèi)容編排空間的直線和平面主要學(xué)習(xí)空間的直線、平面間的平行和垂直關(guān)系?？臻g向量主要學(xué)習(xí)空間向量及其在立體幾何中的初步應(yīng)用。夾角和距離掌握直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念。并能靈活運(yùn)用勾股定理、正余弦定理和向量代數(shù)方法計(jì)算有關(guān)的角和距離。了解異面直線的距離的概念和計(jì)算。第1頁(yè)/共46頁(yè)第一頁(yè)，共47頁(yè)。(A)和(B)對(duì)定理處理不一致的地方P13連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線．P14P18推論:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線,那么這兩個(gè)平面平行.P44公式cosθ=cosθ1cosθ2。P49:任意兩條異面直線有且只有一條公垂線.P14P57:平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn),并且在交點(diǎn)處互相平分.二面角的平面的定義。第2頁(yè)/共46頁(yè)第二頁(yè)，共47頁(yè)。cosθ=cosθ1cosθ2第3頁(yè)/共46頁(yè)第三頁(yè)，共47頁(yè)。公式的應(yīng)用例題：PA,PB,PC是從P引出的3條射線，每?jī)蓷l的夾角都是60度，則直線PA與平面PBC所成角的余弦是？ACBOP第4頁(yè)/共46頁(yè)第四頁(yè)，共47頁(yè)。二面角的平面角的定義A:B:一個(gè)平面垂直于二面角α-l-β的棱l，且與兩個(gè)半平面的交線分別是射線OA,OB,O為垂足，則∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角。(P45)第5頁(yè)/共46頁(yè)第五頁(yè)，共47頁(yè)。引進(jìn)向量的意義幾何發(fā)展的根本出路是代數(shù)化，引入向量研究幾何是幾何代數(shù)化的需要。實(shí)驗(yàn)幾何、綜合推理幾何、三角學(xué)、解析幾何

有效的研究幾何的代數(shù)方法。面積和體積的計(jì)算、質(zhì)點(diǎn)組幾何、笛卡爾時(shí)代的坐標(biāo)幾何，向量幾何等。降低立體幾何的教學(xué)難度。傳統(tǒng)方法：形到形。向量方法：運(yùn)算體系相似。用代數(shù)方法進(jìn)行推理，掌握空間圖形的性質(zhì)。第6頁(yè)/共46頁(yè)第六頁(yè)，共47頁(yè)。引進(jìn)向量的意義擴(kuò)充學(xué)生的運(yùn)算體系。向量是一個(gè)運(yùn)算對(duì)象。矩陣、微積分。向量的廣泛應(yīng)用?？萍?，經(jīng)濟(jì)以及日常生活各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。

對(duì)物理學(xué)習(xí)的幫助

第7頁(yè)/共46頁(yè)第七頁(yè)，共47頁(yè)。地位和作用用空間向量處理某些立體幾何問(wèn)題，可以為學(xué)生提供新的視角，在空間特別是空間直角坐標(biāo)系中引入空間向量，可以為解決三維圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的幾何問(wèn)題增加一種理想的代數(shù)工具，從而提高學(xué)生的空間想象能力和學(xué)習(xí)效率。向量知識(shí)的引進(jìn)，使我們能用代數(shù)的觀點(diǎn)和方法解決立體幾何問(wèn)題，用計(jì)算代替邏輯推理和空間想象，用數(shù)的規(guī)范性代替形的直觀性，具體、可操作性強(qiáng)，從而大大降低了立體幾何的求解難度。第8頁(yè)/共46頁(yè)第八頁(yè)，共47頁(yè)?？臻g向量空間向量的運(yùn)算空間向量基本定理空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算夾角與距離加減和數(shù)乘運(yùn)算共線向量共面向量空間向量的數(shù)量積知識(shí)結(jié)構(gòu)夾角和距離公式第9頁(yè)/共46頁(yè)第九頁(yè)，共47頁(yè)。空間向量空間向量的運(yùn)算空間向量基本定理空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算夾角與距離加減和數(shù)乘運(yùn)算共線向量共面向量空間向量的數(shù)量積課時(shí)安排夾角和距離公式112221第10頁(yè)/共46頁(yè)第十頁(yè)，共47頁(yè)。教學(xué)建議用類比法教學(xué)：空間向量是平面向量的推廣?？臻g向量和平面向量的聯(lián)系和區(qū)別。不必追求理論上的嚴(yán)謹(jǐn)性重視空間向量的概念、運(yùn)算方法及其應(yīng)用，側(cè)重于掌握向量這一工具的性質(zhì)和用途。多采用教具空間觀念薄弱使學(xué)生直觀地掌握本節(jié)內(nèi)容需辨證地利用向量方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。第11頁(yè)/共46頁(yè)第十一頁(yè)，共47頁(yè)。9.5空間向量及其運(yùn)算空間向量及其線性運(yùn)算共線向量和共面向量空間向量的分解定理兩個(gè)向量的數(shù)量積第12頁(yè)/共46頁(yè)第十二頁(yè)，共47頁(yè)。空間向量及其線性運(yùn)算空間向量的概念、表示、相同或相等關(guān)系?？臻g向量的加法、減法、數(shù)乘向量加法交換律加法結(jié)合律數(shù)乘分配律第13頁(yè)/共46頁(yè)第十三頁(yè)，共47頁(yè)。共線向量和共面向量空間向量共線或平行的定義和表示空間共線向量定理及其推論空間向量的向量參數(shù)方程及線段中點(diǎn)的向量公式空間向量共面的概念及其表示共面向量定理及其推論(空間向量參數(shù)方程)簡(jiǎn)單應(yīng)用第14頁(yè)/共46頁(yè)第十四頁(yè)，共47頁(yè)?？臻g向量基本定理空間向量基本定理空間向量的基底空間向量基本定理的推論。第15頁(yè)/共46頁(yè)第十五頁(yè)，共47頁(yè)。兩個(gè)向量的數(shù)量積空間向量的夾角、向量長(zhǎng)度的概念和表示方法?？臻g向量的數(shù)量積的概念和計(jì)算方法、性質(zhì)、運(yùn)算律向量解決立體幾何問(wèn)題中線面垂直、線線垂直。兩點(diǎn)間距離的基本方法步驟第16頁(yè)/共46頁(yè)第十六頁(yè)，共47頁(yè)。教學(xué)要求理解空間向量的概念,掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算。了解空間向量基本定理；理解空間向量坐標(biāo)的概念，掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算。掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)；掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式。理解直線的方向向量，平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念。第17頁(yè)/共46頁(yè)第十七頁(yè)，共47頁(yè)。教學(xué)要求#了解空間向量基本定理理解空間向量的概念空間向量坐標(biāo)的概念直線的方向向量平面的法向量向量在平面內(nèi)的射影？？掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式第18頁(yè)/共46頁(yè)第十八頁(yè)，共47頁(yè)。前后不一致的地方投影與射影記號(hào)的的不一致第19頁(yè)/共46頁(yè)第十九頁(yè)，共47頁(yè)。法向量法向量的用途線面所成角二面角(12題)點(diǎn)到平面的距離第20頁(yè)/共46頁(yè)第二十頁(yè)，共47頁(yè)。法向量的求法第21頁(yè)/共46頁(yè)第二十一頁(yè)，共47頁(yè)。法向量例題４已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的單位法向量第22頁(yè)/共46頁(yè)第二十二頁(yè)，共47頁(yè)。法向量應(yīng)用xyz第23頁(yè)/共46頁(yè)第二十三頁(yè)，共47頁(yè)。yzx法向量應(yīng)用：線面垂直,二面角第24頁(yè)/共46頁(yè)第二十四頁(yè)，共47頁(yè)。xyz法向量的應(yīng)用：點(diǎn)到面的距離第25頁(yè)/共46頁(yè)第二十五頁(yè)，共47頁(yè)?？臻g向量處理的問(wèn)題共面問(wèn)題。平行利用P28共線向量定理．a(chǎn)//b<=>

a=λb(b≠

0,λ是實(shí)數(shù))垂直利用P33數(shù)量積的性質(zhì)：a⊥b<=>

a?b=0角利用P33數(shù)量積的定義．cos<a,b>=距離利用P34數(shù)量積的性質(zhì)：|a|2=a?a第26頁(yè)/共46頁(yè)第二十六頁(yè)，共47頁(yè)。利用向量解決幾何題的一般方法P35把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通過(guò)向量運(yùn)算去計(jì)算和證明．如何恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系正方體、長(zhǎng)方體、長(zhǎng)方體的1/2,1/6如何選擇基底第27頁(yè)/共46頁(yè)第二十七頁(yè)，共47頁(yè)。異面直線所成的角第28頁(yè)/共46頁(yè)第二十八頁(yè)，共47頁(yè)。xyz異面直線所成的角第29頁(yè)/共46頁(yè)第二十九頁(yè)，共47頁(yè)。xyz直線和平面垂直第30頁(yè)/共46頁(yè)第三十頁(yè)，共47頁(yè)。線線垂直第31頁(yè)/共46頁(yè)第三十一頁(yè)，共47頁(yè)。線線垂直第32頁(yè)/共46頁(yè)第三十二頁(yè)，共47頁(yè)。7在空間四邊形ABCD中，M,N分別是AD,BC的中點(diǎn)，求證：2MN=AB+DC,且MN,AB,CD平行于同一平面。證明共面問(wèn)題第33頁(yè)/共46頁(yè)第三十三頁(yè)，共47頁(yè)。６P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，PD、PE、PF分別是∠APB、∠APC,∠BPC的平分線，且PD⊥PE，求證：PE⊥PF,PF⊥PD。所以PF⊥PE

；同理PF⊥PD

。證明直線和直線垂直A’B’第34頁(yè)/共46頁(yè)第三十四頁(yè)，共47頁(yè)。8在平行六面體AC’中，E,F,G分別是A’D’,DD’,D’C’的中點(diǎn)，求證：平面EFG//平面AB’C。證明面面平行第35頁(yè)/共46頁(yè)第三十五頁(yè)，共47頁(yè)。13在平行六面體AC’中，AB=AD,∠A’AD=∠A’AB=∠DAB=60o.(1)求證：AA’⊥BD;(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，才能使AC’⊥平面AB’D.請(qǐng)證明。證明線線線面垂直第36頁(yè)/共46頁(yè)第三十六頁(yè)，共47頁(yè)。13(2)在平行六面體AC’中，AB=AD,∠A’AD=∠A’AB=∠DAB=60o.(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，才能使AC’⊥平面A’BD.請(qǐng)證明。解：線線線面垂直2第37頁(yè)/共46頁(yè)第三十七頁(yè)，共47頁(yè)。平面向量空間向量對(duì)比表1第38頁(yè)/共46頁(yè)第三十八頁(yè)，共47頁(yè)。平面向量空間向量對(duì)比表2第39頁(yè)/共46頁(yè)第三十九頁(yè)，共47頁(yè)。平面向量空間向量對(duì)比表3第40頁(yè)/共46頁(yè)第四十頁(yè)，共47頁(yè)。平面向量空間向量對(duì)比表4第41頁(yè)/共46頁(yè)第四十一頁(yè)，共47頁(yè)。向量與直線的區(qū)別平行直線和平行向量共面直線和共面向量第42頁(yè)/共46頁(yè)第四十二頁(yè)，共47頁(yè)?？傮w的建議重視空間向量的概念、運(yùn)算方法及其應(yīng)用，而不必過(guò)多追求理論上的嚴(yán)謹(jǐn)性，側(cè)重于掌握向量這一工具的性質(zhì)和用途?？臻g向量是平面向量的推廣，內(nèi)容和結(jié)構(gòu)都與平面向量基本一致。因此，宜用類比法。由于學(xué)生的空間觀念還比較薄弱，教學(xué)中宜多采用教具演示，盡量使學(xué)生能夠形象直觀地掌握本節(jié)內(nèi)容。需辨證地利用向量方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。第43頁(yè)/共46頁(yè)第四十三頁(yè)，共47頁(yè)。法向量應(yīng)用EFG第44頁(yè)/共46頁(yè)第四十四頁(yè)，共47頁(yè)。返回第45頁(yè)/共46頁(yè)第四十五頁(yè)，共47頁(yè)。感謝您的觀看！第46頁(yè)/共46頁(yè)第四十六頁(yè)，共47頁(yè)。