2023年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽

20２3年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試試題(A卷)一、選擇題(本題滿分36分,每小題６分）１.函數(shù)在上的最小值是（)A．0B.1C.2D.3２．設(shè),,若，則實數(shù)的取值范圍為（)Ａ.Ｂ．C．D．３.甲乙兩人進行乒乓球比賽,約定每局勝者得１分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為,乙在每局中獲勝的概率為,且各局勝負互相獨立,則比賽停止時已打局數(shù)的盼望為(）Ａ.B.C.Ｄ.４．若三個棱長均為整數(shù)（單位:cm）的正方體的表面積之和為５64cｍ2，則這三個正方體的體積之和為（）A．７6４cm３或５86ｃm３B.764cm3C.５86cm3或564cｍ３D.５86cｍ35．方程組的有理數(shù)解的個數(shù)為（)A．1Ｂ．2Ｃ.3D.４6．設(shè)的內(nèi)角所對的邊成等比數(shù)列,則的取值范圍是()A.B.C.D．二、填空題（本題滿分54分，每小題９分)７．設(shè),其中為實數(shù),，，，若，則．8.設(shè)的最小值為,則．將２4個志愿者名額分派給3個學校,則每校至少有一個名額且各校名額互不相同的分派方法共有種.設(shè)數(shù)列的前項和滿足:,,則通項=11.設(shè)是定義在上的函數(shù),若，且對任意,滿足,,則=12．一個半徑為１的小球在一個內(nèi)壁棱長為的正四周體容器內(nèi)可向各個方向自由運動，則該小球永遠不也許接觸到的容器內(nèi)壁的面積是三、解答題（本題滿分6０分，每小題2０分)13.已知函數(shù)的圖像與直線有且僅有三個交點,交點的橫坐標的最大值為,求證:答13圖.答13圖1４.解不等式.題15圖１５．如題15圖，是拋物線上的動點,點在軸上，圓內(nèi)切于,求面積的最小值．題15圖2023年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽加試（A卷)試題參考答案及評分標準說明:1．評閱試卷時，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分;2.假如考生的解答方法和本解答不同,只要思緒合理、環(huán)節(jié)對的,在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，10分為一個檔次,不要增長其他中間檔次．一、（本題滿分５0分）如題一圖,給定凸四邊形，,是平面上的動點,令．(Ⅰ）求證：當達成最小值時，四點共圓;（Ⅱ）設(shè)是外接圓的上一點，滿足:,,,又是的切線,,求的最小值．答一圖1答一圖1二、(本題滿分50分）設(shè)是周期函數(shù)，和１是的周期且．證明：(Ⅰ）若為有理數(shù)，則存在素數(shù)，使是的周期;（Ⅱ)若為無理數(shù),則存在各項均為無理數(shù)的數(shù)列滿足,且每個都是的周期.三、（本題滿分50分)設(shè)，.證明:當且僅當時，存在數(shù)列滿足以下條件:（ⅰ)，;(ⅱ)存在;（ⅲ）,.2０23年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試試題(A卷）說明:1.評閱試卷時,請依據(jù)本評分標準.選擇題只設(shè)６分和0分兩檔，填空題只設(shè)9分和0分兩檔;其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分,不要增長其他中間檔次.2．假如考生的解答方法和本解答不同，只要思緒合理、環(huán)節(jié)對的,在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分,解答題中５分為一個檔次,不要增長其他中間檔次．一、選擇題（本題滿分3６分,每小題6分)1．函數(shù)在上的最小值是（C）A．0B．1C.2Ｄ．3［解]當時，，因此,當且僅當時上式取等號.而此方程有解，因此在上的最小值為2.2．設(shè)，,若,則實數(shù)的取值范圍為（D）A．B．C．D．［解法一]因有兩個實根,，故等價于且,即且,解之得．［解法二]（特殊值驗證法）令，排除C,令，排除A、B,故選D。[解法三］(根的分布）由題意知的兩根在內(nèi),令則解之得：3．甲乙兩人進行乒乓球比賽,約定每局勝者得1分，負者得0分,比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負互相獨立,則比賽停止時已打局數(shù)的盼望為(B)A.Ｂ．C.Ｄ.[解法一]依題意知，的所有也許值為2，4，６．設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為.若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù),則甲、乙在該輪中必是各得一分,此時,該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響.從而有,，，故．[解法二]依題意知,的所有也許值為2，４，6.令表達甲在第局比賽中獲勝，則表達乙在第局比賽中獲勝．由獨立性與互不相容性得,,，故.4.若三個棱長均為整數(shù)（單位：cｍ）的正方體的表面積之和為5６4cm2,則這三個正方體的體積之和為（A）Ａ.76４ｃm3或586cm3Ｂ.76４cm３C.586cｍ3或5６4ｃm3Ｄ.５86ｃm3[解]設(shè)這三個正方體的棱長分別為,則有,,不妨設(shè),從而,．故.只能取9，8，7，６．若,則，易知，，得一組解．若，則，．但，,從而或5.若,則無解,若,則無解．此時無解.若,則，有唯一解,．若,則，此時，．故，但，故,此時無解.綜上，共有兩組解或體積為ｃm３或cm3．５.方程組的有理數(shù)解的個數(shù)為（B)A.1Ｂ.2C.３Ｄ.４[解]若，則解得或若,則由得．①由得.②將②代入得．③由①得,代入③化簡得.易知無有理數(shù)根,故,由①得,由②得，與矛盾,故該方程組共有兩組有理數(shù)解或6.設(shè)的內(nèi)角所對的邊成等比數(shù)列,則的取值范圍是（Ｃ）A.B.Ｃ．D.[解]設(shè)的公比為,則，而.因此，只需求的取值范圍．因成等比數(shù)列,最大邊只能是或,因此要構(gòu)成三角形的三邊,必需且只需且．即有不等式組即解得從而,因此所求的取值范圍是．二、填空題（本題滿分５4分,每小題9分)７.設(shè),其中為實數(shù)，,，，若，則5.[解]由題意知,由得，，因此，，．8.設(shè)的最小值為,則.[解]，(1)時,當時取最小值;(2)時,當時取最小值1；(3)時,當時取最小值．又或時,的最小值不能為，故，解得,(舍去).9.將２4個志愿者名額分派給3個學校，則每校至少有一個名額且各校名額互不相同的分派方法共有22２種．[解法一]用4條棍子間的空隙代表３個學校，而用表達名額．如表達第一、二、三個學校分別有4，18，2個名額.若把每個“”與每個“”都視為一個位置,由于左右兩端必須是“|”，故不同的分派方法相稱于個位置（兩端不在內(nèi))被2個“|”占領(lǐng)的一種“占位法”.“每校至少有一個名額的分法”相稱于在2４個“”之間的23個空隙中選出２個空隙插入“|”,故有種.又在“每校至少有一個名額的分法”中“至少有兩個學校的名額數(shù)相同”的分派方法有31種.綜上知，滿足條件的分派方法共有253－３1＝222種.[解法二］設(shè)分派給3個學校的名額數(shù)分別為，則每校至少有一個名額的分法數(shù)為不定方程．的正整數(shù)解的個數(shù),即方程的非負整數(shù)解的個數(shù),它等于3個不同元素中取21個元素的可重組合:．又在“每校至少有一個名額的分法”中“至少有兩個學校的名額數(shù)相同”的分派方法有3１種.綜上知，滿足條件的分派方法共有253-31＝22２種．1０.設(shè)數(shù)列的前項和滿足：,,則通項＝．[解］,即2=，由此得２．令，（)，有,故，所以．11．設(shè)是定義在上的函數(shù),若,且對任意，滿足,,則＝．[解法一]由題設(shè)條件知，因此有，故.[解法二]令,則,，即,故,得是周期為2的周期函數(shù)，所以．12.一個半徑為1的小球在一個內(nèi)壁棱長為的正四周體容器內(nèi)可向各個方向自由運動,則該小球永遠不也許接觸到的容器內(nèi)壁的面積是．［解]如答1２圖1，考慮小球擠在一個角時的情況,記小球半徑為，作平面//平面，與小球相切于點，則小球球心為正四周體的中心，,垂足為的中心.因答12圖1答12圖1,故,從而.記此時小球與面的切點為,連接,則．考慮小球與正四周體的一個面(不妨取為)相切時的情況,易知小球在面上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形,記為，如答1２圖２．記正四周體的棱長為，過作于．答12圖2因，有,故小三角形的邊長．答12圖2小球與面不能接觸到的部分的面積為(如答１2圖2中陰影部分).又,，所以．由對稱性,且正四周體共4個面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為．三、解答題(本題滿分60分,每小題２0分)13.已知函數(shù)的圖像與直線有且僅有三個交點,交點的橫坐標的最大值為，求證：答13圖．答13圖[證]的圖象與直線的三個交點如答13圖所示,且在內(nèi)相切，其切點為,．…5分由于，，所以，即.…1０分因此…15分.…2０分14．解不等式.［解法一]由,且在上為增函數(shù)，故原不等式等價于.即.…5分分組分解，，…１0分所以，．…15分所以，即或.故原不等式解集為.…20分[解法二］由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價于．…5分即，,…１0分令,則不等式為,顯然在上為增函數(shù)，由此上面不等式等價于,…1５分即，解得（舍去)，故原不等式解集為.…20分題15圖15.如題１５圖,是拋物線上的動點，點在軸上,圓內(nèi)切于,求面積的最小值．題15圖[解]設(shè)，不妨設(shè).直線的方程：，化簡得．又圓心到的距離為１,，…5分故，易知,上式化簡得,同理有．…1０分所以，，則．因是拋物線上的點,有，則,．…15分所以．當時,上式取等號，此時.因此的最小值為8．…20分2023年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽加試(Ａ卷）試題參考答案及評分標準說明：１.評閱試卷時，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分；2.假如考生的解答方法和本解答不同，只要思緒合理、環(huán)節(jié)對的，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，10分為一個檔次，不要增長其他中間檔次．一、(本題滿分5０分)如題一圖，給定凸四邊形，，是平面上的動點，令.（Ⅰ）求證：當達成最小值時，四點共圓；(Ⅱ)設(shè)是外接圓的上一點，滿足:，，，又是的切線，,求的最小值．［解法一](Ⅰ）如答一圖1，由托勒密不等式,對平面上的任意點,有答一圖1．答一圖1因此．由于上面不等式當且僅當順次共圓時取等號,因此當且僅當在的外接圓且在上時,．…10分又因,此不等式當且僅當共線且在上時取等號.因此當且僅當為的外接圓與的交點時,取最小值．故當達最小值時,四點共圓.…20分（Ⅱ)記，則，由正弦定理有,從而，即,所以,整理得，…30分解得或（舍去)，故，.由已知=,有，即，整理得，故，可得,…4０分從而,,為等腰直角三角形.因，則.又也是等腰直角三角形，故,，．故．…5０分答一圖2［解法二]（Ⅰ)如答一圖2,連接交的外接圓于點(由于在外，故在上）.答一圖2過度別作的垂線，兩兩相交得，易知在內(nèi)，從而在內(nèi),記之三內(nèi)角分別為,則，又因,，得,同理有，,所以∽.…10分設(shè)，,，則對平面上任意點,有,從而.由點的任意性,知點是使達最小值的點．由點在上,故四點共圓.…2０分(Ⅱ)由（Ⅰ），的最小值,記,則,由正弦定理有,從而，即,所以，整理得，…30分解得或(舍去）, 故,.由已知=,有，即,整理得，故，可得，…４0分所以,為等腰直角三角形,，,由于,點在上,,所認為矩形,,故,所以.…5０分［解法三]（Ⅰ)引進復平面，仍用等代表所相應的復數(shù)．由三角形不等式，對于復數(shù)，有，當且僅當與(復向量)同向時取等號.有，所以(1）,從而.(2)…１0分(1)式取等號的條件是復數(shù)與同向,故存在實數(shù),使得，,所以，向量旋轉(zhuǎn)到所成的角等于旋轉(zhuǎn)到所成的角，從而四點共圓.（2)式取等號的條件顯然為共線且在上.故當達最小值時點在之外接圓上，四點共圓．…20分(Ⅱ）由(Ⅰ)知.以下同解法一.二、(本題滿分50分)設(shè)是周期函數(shù),和1是的周期且.證明：（Ⅰ)若為有理數(shù)，則存在素數(shù)，使是的周期；（Ⅱ)若為無理數(shù)，則存在各項均為無理數(shù)的數(shù)列滿足，且每個都是的周期．[證]（Ⅰ）若是有理數(shù),則存在正整數(shù)使得且，從而存在整數(shù)，使得．于是是的周期.…１0分又因,從而．設(shè)是的素因子，則,,從而是的周期.