【一線教師精品】人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)（三）平行四邊形

期末復(fù)習(xí)(三)平行四邊形01知識(shí)結(jié)構(gòu)02典例精講命題點(diǎn)1平行四邊形的性質(zhì)與判定【例1】(深圳中考)已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.(1)證明：四邊形ABDF是平行四邊形；(2)若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】(1)用垂直平分線的性質(zhì)證得∠BAD＝∠BCD，而∠BCD＝∠ADF，則∠ADF＝∠BAD，所以AB∥FD，因?yàn)锽D⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可證得；(2)先證得平行四邊形是菱形，然后根據(jù)勾股定理即可求得．【解答】(1)證明：∵BD垂直平分AC，∴AB＝BC，AD＝DC.∴∠BAC＝∠BCA，∠DAC＝∠DCA.∴∠BAC＋∠DAC＝∠BCA＋∠DCA.∵∠BAD＝∠BAC＋∠DAC，∠BCD＝∠BCA＋∠DCA，∴∠BAD＝∠BCD.∵∠BCD＝∠ADF，∴∠BAD＝∠ADF.∴AB∥FD.∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD.∴四邊形ABDF是平行四邊形．(2)∵四邊形ABDF是平行四邊形，∴AB＝DF，AF＝BD.∵AF＝DF＝5，∴AB＝BD＝5.設(shè)BE＝x，則DE＝5－x，由題設(shè)得AC⊥BD.∴AB2－BE2＝AD2－DE2，即52－x2＝62－(5－x)2.解得x＝eq\f(7,5).∴AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\f(24,5).∴AC＝2AE＝eq\f(48,5).【方法歸納】要證一個(gè)四邊形是平行四邊形，通常按照已知條件的特征來(lái)選擇判定方法，有五種方法，從中選出最佳的證明方法．1．(桂林中考)在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作直線EF分別交線段AD、BC于點(diǎn)E、F.(1)根據(jù)題意，畫出圖形，并標(biāo)上正確的字母；(2)求證：DE＝BF.解：(1)作圖如圖所示：(2)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OB＝OD.∴∠EDO＝∠FBO.在△DOE和△BOF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EDO＝∠FBO，,OD＝OB，,∠EOD＝∠FOB，))∴△DOE≌△BOF(ASA)．∴DE＝BF.命題點(diǎn)2特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定【例2】(賀州中考)如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，過(guò)AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接AE，CF.(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若AB＝eq\r(3)，∠DCF＝30°，求四邊形AECF的面積．(結(jié)果保留根號(hào))【解答】(1)證明：∵O是AC的中點(diǎn)，且EF⊥AC，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠AFO＝∠CEO.在△AOF和△COE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFO＝∠CEO，,∠AOF＝∠COE，,OA＝OC，))∴△AOF≌△COE(AAS)．∴AF＝CE.∴AF＝CF＝CE＝AE.∴四邊形AECF是菱形．(2)∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝eq\r(3).設(shè)DF＝x，∵∠DCF＝30°，∴CF＝2x.在Rt△CDF中，DF2＋CD2＝CF2，即x2＋(eq\r(3))2＝(2x)2.解得x＝1，則CF＝2.∵四邊形AECF是菱形，∴CE＝CF＝2.∴四邊形AECF是的面積為：EC·AB＝2eq\r(3).【方法歸納】(1)證明四邊形是菱形的方法主要有三種方法．一般的思路是先證明四邊形是平行四邊形，然后再證明平行四邊形是菱形．(2)在已知問(wèn)題中存在直角三角形求線段長(zhǎng)時(shí)，我們通常的做法是利用勾股定理構(gòu)造方程求解．2．如圖，正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF＝AE.(1)求證：BF＝DE；(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)(其他條件都保持不變)，問(wèn)四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說(shuō)明理由．解：(1)證明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°.∵AF⊥AC，∴∠EAF＝90°.∴∠BAD＝∠EAF.∴∠BAF＝∠EAD.在△ADE和△ABF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AB，,∠DAE＝∠BAF，,AE＝AF，))∴△ADE≌△ABF(SAS)∴BF＝DE(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AFBE是正方形．理由如下：∵點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，∴∠AEB＝90°，BE＝DE＝AE＝CE.∵△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，DE＝BF.∴AF＝BF＝BE＝AE.∴四邊形AFBE是菱形．又∵∠AEB＝90°，∴四邊形AFBE是正方形．03期末復(fù)習(xí)卷一、選擇題(每小題3分，共30分)1．(珠海中考)邊長(zhǎng)為3cm的菱形的周長(zhǎng)是(CA．6cmB．9cmC．12cm2．在?ABCD中，已知AB＝(x＋1)cm，BC＝(x－2)cm，CD＝4cm，則?ABCD的周長(zhǎng)為(BA．5cmB．10cmC．14cm3．直角三角形中，兩直角邊分別是12和5，則斜邊上的中線長(zhǎng)是(D)A．34B．26C．4．(來(lái)賓中考)正方形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為4，則這個(gè)正方形面積是(A)A．8B．4eq\r(2)C．8eq\r(2)D．165．(婁底中考)下列命題中，錯(cuò)誤的是(C)A．平行四邊形的對(duì)角線互相平分B．菱形的對(duì)角線互相垂直平分C．矩形的對(duì)角線相等且互相垂直平分D．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等6．(襄陽(yáng)中考)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE＝DC，∠C＝80°.則∠A等于(C)A．80°B．90°C．100°D．110°7．(陜西中考)如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，對(duì)角線AC＝6，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，則AE的長(zhǎng)為(C)A．4\f(12,5)\f(24,5)D．58．(曲靖中考)如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是AD、BC中點(diǎn)，連接AF、BE，CE、DF分別交于點(diǎn)M、N，四邊形EMFN是(B)A．正方形B．菱形C．矩形D．無(wú)法確定9．(廣州中考)將四根長(zhǎng)度相等的細(xì)木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形，使它形狀改變，當(dāng)∠B＝90°時(shí)，如圖1，測(cè)得AC＝2，當(dāng)∠B＝60°時(shí)，如圖2，AC＝(A)\r(2)B．2C.eq\r(6)D．2eq\r(2)圖1圖210．(欽州中考)如圖，把矩形紙片ABCD沿EF翻折，點(diǎn)A恰好落在BC邊的A′處，若AB＝eq\r(3)，∠EFA＝60°，則四邊形A′B′EF的周長(zhǎng)是(D)A．1＋3eq\r(3)B．3＋eq\r(3)C．4＋eq\r(3)D．5＋eq\r(3)二、填空題(每小題3分，共18分)11．(大連中考)如圖，在菱形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，若∠BCO＝55°，則∠ADO＝35°．12．(河南中考)如圖，在?ABCD中，BE⊥AB交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為110°.13．(三明中考)如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，OA＝OC，OB＝OD，添加一個(gè)條件使四邊形ABCD是菱形，那么所添加的條件可以是答案不唯一，如：AB＝AD或AB＝BC或AC⊥BD等．(寫出一個(gè)即可)14．(昆明中考)如圖，E、F、G、H分別是矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，AB＝6，BC＝8，則四邊形EFGH的面積是24.15．(欽州中考)如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，線段AD的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，△CND的周長(zhǎng)是10，則AC的長(zhǎng)為6．16．已知正方形ABCD，以CD為邊作等邊△CDE，則∠AED的度數(shù)是15°或75°．三、解答題(共52分)17．(6分)如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB.∴AD∥BC.∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形．18．(8分)(長(zhǎng)沙中考)如圖，AC是?ABCD的對(duì)角線，∠BAC＝∠DAC.(1)求證：AB＝BC；(2)若AB＝2，AC＝2eq\r(3)，求?ABCD的面積．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∴∠DAC＝∠BCA.∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠BCA.∴AB＝BC.(2)連接BD交AC于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形．∴AC⊥BD，OA＝OC＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(3)，OB＝OD＝eq\f(1,2)BD.∴OB＝eq\r(AB2－OA2)＝eq\r(22－（\r(3)）2)＝1.∴BD＝2OB＝2.∴S菱形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2＝2eq\r(3).19．(8分)已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC邊上的中線，四邊形ADBE是平行四邊形．(1)求證：四邊形ADBE是矩形；(2)求矩形ADBE的面積．解：(1)證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∵四邊形ADBE是平行四邊形，∴四邊形ADBE是矩形．(2)∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC邊上的中線，∴BD＝DC＝6×eq\f(1,2)＝3.∵在Rt△ACD中，AC＝5，DC＝3，∴AD＝eq\r(AC2－DC2)＝eq\r(52－32)＝4.∴S矩形ADBE＝BD·AD＝3×4＝12.20．(8分)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過(guò)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交BC于點(diǎn)F，連接EF.(1)求證：四邊形BFDE是菱形；(2)若AB＝8，AD＝4，求BF的長(zhǎng)．解：(1)證明：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四邊形BFDE是平行四邊形．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB.∴∠ABD＝∠EDB.∴EB＝ED.∴四邊形BFDE是菱形．(2)∵ED∥BF，∠C＝90°，∴∠ADE＝90°.設(shè)BF＝x，∴DE＝BE＝x.∴AE＝8－x.在Rt△ADE中，AE2＝DE2＋AD2.∴(8－x)2＝x2＋42.解得x＝3.∴BF＝3.21．(10分)(梅州中考)如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝BE.(1)求證：CE＝CF；(2)若點(diǎn)G在AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE＋GD成立嗎？為什么？解：(1)證明：∵在正方形ABCD中，BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF.(2)GE＝BE＋GD成立．理由是：由(1)得△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF.∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°.又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG(SAS)．∴GE＝GF.∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD.22．(12分)已知AC是菱形ABCD的對(duì)角線，∠BAC＝60°，點(diǎn)E是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，以AE為邊作菱形AEFG，并且使∠EAG＝60°，連接CG，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，如圖1，易證：AB＝CG＋CE.(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖2)，猜想AB、CG、CE之間的關(guān)系并證明；(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖3)，直接寫出AB、CG、CE之間的關(guān)系．解：(1)AB＝CG－CE.證明：∵四邊形ABCD是菱形，