2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)層級(jí)快練7文

層級(jí)快練(七)1．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(9,x)(x≠0)是()A．奇函數(shù)，且在(0，3)上是增函數(shù) B．奇函數(shù)，且在(0，3)上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在(0，3)上是增函數(shù) D．偶函數(shù)，且在(0，3)上是減函數(shù)答案B解析因?yàn)閒(－x)＝－x＋eq\f(9,－x)＝－(x＋eq\f(9,x))＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(9,x)為奇函數(shù)．當(dāng)x1，x2∈(0，3)(x1<x2)時(shí)，f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(9,x1)－(x2＋eq\f(9,x2))＝(x1－x2)eq\f(x1x2－9,x1x2).因?yàn)閤1－x2<0，x1x2>0，x1x2<9，所以(x1－x2)eq\f(x1x2－9,x1x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，所以函數(shù)f(x)在(0，3)上是減函數(shù)，應(yīng)選B.2．(2023·黑龍江大慶模擬)以下函數(shù)中，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，并且是偶函數(shù)的是()A．y＝x2 B．y＝－x3C．y＝－ln|x| D．y＝2x答案C解析A項(xiàng)，y＝x2是偶函數(shù)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，不合題意；B項(xiàng)，y＝－x3是奇函數(shù)，不合題意；C項(xiàng)，y＝－ln|x|是偶函數(shù)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，符合題意；D項(xiàng)，y＝2x不是偶函數(shù)，不合題意．應(yīng)選C.3．假設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函數(shù)，那么g(x)＝2ax3＋bx2＋9x是()A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)答案A解析由于f(x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函數(shù)，所以b＝0，所以g(x)＝2ax3＋9x(a≠0)，所以g(－x)＝2a(－x)3＋9(－x)＝－(2ax3＋9x)＝－g(x)，所以g(x)＝2ax3＋9x是奇函數(shù)．應(yīng)選A.4．(2023·陜西)設(shè)f(x)＝x－sinx，那么f(x)()A．既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B．既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C．是有零點(diǎn)的減函數(shù) D．是沒(méi)有零點(diǎn)的奇函數(shù)答案B解析易得f(x)是奇函數(shù)，由f′(x)＝1－cosx≥0恒成立，可知f(x)是增函數(shù)，應(yīng)選B.5．函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，又是以2為周期的周期函數(shù)，假設(shè)f(x)在[－1，0]上是減函數(shù)，那么f(x)在[2，3]上是()A．增函數(shù) B．減函數(shù)C．先增后減的函數(shù) D．先減后增的函數(shù)答案A6．(2023·山東臨沭一中月考)定義在R上的函數(shù)f(x)的滿(mǎn)足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，那么f(2019)＝()A．－3 B．0C．1 D．3答案B解析用－x換x，可將f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，∴T＝6，∴f(2019)＝f(336×6＋3)＝f(3)．∵f(3－x)＝f(x)，∴f(3)＝f(0)＝0.7．(2023·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．假設(shè)f(1)＝－1，那么滿(mǎn)足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是()A．[－2，2] B．[－1，1]C．[0，4] D．[1，3]答案D解析∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)＝1.于是－1≤f(x－2)≤1等價(jià)于f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.應(yīng)選D.8．假設(shè)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足對(duì)任意的x∈R，都有f(x＋2)＝－f(x)成立，且f(1)＝8，那么f(2015)，f(2016)，f(2017)的大小關(guān)系是()A．f(2015)<f(2016)<f(2017) B．f(2015)>f(2016)>f(2017)C．f(2016)>f(2015)>f(2017) D．f(2016)<f(2017)<f(2015)答案A解析因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足對(duì)任意的x∈R，都有f(x＋2)＝－f(x)成立，所以f(x＋4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為4，且f(0)＝0，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－8，所以f(2015)＝f(4×503＋3)＝f(3)＝－8，f(2016)＝f(4×504)＝f(0)＝0，f(2017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝8，即f(2015)<f(2016)<f(2017)．9．定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：y＝f(x－1)的圖像關(guān)于(1，0)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)x≥0時(shí)恒有f(x－eq\f(3,2))＝f(x＋eq\f(1,2))，當(dāng)x∈[0，2)時(shí)，f(x)＝ex－1，那么f(2016)＋f(－2015)等于()A．1－e B．e－1C．－1－e D．e＋1答案A解析y＝f(x－1)的圖像關(guān)于(1，0)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．當(dāng)x≥0時(shí)恒有f(x－eq\f(3,2))＝f(x＋eq\f(1,2))，即函數(shù)f(x)的周期為2.所以f(2016)＋f(－2015)＝f(0)－f(1)＝1－e.應(yīng)選A.10．設(shè)函數(shù)y＝f(x)(x∈R)為偶函數(shù)，且?x∈R，滿(mǎn)足f(x－eq\f(3,2))＝f(x＋eq\f(1,2))，當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f(x)＝x，那么當(dāng)x∈[－2，0]時(shí)，f(x)等于()A．|x＋4| B．|2－x|C．2＋|x＋1| D．3－|x＋1|答案D解析因?yàn)?x∈R，滿(mǎn)足f(x－eq\f(3,2))＝f(x＋eq\f(1,2))，所以?x∈R，滿(mǎn)足f(x＋eq\f(3,2)－eq\f(3,2))＝f(x＋eq\f(3,2)＋eq\f(1,2))，即f(x)＝f(x＋2)．假設(shè)x∈[0，1]時(shí)，那么x＋2∈[2，3]，f(x)＝f(x＋2)＝x＋2，假設(shè)x∈[－1，0]，那么－x∈[0，1]．因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)(x∈R)為偶函數(shù)，所以f(－x)＝－x＋2＝f(x)，即f(x)＝－x＋2.假設(shè)x∈[－2，－1]，那么x＋2∈[0，1]，那么f(x)＝f(x＋2)＝x＋2＋2＝x＋4.綜上f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4，－2≤x<－1，,－x＋2，－1≤x≤0，))應(yīng)選D.11．(2023·安徽合肥一模)函數(shù)f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值為M，最小值為m，那么M＋m＝()A．4 B．2C．1 D．0答案A解析設(shè)t＝x－1，那么f(x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1＝(t2－1)sint＋t＋2，t∈[－2，2]．記g(t)＝(t2－1)sint＋t＋2，那么函數(shù)y＝g(t)－2＝(t2－1)sint＋t是奇函數(shù)．由得y＝g(t)－2的最大值為M－2，最小值為m－2，所以M－2＋(m－2)＝0，即M＋m＝4.應(yīng)選A.12．如果函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3，x>0，,f〔x〕，x<0))是奇函數(shù)，那么f(x)＝________．答案2x＋3解析令x<0，所以－x>0，g(－x)＝－2x－3.因?yàn)間(x)是奇函數(shù)，所以g(x)＝－g(－x)＝2x＋3，所以f(x)＝2x＋3.13．y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1.假設(shè)g(x)＝f(x)＋2，那么g(－1)＝________．答案－1解析令H(x)＝f(x)＋x2，那么H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，∴f(－1)＝－3，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.14．函數(shù)f(x)＝x3＋x，對(duì)任意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，那么x的取值范圍為_(kāi)_______．答案(－2，eq\f(2,3))解析易知原函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，故f(mx－2)＋f(x)<0?f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，此時(shí)應(yīng)有mx－2<－x?mx＋x－2<0對(duì)所有m∈[－2，2]恒成立．令g(m)＝xm＋x－2，此時(shí)只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g〔－2〕<0，,g〔2〕<0))即可，解得－2<x<eq\f(2,3).15．設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且f(1)＝0，那么不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集為_(kāi)_______．答案{x|－1<x<0或0<x<1}解析∵f(－x)＝－f(x)，∴不等式x[f(x)－f(－x)]<0可化簡(jiǎn)為xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，∵奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，從而函數(shù)f(x)的大致圖像如下圖，那么不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集為{x|－1<x<0或0<x<1}．16．假設(shè)f(x)是定義在(－1，1)上的奇函數(shù)，且x∈[0，1)時(shí)f(x)為增函數(shù)，求不等式f(x)＋f(x－eq\f(1,2))＜0的解集．答案{x|－eq\f(1,2)＜x＜eq\f(1,4)}解析∵f(x)為奇函數(shù)，且在[0，1)上為增函數(shù)，∴f(x)在(－1，0)上也是增函數(shù)．∴f(x)在(－1，1)上為增函數(shù)．f(x)＋f(x－eq\f(1,2))＜0?f(x)＜－f(x－eq\f(1,2))＝f(eq\f(1,2)－x)?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＜x＜1，,－1＜\f(1,2)－x＜1，,x＜\f(1,2)－x))?－eq\f(1,2)＜x＜eq\f(1,4).∴不等式f(x)＋f(x－eq\f(1,2))＜0的解集為{x|－eq\f(1,2)＜x＜eq\f(1,4)}．17．函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，假設(shè)對(duì)于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[0，2)時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，求：(1)f(0)與f(2)的值；(2)f(3)的值；(3)f(2013)＋f(－2014)的值．答案(1)f(0)＝0，f(2)＝0(2)f(3)＝－1(3)1解析(2)f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.(3)依題意得，x≥0時(shí)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0時(shí)，f(x)是以4為周期的函數(shù)．因此，f(2013)＋f(－2014)＝f(2013)＋f(2014)＝f(1)＋f(2)．而f(2)＝－f(0)＝－log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2013)＋f(－2014)＝1.18．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．答案(1)m＝2(2)(1，3]解析(1)設(shè)x<0，那么－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖像知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2>－1，,a－2≤1，))所以1<a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，3]．1．(2023·浙江寧波十校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)．假設(shè)f(m)＝2，那么f(－m)的值為()A．3 B．0C．－1 D．－2答案B解析把f(x)＝x3＋sinx＋1變形為f(x)－1＝x3＋sinx.令g(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，那么g(x)為奇函數(shù)，有g(shù)(－m)＝－g(m)，所以f(－m)－1＝－[f(m)－1]，得到f(－m)＝－(2－1)＋1＝0.2．(2023·安徽蚌埠質(zhì)檢)函數(shù)y＝f(x)是R上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足f(3＋x)＝f(3－x)，當(dāng)x∈(0，3)時(shí)，f(x)＝2x，當(dāng)x∈(－6，－3)時(shí)，f(x)等于()A．2x＋6 B．－2x－6C．2x－6 D．－2x＋6答案D解析由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，得f(－x)＝－f(x)，當(dāng)x∈(－6，－3)時(shí)，x＋6∈(0，3)，由f(3＋x)＝f(3－x)，得f(x)＝－f(－x)＝－f[3－(3＋x)]＝－f[3＋(3＋x)]＝－f(6＋x)＝－26＋x.3．[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，函數(shù)f(x)＝|x|－[x]，有以下結(jié)論：①f(x)的定義域?yàn)镽；②f(x)的值域?yàn)閇0，1]；③f(x)是偶函數(shù)；④f(x)不是周期函數(shù)；⑤f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k，k＋1)(k∈N)．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．3 B．2C．1 D．0答案A解析顯然①正確．x＝－2.1時(shí)，f(－2.1)＝2.1－(－3)＝5.1.②錯(cuò)誤；f(x)圖像關(guān)于y軸不對(duì)稱(chēng)，③錯(cuò)誤；f(x)在x>0上是周期變化，在x<0上不是周期變化，④正確；k∈N，那么在(k，k＋1)(k∈N)上f(x)＝x－[x]，因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)x－[x]表示x的小數(shù)局部，所以f(x)在(k，k＋1)(k∈N)上單調(diào)遞增，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－x－[x]，y＝－x是減函數(shù)，y＝－[x]也是減函數(shù)，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間只有(k，k＋1)(k∈N)，⑤正確．故①④⑤正確，應(yīng)選A.4.設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間(－2，1]上的圖像，那么f(2013)＋f(2014)＝()A．3 B．2C．1 D．0答案C解析f(2013)＝f(3×671)＝f(0)＝0，f(2014)＝f(3×671＋1)＝f(1)＝1，所以f(2013)＋f(2014)＝1.5．(2023·湖北黃岡調(diào)研)定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(－x)＋f(x)＝0，f(x＋4)＝f(x)，且x∈(－2，0)時(shí)，f(x)＝2x＋eq\f(1,5)，那么f(log220)＝()A．1 B.eq\f(4,5)C．－1 D．－eq\f(4,5)答案C解析∵f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，∴定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．∵4＝log216<log220<log232＝5，∴f(log220)＝f(log220－4)＝f(log2eq\f(5,4))＝－f(－log2eq\f(5,4))＝－f(log2eq\f(4,5))，∵－2<log2eq\f(4,5)<0，∴f(log2eq\f(4,5))＝2log2eq\f(4,5)＋eq\f(1,5)＝1，∴f(log220)＝－1，應(yīng)選C.6．(2023·北京，文)以下函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2－x答案B解析A中函數(shù)為奇函數(shù)，B中函數(shù)為偶函數(shù)，C與D中函數(shù)均為非奇非偶函數(shù)，應(yīng)選B.7．定義在R上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意的x1，x2∈R都有f(x1＋x2)－f(x1)＝f(x2)＋5，那么以下命題正確的選項(xiàng)是()A．f(x)是奇函數(shù) B．f(x)是偶函數(shù)C．f(x)＋5是奇函數(shù) D．f(x)＋5是偶函數(shù)答案C解析取x1＝x2＝0，得f(0＋0)－f(0)＝f(0)＋5，所以f(0)＝－5，令x1＝x，x2＝－x，那么f[x＋(－x)]－f(x)＝f(－x)＋5，所以f(0)－f(x)＝f(－x)＋5，所以f(－x)＋5＝－[f(x)＋5]，所以函數(shù)f(x)＋5是奇函數(shù)，應(yīng)選C.8．(2023·東城區(qū)綜合練習(xí))以下函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．y＝x＋cosx B．y＝x＋sinxC．y＝eq\r(x) D．y＝e－|x|答案B解析在函數(shù)y＝x＋cosx中，當(dāng)x＝eq\f(π,3)時(shí)，y＝eq\f(π,3)＋eq\f(1,2)，當(dāng)x＝－eq\f(π,3)時(shí)，y＝－eq\f(π,3)＋eq\f(1,2)，所以函數(shù)y＝x＋cosx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，排除A；函數(shù)y＝eq\r(x)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，所以函數(shù)y＝eq\r(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，排除C；函數(shù)y＝e－|x|是偶函數(shù)，排除D；函數(shù)y＝x＋sinx的定義域?yàn)镽，且y＝x和y＝sinx均為奇函數(shù)，所以y＝x＋sinx是奇函數(shù)，應(yīng)選B.9．(2023·唐山一中月考)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足f(x＋1)＝eq\f(1,f〔x〕)，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f(x)＝2x－2，那么f(logeq\s\do9(\f(1,2))6)＝________．答案eq\f(1,2)解析∵f(x＋1)＝eq\f(1,f〔x〕)，∴f(x)＝f(x＋2)．f(logeq\s\do9(\f(1,2))6)＝－f(－logeq\s\do9(\f(1,2))6)＝－f(log26)＝－f(log26－2)＝－(2log26－2－2)＝－(eq\f(6,4)－2)＝eq\f(1,2).10.設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1，1)上，f(x)＝eq\b\lc