上海2022年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)15直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系

§課堂引入

直線與圓相切的存在性問題

1、知識(shí)內(nèi)容：

(1)如果OO的半徑長(zhǎng)為R,圓心O到直線/的距離為“，那么

直線/與OO相交

直線/與相切od=R;

直線/與相離。d>R.

(2)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

(3)切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

2、直線與圓相切的本質(zhì)：兩線段間的相等關(guān)系；

3、解題思路：

(1)構(gòu)造圓心到直線的距離；

(2)利用兩點(diǎn)距離公式或者是幾何圖形的性質(zhì)或者是動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡表示出垂線段的長(zhǎng):

(3)根據(jù)直線與圓相切的本質(zhì)列出方程或者是等式，進(jìn)行求解；

(4)根據(jù)題意對(duì)所求的解進(jìn)行取舍.

直線與圓的位置關(guān)系的判斷

1、知識(shí)內(nèi)容：

(1)直線與圓的位置關(guān)系：

當(dāng)直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相離；

當(dāng)直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相切；

當(dāng)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相交.

(2)如果OO的半徑長(zhǎng)為A,圓心O到直線/的距離為"，那么

直線/與相交

直線/與。。相切=

直線/與(DO相離

2、判斷直線與圓的位置關(guān)系的本質(zhì)：判斷兩線段間的大小關(guān)系;

3、解題思路：

（1）構(gòu)造圓心到直線的距離；

（2）利用兩點(diǎn)距離公式或者是幾何圖形的性質(zhì)或者是動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡表示出垂線段的長(zhǎng);

（3）比較垂線段的長(zhǎng)與圓的半徑的大小關(guān)系，從而判定圓與直線的位置關(guān)系；

（4）若題目中給出的條件是公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則要根據(jù)圖形及其題目要求將公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)

問題轉(zhuǎn)化為判定直線與圓的位置關(guān)系的問題.

例題分析

【例題1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-2/+4x+6與％軸交于48兩點(diǎn)（4點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與〉軸交

于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D過點(diǎn)C、。的直線與x軸交于E點(diǎn)，以0E為直徑畫。O1,交直線8于P、E兩點(diǎn).

（1）求E點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵聯(lián)結(jié)PO1、刈.求證:?A/>qA；

⑶①以點(diǎn)02（0,掰）為圓心畫。。2,使得。02與。01相切,

當(dāng)。02經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

②在①的情形下，試在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)03,以03為圓心畫

。03,使得。03與。。1、同時(shí)相切.直接寫出滿足條件

的點(diǎn)03的坐標(biāo)（不需寫出計(jì)算過程）.

【難度】★★★

【例題2】如圖1,已知45是圓。的一條弦，尸是圓。上的一點(diǎn)，過點(diǎn)。作MNLNP,垂足為點(diǎn)"，并交射線

AB于點(diǎn)、N.圓。的半徑為5,28=8.

（1）當(dāng)尸是優(yōu)弧斗B的中點(diǎn)時(shí)，求弦NP的長(zhǎng):

3

（2）當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)8重合時(shí)，試判斷：以點(diǎn)。為圓心，士為半徑的圓與直線/尸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

2

（3）當(dāng)/BNO=/BON,且圓N與圓。相切時(shí)，求圓N半徑的長(zhǎng).

【難度】★★★

4

【例題3】如圖1,在Rt△48c中，ZACB=9Q°,AB=5,cosZBAC=-,點(diǎn)。是邊/C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與力、C

5

重合），以點(diǎn)。為圓心，ZO為半徑作。。，與射線Z8交于點(diǎn)。；以點(diǎn)C為圓心，8為半徑作。C,設(shè)。4=

X.

（1）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)8重合時(shí)，求x的值；

（2）當(dāng)點(diǎn)。在線段N2上，如果。C與Z8的另一個(gè)交點(diǎn)E在線段NO上時(shí)，設(shè)試求y與x之間的函數(shù)解

析式，并寫出x的取值范圍;

（3）在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過程中，如果。C與線段Z8只有一個(gè)公共點(diǎn),請(qǐng)直接寫出x的取值范圍.

圖1圖2備用圖

【難度】★★★

【例題4】在放△“8c中，41c8=90。，AC=4,cos4=L點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，以以為半徑作。尸.

4

(1)若。尸與4C邊的另一個(gè)交點(diǎn)為O,設(shè)4P=x,△PCD的面積為小求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出

函數(shù)的定義域；

(2)若。P被直線8c和直線ZC截得的弦長(zhǎng)相等，求/P的長(zhǎng)；

(3)若。C的半徑等于1,且。P與。C的公共弦長(zhǎng)為近，求ZP的長(zhǎng).

【難度】★★★

自主鞏固

7

【鞏固1】如圖，直線交x軸于點(diǎn)交y軸于點(diǎn)2,O是坐標(biāo)原點(diǎn)，4(-3,0)且sinZABO=^,拋物線產(chǎn)

經(jīng)過X、B、C三點(diǎn)，C(-1,0).

(1)求直線和拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)Q(2,0),在直線上有點(diǎn)尸，使得△IB。和△/￡)尸相似，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，以N為圓心，/P長(zhǎng)為半徑畫。N,再以。為圓心，。。長(zhǎng)為半徑畫。。，判斷?！焙?。。的

位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【難度】★★★

【鞏固2】如圖，在欣AA3C中，ZACB=90°,AC=6cm,8c=8cm.點(diǎn)尸為8C的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)尸出發(fā),

沿射線PC方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心，P。長(zhǎng)為半徑作圓.設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒.

(1)當(dāng)，=1.2時(shí)，判斷直線與OP的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(2)已知。。為月8c的外接圓，若0P與相切，求f的值.

【難度】★★★

【鞏固3】己知：ZMAN=60，點(diǎn)5在射線AM上，45=4.P為直線3上一動(dòng)點(diǎn)，以3P為邊作等邊三角形3PQ

(點(diǎn)B,P,。按順時(shí)針排列)，。是△BPQ的外心.

(1)當(dāng)點(diǎn)P在射線4V上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：點(diǎn)。在NAWV的平分線上；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在射線4V上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與點(diǎn)A不重