2023年福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案

2023年福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（考試時(shí)間：5月1１日上午8:30-１１：０0)一、選擇題（每小題6分,共36分)1.已知集合，,若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()Ａ．B．Ｃ.Ｄ.【答案】A【解答】時(shí)，,符合規(guī)定。時(shí)，，。由知,。,解得?！嗟娜≈捣秶鸀?。2．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為的半圓面，則該圓錐內(nèi)切球的體積為（)A．B.C．D.【答案】A【解答】設(shè)圓錐底面半徑為，母線(xiàn)長(zhǎng)為,則,。又。因此,,。圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形。所以，其內(nèi)切球半徑,其體積。3．函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．B．C.D．【答案】Ｂ【解答】由，知，?！?，。又，因此,。值域?yàn)?。?給出下列命題：(1)設(shè)，是不同的直線(xiàn)，是一個(gè)平面,若,，則。（2)，是異面直線(xiàn)，為空間一點(diǎn)，過(guò)總能作一個(gè)平面與,之一垂直，與另一條平行。（3）在正四周體中，與平面所成角的余弦值為。（４）在空間四邊形中，各邊長(zhǎng)均為1，若，則的取值范圍是。其中對(duì)的的命題的個(gè)數(shù)為()Ａ．１個(gè)B．2個(gè)C．３個(gè)Ｄ．４個(gè)【答案】C【解答】（１）顯然對(duì)的。(2)若存在平面，使得,，則。但，是未必垂直。故不對(duì)的。（３)作于，則為正三角形的中心,是與平面所成角。設(shè),則，。故，（３)對(duì)的。(4)取中點(diǎn),則。由、、構(gòu)成三角形知,。故，（４)對(duì)的。5.已知是定義在上的奇函數(shù),且對(duì)任意,均有,當(dāng)時(shí)，,則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（)A．6個(gè)B．7個(gè)C.８?jìng)€(gè)D.９個(gè)【答案】Ｄ【解答】由知,,或?！嘣趨^(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)1。結(jié)合為奇函數(shù)知，在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)。又由知,在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)2；在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)4；在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)5。又由，知,,。又。∴在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9。6．已知函數(shù)。給出下列四個(gè)判斷：（1）的值域是;(2）的圖像是軸對(duì)稱(chēng)圖形；(3)的圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形；（4)方程有解。其中對(duì)的的判斷有（)A．1個(gè)B．2個(gè)C.3個(gè)D．4個(gè)【答案】Ｂ【解答】設(shè),,，則。(1)∵,與軸不相交(即、、三點(diǎn)不共線(xiàn))。∴等號(hào)不成立,的值域是。（1）不對(duì)的。(2）∵,∴，的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。(或從幾何圖形上看,當(dāng)與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，)。（2)對(duì)的。(3）顯然不對(duì)的。(若(3)對(duì)的,則結(jié)合(2)可得為周期函數(shù),矛盾。）(４)∵，又，∴方程有解(是方程的解)。（4)對(duì)的。二、填空題（每小題6分,共36分)7.已知集合，，若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為?！敬鸢浮俊窘獯稹繂?wèn)題等價(jià)于圓在菱形內(nèi)部（不含邊界)。∴，且圓心到直線(xiàn)的距離?！唷?.如圖，在等腰直角三角形中，,、分別為、的中點(diǎn)。將沿折起,使得折起后二面角為。則折起后四棱錐的體積為。【答案】【解答】由條件知,在四棱錐中,，?！嗍嵌娼堑钠矫娼?且?！?，且。作于,則。由知，為正三角形,?！嗨睦忮F的體積。9.已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為?！敬鸢浮俊窘獯稹坑珊瘮?shù)定義域?yàn)椋恢涤驗(yàn)?。猜測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)為。下面給出證明：∵?！嗟膱D像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。10．中,已知,若，則面積的最大值為?！敬鸢浮俊窘獯稹恳灾悬c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)為軸建立直角坐標(biāo)系，則，。設(shè)。則由，知。整理,得。∴點(diǎn)在認(rèn)為圓心，半徑為的圓(除與軸的交點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)?！帱c(diǎn)到直線(xiàn)即軸距離的最大值為。∴面積的最大值為。１1．已知二次函數(shù),若對(duì)任意均有成立,則的最大值為?！敬鸢浮?【解答】，，,，，?！?，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí),等號(hào)成立。∴的最大值為８。1２.不等式的解集為?！敬鸢浮俊窘獯稹坎坏仁交癁椤伲换颉?。由，得,由于函數(shù)為增函數(shù),且。所以，不等式①的解為。由，得。設(shè),。如圖,在同一坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)與的圖像，它們有兩個(gè)交點(diǎn)，(），其中，。所以，②的解為。由①、②可知,不等式的解集為。三、解答題(第13、14、15、16題每題16分，第17題1４分,滿(mǎn)分７８分）1３.（本題滿(mǎn)分16分）求二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值的表達(dá)式?！窘獯稹俊．?dāng)時(shí)，，在區(qū)間上的最小值為?！?分當(dāng)時(shí)，。若,即時(shí)，在區(qū)間上的最小值為?！?分若,即時(shí),在區(qū)間上的最小值為?！?分若,即時(shí)，在區(qū)間上的最小值為?！?。………16分１4．（本題滿(mǎn)分１６分）已知兩個(gè)同心圓：和：，圓上一點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為、。（1)若點(diǎn)坐標(biāo)為,求四邊形的面積。(2）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在定圓恒與直線(xiàn)相切？若存在,求出定圓的方程；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由?！窘獯稹浚?）依題意，,，且,?！??！嗨倪呅蔚拿娣e為?！?分（2)設(shè)，則。當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有?！帱c(diǎn)、在認(rèn)為圓心,為半徑的圓上。該圓方程為。……8分又點(diǎn)、在圓：上。聯(lián)立兩圓方程,消二次項(xiàng)，得。即。∴直線(xiàn)方程為。…12分∵原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為定值。∴圓恒與直線(xiàn)相切。∴存在定圓恒與直線(xiàn)相切,定圓方程為?！?６分注：本題也可以用平面幾何方法求解:設(shè)與的交點(diǎn)為，則。…8分在中，由，,，知。…12分∴認(rèn)為圓心,1為半徑的圓恒于直線(xiàn)相切?！啻嬖诙▓A恒與直線(xiàn)相切,定圓方程為?！?6分１５.（本題滿(mǎn)分１６分）如圖,在中，為的平分線(xiàn)且與交于點(diǎn),為中點(diǎn),、為、上的點(diǎn),且。求證：?！窘獯稹咳鐖D,過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn),于點(diǎn)。則由為中點(diǎn)知,為中點(diǎn)?！?分∵平分，∴?！?。結(jié)合知,、、、四點(diǎn)共圓?！?分∴?！??！?。同理,?！?2分∴，、、、四點(diǎn)共圓?！唷！?分16.(本題滿(mǎn)分16分）給出5個(gè)互不相同的實(shí)數(shù),若這5個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和或積中至少有一個(gè)是有理數(shù),求證：這５個(gè)數(shù)的平方都是有理數(shù)?！窘獯稹吭O(shè)為其中的一個(gè)數(shù)，依題意,其余的4個(gè)數(shù)為或的形式,其中為有理數(shù)?！捶郑?）若這4個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)為（)的形式，設(shè)它們?yōu)椋ㄇ?)。則由條件知,與中至少有1個(gè)成立。當(dāng)時(shí),,,成立。當(dāng)時(shí),，成立?！阜郑?)若這4個(gè)數(shù)中最多只有1個(gè)為（)的形式，則至少有3個(gè)數(shù)為（)的形式。設(shè)這三個(gè)數(shù)為,，（，,互不相同,且，，）。下面考慮這三個(gè)數(shù)的和與積。①若,，中至少有兩個(gè)為有理數(shù)。不妨設(shè),為有理數(shù),則?！啵闪?。………12分②若，，中最多只有1個(gè)為有理數(shù)，則，,中至少有兩個(gè)為有理數(shù)。不妨設(shè)，為有理數(shù)。則,。兩式相減，得，?！?成立。由①、②知,此時(shí)成立。綜上可得,。因此,這5個(gè)數(shù)的平方都是有理數(shù)?！?6分17.(本題滿(mǎn)分１4分)(１)設(shè)集合,集合是的子集,且集合中任意兩數(shù)之差都不等于6或7。問(wèn)集合中最多有多少個(gè)元素？（2）設(shè)集合,集合是的子集,且集合中任意兩數(shù)之差都不等于6或7。問(wèn)集合中最多有多少個(gè)元素?【解答】（1）構(gòu)造的下列１3個(gè)子集:，，，，，,,，,，，，(中每一個(gè)數(shù)恰好屬于2個(gè)子集)。由于從中任?。穫€(gè)元素，它們分別屬于上述13個(gè)子集中的14個(gè)子集，由抽屜原理知其中必有2個(gè)元素屬于同一個(gè)子集,它們的差為6或７。因此,中任意7個(gè)元素都不能同時(shí)屬于集合。即中最多只有6個(gè)元素?！?分又中任意兩數(shù)之差都不等于6或7。集合符合規(guī)定?！嗉现凶疃嘤?個(gè)元素?！?分（2)由（1)知，任意連續(xù)13個(gè)正整數(shù)中最多只有6