《導數(shù)與函數(shù)的單調性》教學設計函數(shù)的單調性與導數(shù)教學設計

[《導數(shù)與函數(shù)的單調性》教學設計]函數(shù)的單調性與導數(shù)教學設計

【教學目標】1.學問與技能（1）會用導數(shù)解決函數(shù)的單調性問題。（2）能利用導數(shù)概念形成過程中的根本思想分析一些實際問題，并建立他們的導數(shù)模型。

2.過程與方法通過利用導數(shù)討論函數(shù)單調性問題的過程，體會從特別到一般的數(shù)形結合的討論方法。

3.情感態(tài)度與價值觀

(1)通過導數(shù)方法討論單調性的問題，體會不同數(shù)學學問間的內在聯(lián)系，熟悉數(shù)學是一個有機整體。

(2)通過導數(shù)討論單調性的根本不驟的形成和使用，是的學生熟悉到導數(shù)使一些簡單問題變的有矩可循，因而熟悉到導數(shù)的有用價值。

【教學重難點】

重點:利用導數(shù)的方法判定函數(shù)的單調性。

難點:導數(shù)與函數(shù)單調性的關系。

【教學設計思路】通過觀看發(fā)覺，啟發(fā)引導，探究導函數(shù)與函數(shù)單調性之間的聯(lián)系，得出結論。

【教學方法】觀看發(fā)覺，啟發(fā)引導。

【教學手段】運用多媒體和板書。

【教學過程】

1.問題激發(fā)，新課導入教師:我們知道，對于函數(shù)y=f(x)來說，導數(shù)y=f“(x)刻畫的是y在x點的瞬時變化率，函數(shù)的單調性描述的是y隨x的增加而削減，兩者都是刻畫函數(shù)的變化，那么，導數(shù)與函數(shù)單調性之間有什么關系呢?

2.實踐感知，新知形成教師:用多媒體展現(xiàn)幾個函數(shù)的解析式，讓學生求出以上6個函數(shù)的導函數(shù)。

(1)y=f(x)=2x+5(2)y=f(x)=-3x+4

(3)y=f(x)=2x(4)y=f(x)=(12)x

(5)y=f(x)=log3x(6)y=f(x)=log12x

學生：

(1)f“(x)=2(2)f“(x)=-3

(3)f“(x)=2xln2(4)f“(x)=(12)xln12

(5)f“(x)=1xln3(6)f“(x)=1xln12

教師:用多媒體展現(xiàn)這6個函數(shù)的圖像，以及導函數(shù)的圖像，并讓學生觀看各個點導函數(shù)的值與函數(shù)單調性有什么關系?同學間可以相互溝通，(因制作了flash動畫，只要教師拖動切點在曲線上運動，就能看到每一點切線斜率的值)

學生：函數(shù)（1）（3）（5）上各點的斜率都是正的，函數(shù)（2）（4）（6）上各點切線的斜率都是負的。

教師：我們知道各點切線的斜率就是各點的導數(shù)值。

學生:函數(shù)（1）（3）（5）的導數(shù)是正的，函數(shù)（1）（3）（5）就是遞增的，函數(shù)（2）（4）（6）的導數(shù)都是負的，函數(shù)（2）（4）（6）就是遞減的。

教師：很好，對于（1）（3）（5）無論x取定義域內的什么實數(shù)，都有f“(x)＞0，函數(shù)y=f(x)是增加的，對于（2）（4）（6）無論x取定義域內的什么實數(shù)，都有f“(x)＜0，函數(shù)y=f(x)是削減的。

【設計意圖：一方面讓學生回憶以前的初等函數(shù)的圖像，加深記憶，另一方面從圖像上觀看各點導數(shù)值，提高學生觀看圖像的力量和抽象概括的力量】

教師:最終，我們再看函數(shù)y=f(x)=x2導數(shù)及其單調性，用多媒體展現(xiàn)函數(shù)的圖形及其導函數(shù)的圖形，讓學生相互爭論看有什么結論。

學生:當x∈(0,+∞)時，f“(x)=2x＞0，函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,+∞)上是增加的，當x∈(-∞,0)時，f“(x)=2x＜0，函數(shù)y=x2在區(qū)間(-∞,0)上是削減的。

教師:通過以上7個實例我們可以得到導函數(shù)與函數(shù)的單調性之間有什么關系?

學生:函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f“(x)＞0，則函數(shù)是增加的，函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f“(x)＜0，則函數(shù)是削減的。

教師:根本正確但肯定要留意區(qū)間。

【設計意圖：學生可能會忽視掉在定義域上求單調區(qū)間，為后面學習在給定區(qū)間上求極值和最值做預備】

教師：誰能精確的概括導數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系？

學生抽象概括：假如是在某個區(qū)間內，函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f“(x)＞0，則函數(shù)在這個區(qū)間內是增加的，假如在某個區(qū)間內，函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f“(x)＜0，則函數(shù)在這個區(qū)間內是削減的。

教師：特別棒，這么難的問題我們同學都能發(fā)覺并表述的特別精確。

【設計意圖：提高學生語言表達力量和抽象概括的力量，讓學生感覺到自己也能發(fā)覺新學問，提高對數(shù)學的興趣】

3.應用新知

例1.求函數(shù)f(x)=2x3-3x2-36x+16的遞增區(qū)間與遞減區(qū)間。

分析:依據(jù)上面結論，我們知道函數(shù)的單調性與函數(shù)導數(shù)的符號有關，因此，可以通過分析導數(shù)的符號求出函數(shù)的單調區(qū)間。

解:(教師在黑板上板書)由導數(shù)公式表和求導法則可得。

f“(x)=6x2-6x-36=6(x+2)(x-3)

當x∈(-∞,-2)或x∈(3,+∞)時，f“(x)＞0，因此，在這兩個區(qū)間上，函數(shù)是增加的；當x∈(-2,3)時，f“(x)＜0，因此，在這個區(qū)間上函數(shù)是削減的。

所以，函數(shù)f(x)=2x3-3x2-36x+16的遞增區(qū)間為(-∞,-2)和(3,+∞)；遞減區(qū)間為(-2,3)。

【設計意圖：三次函數(shù)的單調區(qū)間在以前用定義求很簡單，但用導數(shù)求是既簡潔又精確，教師板書讓學生能知道導數(shù)求單調區(qū)間的步驟】

4.舉一反三

（1）求函數(shù)y=x3-3x2的單調區(qū)間，(叫學生到黑板上做)。

【設計意圖：熬煉學生的書寫的標準性，教師準時訂正學生書寫中存在的問題】

（2）(2023江西高考，理17)設函數(shù)f(x)=exx，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間，(叫學生相互爭論后得出答案)

【設計意圖：讓學生感覺到高考題也不是很難，增加學生信念】

【課堂小結】

1.函數(shù)導數(shù)與單調性的關系:若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內可導。

假如f“(x)＞0，則f(x)為增函數(shù)；假如f“(x)＜0，則f(x)為減函數(shù)。

2.本節(jié)課中，用導數(shù)去討論函數(shù)的單調性是中心，能敏捷應用導數(shù)解題是目的，另外應留意數(shù)形結合在解題中的應用。

3.把握討論數(shù)學問題的一般方法:從特別到一般，從簡潔到簡單。