課程數(shù)值分析第1章緒論

任課教師：楊超電子郵箱:計(jì)算方法與程序設(shè)計(jì)2第1章緒論計(jì)算方法的主要內(nèi)容誤差的基本概念構(gòu)造算法和編程設(shè)計(jì)中應(yīng)注意的問題主要內(nèi)容：3第1章第1節(jié)

計(jì)算方法的主要內(nèi)容本課程只介紹常用數(shù)學(xué)模型的最基本的計(jì)算方法（數(shù)值分析、數(shù)值計(jì)算方法）。計(jì)算方法是研究并解決數(shù)學(xué)問題近似解的方法。計(jì)算方法的重要性，使得科學(xué)計(jì)算與科學(xué)理論和科學(xué)實(shí)驗(yàn)并列成為當(dāng)今世界科學(xué)活動的第三種手段。實(shí)際問題物理模型數(shù)學(xué)模型計(jì)算方法計(jì)算機(jī)求結(jié)果4第1章第1節(jié)

計(jì)算方法的主要內(nèi)容求解線性方程組：AX=B函數(shù)插值和數(shù)據(jù)擬合非線性方程和非線性方程組求根x-cos(x)=0數(shù)值積分矩陣特征值問題常微分方程初值問題的數(shù)值解法偏微分方程初值問題的數(shù)值解法最優(yōu)化方法5第1章第1節(jié)

計(jì)算方法的主要內(nèi)容學(xué)習(xí)計(jì)算方法聯(lián)系編程實(shí)踐非常重要：根據(jù)數(shù)學(xué)模型，提出合適的算法，編寫出計(jì)算機(jī)程序，調(diào)試、運(yùn)行，得到所需結(jié)果。算法：由基本運(yùn)算和運(yùn)算順序的規(guī)定所組成的整個解題方案和步驟。建立和選擇合適的算法是整個數(shù)值計(jì)算中非常重要的一環(huán)。6第1章第1節(jié)

計(jì)算方法的主要內(nèi)容算法的優(yōu)劣直接影響到計(jì)算的速度和效率，還影響計(jì)算精度（或計(jì)算誤差），甚至直接影響計(jì)算的成敗。好的算法：穩(wěn)定性好、精度高、速度快、效率高、內(nèi)存占用小。不良的算法會導(dǎo)致計(jì)算的徹底失敗！計(jì)算下式的值7第1章第1節(jié)

計(jì)算方法的主要內(nèi)容取試試看。8第1章第1節(jié)

計(jì)算方法的主要內(nèi)容近似值和算法的選擇對計(jì)算結(jié)果的精度影響很大?！`差問題在研究算法的同時，必須正確掌握誤差的基本概念、誤差在數(shù)值計(jì)算中的傳播規(guī)律、誤差分析和算法的穩(wěn)定性等。9第1章第2節(jié)

誤差的基本概念2.1誤差的來源（1）模型誤差：模型只是對實(shí)際問題的近似（2）初值誤差（觀測誤差）（3）截?cái)嗾`差（4）舍入誤差：四舍五入、只舍不入（5）過失誤差10第1章第2節(jié)

誤差的基本概念2.2絕對誤差和相對誤差

絕對誤差：=真值-近似值。

絕對誤差限：

越小，表明近似值x*越接近真值。

相對誤差：絕對誤差/真值

相對誤差限：11第1章第2節(jié)

誤差的基本概念2.3算術(shù)運(yùn)算的相對誤差（1）乘法和除法的情況12第1章第2節(jié)

誤差的基本概念（2）加法和減法的情況13第1章第2節(jié)

誤差的基本概念（2）加法和減法的情況14第1章第2節(jié)

誤差的基本概念（3）有效數(shù)字若近似值x*的誤差限不超過某一位的半個單位，該位到x*的第一位非零數(shù)字共有n位，則稱x*有n位有效數(shù)字。

5位有效數(shù)字

10位有效數(shù)字a1取1~9,a2,a3,…,an取0~9。有效位數(shù)越大，絕對誤差限、相對誤差限越小。15第1章第3節(jié)

構(gòu)造算法和編程設(shè)計(jì)中應(yīng)注意的問題

衡量算法的標(biāo)準(zhǔn)一般有算法的穩(wěn)定性、運(yùn)算復(fù)雜性、數(shù)值結(jié)果的精度等。每一步計(jì)算都可能產(chǎn)生誤差，如何控制誤差的傳播呢？（1）簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)16第1章第3節(jié)

構(gòu)造算法和編程設(shè)計(jì)中應(yīng)注意的問題（2）避免相接近的兩個數(shù)相減相接近的兩個數(shù)相減時，若計(jì)算機(jī)對它們截?cái)嗪笤儆?jì)算，可能帶來很大誤差——相減抵消。

解決辦法：改變計(jì)算公式；增加有效數(shù)字位數(shù)。17第1章第3節(jié)

構(gòu)造算法和編程設(shè)計(jì)中應(yīng)注意的問題（3）防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)參加計(jì)算的兩個數(shù)數(shù)量級相差很大，而計(jì)算機(jī)位數(shù)有限，如果不注意運(yùn)算次序就可能發(fā)生大數(shù)吃掉小數(shù)的現(xiàn)象，影響計(jì)算結(jié)果。

解決辦法：先計(jì)算小數(shù)，再與大數(shù)計(jì)算。（4）避免用絕對值過小的數(shù)作除數(shù)18第1章第3節(jié)

構(gòu)造算法和編程設(shè)計(jì)中應(yīng)注意的問題（5）應(yīng)注意控制誤差的積累使用遞推公式計(jì)算時，遞推的過程可能造成誤差的積累。19第1章第3節(jié)

構(gòu)造算法和編程設(shè)計(jì)中應(yīng)注意的問題解決辦法：避免采用小數(shù)與大數(shù)相乘的遞推公式。一種算法的計(jì)算結(jié)果受舍入誤差的影響越小，則該算法越穩(wěn)定。整數(shù)在計(jì)算機(jī)里的表示是準(zhǔn)確的，浮點(diǎn)數(shù)在計(jì)算機(jī)里的表示是有誤差的。