流體運動微分方程

流體運動微分方程1第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日控制體分析

最大優(yōu)點在于對定常流動，當(dāng)已知控制面上流動的有關(guān)信息后，就能求出總力的分量和平均速度，而不必深究控制體內(nèi)各處流動的詳細(xì)情況，給一些工程問題的求解帶來方便。

缺點是不能得到控制體內(nèi)各處流動的細(xì)節(jié)，而這對深入研究流體運動是非常重要的。

這一章中我們將推導(dǎo)微分形式的守恒方程。2第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日

流體流動微分方程包括:連續(xù)性方程運動方程

連續(xù)性方程是流動流體質(zhì)量守恒的數(shù)學(xué)描述。運動方程則是流動流體動量守恒的數(shù)學(xué)描述。二者都是基于流場中的點建立的微分方程。3第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日6.1連續(xù)性方程zyxρvzρvyρvx

連續(xù)性方程反映流動過程遵循質(zhì)量守恒。現(xiàn)取微元體如圖。4第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日輸出微元體的質(zhì)量流量為：可得輸入微元體的質(zhì)量流量：5第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日則輸出與輸入之差為：微元體內(nèi)質(zhì)量變化率為：6第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日根據(jù)質(zhì)量守恒原理有：或該式即為直角坐標(biāo)系下的連續(xù)性方程。由于未作任何假設(shè)，該方程適用于層流和湍流、牛頓和非牛頓流體。7第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日對不可壓縮流體，ρ=常數(shù)，有?ρ/?t=0，則連續(xù)性方程為不可壓縮流體的連續(xù)性方程不僅形式簡單，而且應(yīng)用廣泛，很多可壓縮流體的流動也可按常密度流動處理。8第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日在直角坐標(biāo)系中可表示為對平面流動(柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)下的連續(xù)性方程自學(xué)。)9第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日例題：不可壓縮流體的二維平面流動，y方向的速度分量為試求x方向的速度分量，假定x=0時，vx=0。10第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日解：不可壓縮流體的平面運動滿足連續(xù)性方程由已知條件得積分得vy=y2-y-x11第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日根據(jù)邊界條件x=0時vx=0代入上式得故有所以12第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日例題：不可壓縮流體的速度分布為

u=Ax+By,v=Cx+Dy,w=0若此流場滿足連續(xù)性方程和無旋條件，試求A，B，C，D所滿足的條件。不計重力影響。13第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日解：由連續(xù)方程可知則有又由于流動無旋，則有則有u=Ax+By,v=Cx+Dy,w=014第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日練習(xí)：有一個三維不可壓流場，已知其x向和y向的分速度為求其z向的分速度的表達式。當(dāng)x=0，z=0時，vz=2y。15第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日6.2不可壓縮粘性流體運動微分方程在運動著的不可壓縮粘性流體中取微元平行六面體流體微團，作用在流體微元上的各法向應(yīng)力和切向應(yīng)力如圖所示。16第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日zyxσxxxyxzσyyyxyzzyσzzzxfxfzfy?xyxy+?xdx?xzxz+?xdx?σxxσxx+?xdx?zyzy+?zdz?zxzx+?zdz?σzzσzz+?zdzdzdydx?yxyx+?ydy?yzyz+?ydy?σyyσyy+?ydy17第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日

對流體微團應(yīng)用牛頓第二定律，則沿x軸方向的運動微分方程為18第十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日化簡后得同理得——以應(yīng)力表示的運動方程19第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日將切應(yīng)力和法向應(yīng)力的關(guān)系式代入上式的第一式并整理得：20第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日同理得——不可壓縮粘性流體的運動微分方程，也叫Navier-Stokes方程，簡稱N-S方程。21第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日

法國工程師和物理學(xué)家。特別對力學(xué)理論有很大貢獻。流體力學(xué)中的納維爾.斯托克斯（Navier-Stokes）方程就用他和斯托克斯的名字命名的。他首次建立了可以于工程實際的彈性理論的數(shù)學(xué)表達式。1819年，納維爾定義了應(yīng)力零線，并修正了伽利略的錯誤結(jié)果。1826年，他提出彈性模量概念。納維爾通常被認(rèn)為是現(xiàn)代結(jié)構(gòu)分析的奠基人。納維爾的最大貢獻當(dāng)然還是N-S方程，流體力學(xué)的基本方程?？藙诘?路易.納維爾ClaudeLouisNavier1785~183622第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日N-S方程理想流體γ=0理想流體歐拉運動微分方程定常流動歐拉平衡微分方程23第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler）

1707～1783

瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。他被稱為歷史上最偉大的兩位數(shù)學(xué)家之一（另一位是卡爾·弗里德里克·高斯）。歐拉是第一個使用“函數(shù)”一詞來描述包含各種參數(shù)的表達式的人，例如：y=F(x)(函數(shù)的定義由萊布尼茲在1694年給出)。他是把微積分應(yīng)用于物理學(xué)的先驅(qū)者之一。歐拉在微積分、微分方程、幾何、數(shù)論、變分學(xué)等領(lǐng)域均做出了巨大貢獻。

24第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日①②③④⑤各項意義為：①非定常項；②對流項；③單位質(zhì)量流體的體積力；④單位質(zhì)量流體的壓力差；⑤擴散項或粘性力項N-S方程的矢量形式為25第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日

由于引入了廣義牛頓剪切定律，故N-S方程只適用于牛頓流體，處理非牛頓流體問題時可用以應(yīng)力表示的運動方程。

Navier-Stokes方程是不可壓流體理論中最根本的非線性偏微分方程組，是描述不可壓縮粘性流體運動最完整的方程，是現(xiàn)代流體力學(xué)的主干方程

。26第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日6.3基本微分方程組的定解條件

N-S方程有四個未知數(shù)，vx、vy、vz和p，將N-S方程和不可壓縮流體的連續(xù)性方程聯(lián)立，理論上可通過積分求解，得到四個未知量。一般而言，通過積分得到的是微分方程的通解，再結(jié)合基本微分方程組的定解條件，即初始條件和邊界條件，確定積分常數(shù)，才能得到具體流動問題的特解。27第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日1.初始條件對非定常流動，要求給定變量初始時刻t=t0的空間分布顯然，對于定常流動，不需要初始條件。28第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日2.邊界條件

所謂邊界條件，是包圍流場每一條邊界上的流場數(shù)值。不同種類的流動，邊界條件也不相同。流體流動分析中最常遇到的三類邊界條件如下：（1）固體壁面粘性流體與一不滲透的，無滑移的固體壁面相接觸，在貼壁處，流體速度若流體與物面處于熱平衡態(tài)，則在物面上必須保持溫度連續(xù)29第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日（2）進口與出口流動的進口與出口截面上的速度與壓強的分布通常也是需要知道的，如管流。（3）液體-氣體交界面液體-氣體交界面的邊界條件主要有兩個：

運動學(xué)條件，即通過交界面的法向速度應(yīng)相等。

壓強平衡條件，即液體的壓強必須與大氣壓和表面張力相平衡。30第三十頁，共三十九頁，2022年，8月28日

根據(jù)這些初始條件和邊界條件，我們可對基本微分方程組積分，并確定積分常數(shù)，得到符合實際流動的求解結(jié)果。但實際上，只有極少數(shù)的問題可求出理論解，通常采用數(shù)值解法。31第三十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日例題：不可壓縮粘性流體在距離為b的兩個大水平板間作定常層流流動，假定流體沿流動方向的壓強降已知，求:（1）兩板固定不動;（2）下板固定上板以等速U沿流動方向運動；兩板間流體運動的速度分布。流向yxb32第三十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日解：由于流體水平運動，則有由于流動是一維的，有vy=vz=0；由于流動是定常的，有33第三十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日34第三十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日所以N-S方程可簡化為由連續(xù)方程可得35第三十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日將式(3)代入式(1)得思考題：為什么上式右端偏導(dǎo)數(shù)改寫成全導(dǎo)數(shù)？對上式進行兩次積分可得36第三十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日