測量誤差理論及其應(yīng)用

測量誤差理論及其應(yīng)用第一頁，共八十八頁，2022年，8月28日

本章學(xué)習(xí)的目的要求:

掌握偶然誤差的統(tǒng)計特性；掌握衡量精度的指標(biāo)；掌握常用定權(quán)方法；掌握誤差傳播律及協(xié)因數(shù)傳播律。

重點、難點:

偶然誤差的統(tǒng)計特性；衡量精度的指標(biāo)以及精度和準(zhǔn)確度的聯(lián)系與區(qū)別；誤差傳播律以及協(xié)因數(shù)傳播律的應(yīng)用；定權(quán)方法。第二頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.1偶然誤差的統(tǒng)計特性幾個概念：真值：任一觀測量，客觀上總是存在一個能代表其真正大小的數(shù)值，這一數(shù)值就稱為該觀測值真值，用表示。真誤差：真值與觀測值之差（偶然誤差），即：真誤差（?）=觀測值（）-真值（）測量平差研究對象是偶然誤差,為此,有必要對偶然誤差的性質(zhì)作進(jìn)一步的分析研究。第三頁，共八十八頁，2022年，8月28日真值一般情況下是難以求得的，但有些特殊情形下，是可以知道的，如：1）三角形內(nèi)角和等于180度；2）閉合水準(zhǔn)路線高差閉合差等于零；3）往返測量一段距離，其差數(shù)的真值等于零。第四頁，共八十八頁，2022年，8月28日當(dāng)觀測值只含有偶然誤差時，其數(shù)學(xué)期望就等于真值（），即：

真誤差（?）=觀測值（）-數(shù)學(xué)期望（）殘差（改正數(shù)）：

改正數(shù)（V）=觀測值（）-平差值（）大量實踐證明：大量偶然誤差的分布呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律。第五頁，共八十八頁，2022年，8月28日三角形閉合差例子

在相同觀測條件下，獨立觀測了358個三角形的全部內(nèi)角，三角形內(nèi)角和的真誤差i由下式計算：

以誤差區(qū)間d=0.2秒將真誤差i按其絕對值進(jìn)行排列。統(tǒng)計出誤差落入各個區(qū)間的個數(shù)，計算出其頻率WWWWWWWWWWWWWW第六頁，共八十八頁，2022年，8月28日表1-2-1偶然誤差分布表誤差區(qū)間0.00～0.200.20～0.400.40～0.600.60～0.800.80～1.001.00～1.201.20～1.401.40～1.601.60以上∑

△為負(fù)值個數(shù)頻率

0.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.011001810.505△為正值個數(shù)頻率460.128410.115330.092210.059160.045130.03650.01420.006001770.495

誤差絕對值個數(shù)頻率910.254810.226660.184440.123330.092260.072110.03160.017003581.000表1-2-1偶然誤差分布表第七頁，共八十八頁，2022年，8月28日從表中看出：絕對值最大不超過某一限值（1.6秒）；絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的個數(shù)多；絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)個數(shù)大致相等。大量的測量實踐證明，在其它測量結(jié)果中，也都顯示出上述同樣的統(tǒng)計規(guī)律。第八頁，共八十八頁，2022年，8月28日誤差分布規(guī)律，除了采用誤差分布表表達(dá)，還可用直方圖來表達(dá)。一定的觀測條件對應(yīng)著一種確定的誤差分布。第九頁，共八十八頁，2022年，8月28日當(dāng)誤差個數(shù)無限增大時，將誤差區(qū)間縮小，直方圖則變成一條光滑的曲線：該圖同樣可以說明觀測誤差特性，稱為“誤差分布曲線”。第十頁，共八十八頁，2022年，8月28日可以證明，若△僅含有偶然誤差，其分布為正態(tài)分布，其分布函數(shù)為：

σ

—標(biāo)準(zhǔn)差，在測量上稱為中誤差。當(dāng)σ不同時，曲線位置不變，但分布曲線的形狀將發(fā)生變化。第十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日

用概率的術(shù)語概括偶然誤差的特性如下：1、一定觀測條件下，誤差絕對值有一定限值（有限性）；2、絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)概率大（漸降性）；3、絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)概率相同（對稱性）；4、偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零（抵償性）；第十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日以上分析可知：1）觀測誤差呈現(xiàn)偶然性；2）偶然誤差具有統(tǒng)計規(guī)律；（均值為零的正態(tài)隨機(jī)分變量）

測量平差任務(wù)之一：評定測量成果精度。第十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日

當(dāng)觀測值中僅含有偶然誤差時，由統(tǒng)計學(xué)知：

若觀測誤差中系統(tǒng)誤差，即第十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.2精度指標(biāo)

觀測條件與觀測精度1、觀測條件：指測量過程中的觀測者、儀器、外界條件的綜合。一定的觀測條件，對應(yīng)著一個確定的誤差分布；可見：分布曲線陡峭的說明誤差分布密集，或者離散度小，觀測精度高些，也就是觀測條件好；另一條說明誤差分布較為離散或者說它的離散度大，也即觀測條件差。第十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日2、觀測精度：

是指一組偶然誤差分布的密集與離散的程度，是觀測值與其期望值接近的程度，表征觀測結(jié)果偶然誤差大小的程度。密集離散在相同的觀測條件下所進(jìn)行的一組觀測，稱為等精度觀測或同精度觀測。第十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日

精度與準(zhǔn)確度、精確度精度：就是指在一定觀測條件下，一組觀測值密集或離散的程度，即反應(yīng)的是：L與E（L）接近程度。表征觀測結(jié)果的偶然誤差大小程度。精度是以觀測值自身的平均值為標(biāo)準(zhǔn)的。精度高。成績：9.0，9.5，9.2，8.5，8.6，8.2，8.8，8.6成績：0.2，0.7，0.4，-0.3，-0.2，-0.6，0，-0.28109第十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日準(zhǔn)確度：是指觀測值的數(shù)學(xué)期望與其真值的接近程度。表征觀測結(jié)果系統(tǒng)誤差大小的程度。若觀測值數(shù)學(xué)期望與其真值得偏差越大，則準(zhǔn)確度越低。準(zhǔn)確度低。精度高。第十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日精確度：是精度與準(zhǔn)確度的合成。是指觀測結(jié)果與其真值的接近程度。反映偶然誤差和系統(tǒng)誤差以及粗差聯(lián)合影響大小程度。若觀測值數(shù)學(xué)期望與其真值得偏差越大，則準(zhǔn)確度越低。精確度衡量指標(biāo)是均方誤差：精度低準(zhǔn)確度低精確度低。第十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日可見：精度高，不一定準(zhǔn)確度也高！

圖(a)表示精度、精確度均高，而準(zhǔn)確度低；圖(b)表示精度高，精確度低，而準(zhǔn)確度低；圖(c)表示精度、精確度均低，因而準(zhǔn)確度低；圖(d)表示精度、精確度均低，但準(zhǔn)確度較高。第二十頁，共八十八頁，2022年，8月28日當(dāng)系統(tǒng)誤差相對于偶然誤差小到可以忽略時，精度=精確度！第二十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日1、方差由數(shù)理統(tǒng)計學(xué)可知，隨機(jī)變量X的方差定義為：觀測值L和觀測誤差△均為隨機(jī)變量，因此其方差為當(dāng)觀測值只含偶然誤差時，任一觀測值的方差與觀測誤差的方差是相同的。2.2.2衡量精度的指標(biāo)第二十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日可見：中誤差不是代表個別誤差大小，而是代表誤差分布的離散度大??；中誤差越小，說明絕對值較小的誤差越多！由數(shù)學(xué)期望定義，方差（或中誤差）又可表示為：和實際工作中，由于觀測個數(shù)有限的，故可求得方差或中誤差的估值：真誤差用殘差計算觀測值的中誤差：P8第二十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日例:某距離等精度丈量6次，結(jié)果如下，試求該距離的最或是值及觀測值中誤差。L1=546.535mL2=546.548mL3=546.520mL4=546.546mL5=546.550mL6=546.537m解：該距離的最或是值第二十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日定義：在一定的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕對值的數(shù)學(xué)期望，稱為平均誤差，并以θ表示，即平均誤差和中誤差的理論關(guān)系式可見，不同大小的平均誤差，對應(yīng)著不同的中誤差，也就對應(yīng)著不同的誤差分布。即說明也可應(yīng)用平均誤差作為衡量精度的指標(biāo)。2、平均誤差第二十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日3、或然誤差定義：在一組等精度測量中，若某一偶然誤差具有這樣的特性：絕對值比它大的誤差個數(shù)與絕對值比它小的誤差個數(shù)相同，這個誤差即稱為或然誤差。也就是說全部誤差按絕對值大小順序排列，中間的那個誤差就是或然誤差。觀測誤差落入正、負(fù)或然誤差之間的概率恰好等于1/2，即誤差的概率分布曲線：或然誤差第二十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日3、或然誤差或然誤差與中誤差的關(guān)系：實際或然誤差得到方法：1）將相同條件下得到一組誤差，排列，取中間或中間兩個的平均數(shù)；2）先求中誤差，然后用上述公式求得。第二十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日例：設(shè)有一列等精度觀測真誤差，按絕對值遞增順序排列于下表。試計算其中誤差、平均誤差以及或然誤差。序號123456789真誤差（秒）-0.1+0.4+1.2+1.2+1.8+1.9+2.6-4.7-5.1序號101112131415161718真誤差（秒）+5.6-7.2+8.9+9.6-9.7+9.8+9.9-10.0-10.3解：第二十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日不難看出：因此，我國和世界各國通常都是采用中誤差作為精度指標(biāo)。中誤差、平均誤差以及或然誤差都可以作為衡量精度的指標(biāo)；但當(dāng)n不大時，中誤差比平均誤差能更靈敏地反映大的真誤差的影響；或然誤差又可由中誤差求得；計算時，精度指標(biāo)通常取2-3個有效數(shù)字，數(shù)值后面要寫上對應(yīng)單位！第二十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日4、極限誤差觀測成果中不能含有粗差，那么如何來判斷誤差中的粗差呢？引入極限誤差，也即最大誤差。由偶然誤差的特性可知，在一定的條件下，偶然誤差不會超過一個界值，這個界值就是極限誤差。確定極限誤差依據(jù)：概率理論和大量實踐統(tǒng)計證明，大量同精度觀測的一組誤差中誤差落在各區(qū)間的概率為則定義為：通常將三倍（或兩倍）的中誤差作為極限誤差，即第三十頁，共八十八頁，2022年，8月28日5、相對誤差定義：中誤差與觀測值之比，即相對誤差是一個無名數(shù)，為方便計，通常將分子化為1，即1/T的形式。相對誤差是用來衡量長度精度的一種指標(biāo)。相對誤差又分為相對中誤差，相對真誤差，相對極限誤差。第三十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日例：用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是±2cm，問兩者的精度是否相同？解：根據(jù)相對中誤差定義，得前者的相對中誤差為：

0.02／200＝1／10000后者相對中誤差則為：

0.02／40＝l／2000故前者的量距精度高于后者。思考：1）對于相同中誤差但角值大小不等的情況，其精度又怎樣？2）導(dǎo)線測量中規(guī)范規(guī)定的相對閉合差不超過1/2000，指的是何種誤差？第三十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日絕對誤差為了工作方便，需要引入一個新的指標(biāo)-------權(quán)。相對指標(biāo)衡量精度指標(biāo)中誤差平均誤差或然誤差極限誤差相對誤差第三十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日1、協(xié)方差陣

設(shè)有n個觀測量，描述其精度的方差陣DXX的定義為2.3方差陣、誤差傳播律第三十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日可以得到：第三十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日不難看出，協(xié)方差陣有以下的幾個特點：對稱方陣；

DXX中的主對角線上的各元素σxi2

為Xi

的方差；非主對角線中的元素σxixj為Xi關(guān)于Xj的協(xié)方差，是描述Xi

與Xj

之間相關(guān)性的量；協(xié)方差估值計算公式：方差陣DXX也稱方差—協(xié)方差陣，簡稱為方差陣或協(xié)方差陣；DXX是描述觀測向量的精度指標(biāo)。它不僅給出了各觀測值的方差，而且還給出了其中兩兩觀測值之間的協(xié)方差即相關(guān)程度。第三十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日

當(dāng)時，表示兩個觀測量互不相關(guān)。如任意兩個觀測量均為互不相關(guān)時，此時方差陣Dx即變?yōu)閷顷?

第三十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日在實際工作中，往往有些值不是直接測定的，而是由觀測值通過一定的函數(shù)關(guān)系計算的，即觀測值函數(shù)。那么如何確定函數(shù)的精度呢？？中誤差應(yīng)用協(xié)方差傳播律（或誤差傳播律)中誤差2.3誤差傳播定律及應(yīng)用第三十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日所謂協(xié)方差傳播律：

描述由觀測值的方差來推求觀測值函數(shù)的方差關(guān)系的公式，稱為“協(xié)方差傳播律”。

第三十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日從測量工作的現(xiàn)狀可以看出:

觀測值函數(shù)與觀測值之間的關(guān)系可分為以下兩種情況：1）線性函數(shù)（如觀測高差與高程的關(guān)系）；如2）非線性函數(shù)（觀測角度、邊長與待定點坐標(biāo)的關(guān)系）。故，分別從線性函數(shù)、非線性函數(shù)研究協(xié)方差傳播律。H2=HA+h1+h2第四十頁，共八十八頁，2022年，8月28日設(shè)有觀測值,數(shù)學(xué)期望為,協(xié)方差陣為，又設(shè)有X線性函數(shù)為:

求Z的方差DZZ2.3.1線性函數(shù)的協(xié)方差傳播律或：K為已知系數(shù)陣，K0為方程常數(shù)向量。（2-18）P10第四十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日為求K的方差，我們需從方差的定義入手。根據(jù)方差的定義,Y的方差為：由數(shù)學(xué)期望運算可得：將Z的函數(shù)式以及數(shù)學(xué)期望E（Z）代入得：（2-22）P11第四十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日方差的純量形式為：可見：若DXX為對角陣時，協(xié)方差傳播律即為“誤差傳播律”。（2-20）P11（2-19）P11觀測值不相關(guān)第四十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日由上推導(dǎo)可得出以下結(jié)論：若有函數(shù):純量形式：則函數(shù)的方差為:以上就是已知觀測量的方差,求其函數(shù)方差的公式。也稱為“協(xié)方差傳播律”。（2-22）P11第四十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日舉三個例子例:用鋼尺分五段測量某距離，得到各段距離及相應(yīng)的中誤差如下，該求該距離S的中誤差及相對中誤差。

S1=50.350m±1.5mmS2=150.555m±2.5mmS3=100.650m±2.0mmS4=100.450m±2.0mmS5=50.455m±1.5mm解：

S=S1+S2+S3+S4+S5=452.460m按線性函數(shù)誤差傳播律，得S的中誤差為：其相對中誤差為：

觀測值不相關(guān)第四十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日例、設(shè)有觀測值向量的方差陣為：（1）試寫出各觀測值的方差以及兩兩協(xié)方差；（2）若有函數(shù)，則該函數(shù)F的方差又如何？解：觀測值相關(guān)第四十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日例：已知向量，且若有函數(shù)：試求各函數(shù)的方差。解：觀測值不相關(guān)第四十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日第四十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.3.2線性函數(shù)誤差傳播率在測量工作中的應(yīng)用

水準(zhǔn)測量的精度hABAB大地水準(zhǔn)面HBＨA上兩式是水準(zhǔn)測量計算高差中誤差的基本公式。第四十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日

導(dǎo)線邊方位角的精度

同精度獨立觀測值的算術(shù)平均值精度第五十頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.3.3多個觀測值線性函數(shù)的誤差傳播律設(shè)有觀測值，它們的期望、方差為若有X的r個線性函數(shù)為:求函數(shù)的方差以及它們之間的協(xié)方差？（2-33）P13第五十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日令:則X的t個線性函數(shù)式可寫為:同樣,根據(jù)協(xié)方差陣的定義可得Z的協(xié)方差陣為:（2-34）P13（2-35）P13第五十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日例1：已知向量，且：若有函數(shù)：并記，試求、。第五十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日解：對于函數(shù)式利用協(xié)方差傳播律第五十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日對于函數(shù)式利用協(xié)方差傳播律本題關(guān)健是:將函數(shù)式轉(zhuǎn)換為“同一”變量的形式!第五十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日例2：設(shè)有觀測值向量,其協(xié)方差陣為設(shè)函數(shù)并記,試求解：第五十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日從以上兩個例子可以看出單個線性函數(shù)的協(xié)方差和多個線性函數(shù)的協(xié)方差陣在形式上完全相同,且推導(dǎo)過程也相同;所不同的是：前者是一個函數(shù)值的方差（1行1列）;而后者是t個函數(shù)值的協(xié)方差陣（r行r列）。即：前者是后者的特殊情況。第五十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.3.4非線性函數(shù)的誤差傳播律設(shè)有觀測值的非線性函數(shù)為：

且已知X的協(xié)方差陣求Y的方差陣DZZ。

解決這類問題的關(guān)鍵是必需先將非線性函數(shù)線性化,得到和前面已推導(dǎo)出的公式“一致”的形式!第五十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日將非線性函數(shù)進(jìn)行全微分為：按照線性函數(shù)進(jìn)行協(xié)方差傳播：（2-37）P14等價第五十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日例1：已知長方形的廠房，經(jīng)過測量，其長度x的觀測值為90m，其寬度y的觀測值為50m，它們的中誤差分別為2mm、3mm，求其面積及相應(yīng)的中誤差。解：面積S=xy=90*50=4500（m2）對S進(jìn)行全微分：應(yīng)用協(xié)方差傳播定律：第六十頁，共八十八頁，2022年，8月28日例2：設(shè)有觀測值向量,其協(xié)方差陣為設(shè)函數(shù),試求解：對函數(shù)Z進(jìn)行全微分：應(yīng)用協(xié)方差傳播定律：第六十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日1）按要求寫出函數(shù)式；2）若是非線性函數(shù)式，則先對函數(shù)式兩邊求全微分；3）將函數(shù)式（或微分關(guān)系式）寫成矩陣形式（有時要顧及單位的統(tǒng)一）；4）應(yīng)用協(xié)方差傳播律公式求方差或協(xié)方差陣。歸納應(yīng)用協(xié)方差傳播律的計算步驟：第六十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日1、權(quán)

在測量數(shù)據(jù)處理中，不僅需要用中誤差表示觀測量的絕對精度的高低，還需引入一個表示觀測值之間精度相對高低的指標(biāo)，即權(quán)。定義：設(shè)有觀測值Li（i=1，2…，n）的方差為，如選任一常數(shù)，則定義：

并稱Pi為觀測值Li的權(quán)。2.4權(quán)與定權(quán)（2-40）P16第六十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日

如右圖所示的水準(zhǔn)網(wǎng)中，h1、h2、h3、h4、h5、h6是各路線的觀測高差，S1=1.0km，S2=2.0km，S3=2.5km，S4=4.0km，S5=8.0km，S6=10.0km是各水準(zhǔn)路線長度。定權(quán)：設(shè)每千米觀測值高差的方差為，根據(jù)而，則第六十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日令，則令，則相等×10第六十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日不難看出權(quán)與方差成反比；權(quán)是表征觀測值之間的相對精度指標(biāo)（權(quán)是不唯一的，單個權(quán)沒意義的）；選定不同的，權(quán)之間的比例關(guān)系依就不變；對同一問題中，為使權(quán)能起到比較精度高低的作用，C應(yīng)取同一定值（否則就破壞了權(quán)間的比例關(guān)系）。第六十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日“單位權(quán)”的定義：等于1的權(quán)為單位權(quán)。對應(yīng)的觀測值為單位權(quán)觀測值。對應(yīng)觀測值的中誤差稱為單位權(quán)中誤差?？梢姡簷?quán)定義中，C稱為單位權(quán)方差,記為σ02。幾個概念：第六十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日例：在相同觀測條件下，應(yīng)用水準(zhǔn)測量測定了三角點A、B、C之間的高差，設(shè)該三角形邊長分別為S1=10km，S2=8km，S3=4km，令40km的高差觀測值為單位權(quán)觀測，試求各段觀測高差之權(quán)及單位權(quán)中誤差。解：假設(shè)每千米觀測值高差的方差為，則第六十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日1.水準(zhǔn)測量的權(quán)公式的應(yīng)用前提：

（1）當(dāng)各測站的觀測高差為同精度時；（2）當(dāng)每公里觀測高差為同精度時?；?.4.3測量中常用定權(quán)的方法測站數(shù)在起伏不大的地區(qū)，每千米的測站數(shù)大致相同，則可按水準(zhǔn)路線的距離定權(quán)；而在起伏較大的地區(qū)，每千米的測站數(shù)相差較大，則按測站數(shù)定權(quán)。第六十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日例：如圖所示的水準(zhǔn)網(wǎng)，各水準(zhǔn)路線長度分別為（設(shè)每公里觀測高差中誤差相等）：

S1=2.0(km)S2=2.0(km)S3=3.0(km)S4=3.0(km)S5=4.0(km)S6=4.0(km)

試確定各路線觀測高差的權(quán)。ADCBh1h6h5h2h4h3解：設(shè)取4KM的觀測高差為單位權(quán)觀測(C=4KM)，則由水準(zhǔn)測量常用定權(quán)公式得：

P1=2，P2=2，P3=1.3，P4=1.3，P5=1，P6=1第七十頁，共八十八頁，2022年，8月28日例：在邊角網(wǎng)中，已知測角中誤差為1.0′，測邊的中誤差為2.0厘米，試確定它們的權(quán)。解：設(shè)σ0=σβ=1.0′

則由權(quán)定義得：

說明了權(quán)有時是有量綱的。第七十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日1、觀測值的協(xié)因數(shù)定義：協(xié)因數(shù)就是權(quán)倒數(shù)，用Qii表示。即：表明：

任一觀測值的方差總是等于單位權(quán)方差與該觀測值協(xié)因數(shù)（權(quán)倒數(shù)）的乘積。或：2.5協(xié)因數(shù)傳播律第七十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日2、協(xié)因數(shù)陣互協(xié)因數(shù)（相關(guān)權(quán)倒數(shù)）對于兩個隨機(jī)變量之間的互協(xié)因數(shù)，可表示為：協(xié)因數(shù)陣QXX

將隨機(jī)向量X的方差陣DXX，乘以一個純量因子1/σ02，則得協(xié)因數(shù)陣QXX，即：第七十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日例：已知觀測值向量的協(xié)方差陣為單位權(quán)方差，協(xié)因數(shù)

QLL。解：第七十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日3、權(quán)陣定義：協(xié)因數(shù)陣的逆陣為權(quán)陣。即

如何根據(jù)協(xié)因數(shù)陣來確定觀測量的權(quán)呢？第七十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日解：由權(quán)陣定義得又由得觀測值的權(quán)為：可見：1）當(dāng)QLL或PLL為非對角陣時，觀測值的權(quán)與權(quán)陣中的兩個主對角線元素并不一定相等,不可從權(quán)陣中求權(quán)