正交多項(xiàng)式學(xué)時

正交多項(xiàng)式學(xué)時第一頁，共四十六頁，2022年，8月28日5.5正交多項(xiàng)式一、正交多項(xiàng)式的概念與性質(zhì)1、權(quán)函數(shù)的定義2、兩個函數(shù)的內(nèi)積3、函數(shù)的正交（1）兩個函數(shù)的正交（2）正交函數(shù)系（3）正交函數(shù)系一定線性無關(guān)。4、正交多項(xiàng)式（1）正交多項(xiàng)式的充要條件（2）正交多項(xiàng)式的性質(zhì)5、Gram-Schmidt正交化方法第二頁，共四十六頁，2022年，8月28日5.5正交多項(xiàng)式一、正交多項(xiàng)式的概念與性質(zhì)1、權(quán)函數(shù)的定義思考：是權(quán)函數(shù)嗎？區(qū)間為多少？第三頁，共四十六頁，2022年，8月28日常見的權(quán)函數(shù)有第四頁，共四十六頁，2022年，8月28日2、兩個函數(shù)的內(nèi)積內(nèi)積的性質(zhì)：(1)對稱性(2)數(shù)乘性k為常數(shù)；

(3)可加性(4)非負(fù)性第五頁，共四十六頁，2022年，8月28日3、函數(shù)的正交（1）兩個函數(shù)的正交（2）正交函數(shù)系第六頁，共四十六頁，2022年，8月28日（3）正交函數(shù)系一定線性無關(guān)。3、函數(shù)的正交（1）兩個函數(shù)的正交（2）正交函數(shù)系第七頁，共四十六頁，2022年，8月28日4、正交多項(xiàng)式（1）正交多項(xiàng)式的充要條件P184即：思考：q(x)的表示式？第八頁，共四十六頁，2022年，8月28日4、正交多項(xiàng)式（1）正交多項(xiàng)式的充要條件P184即：證明：必要性：第九頁，共四十六頁，2022年，8月28日4、正交多項(xiàng)式（1）正交多項(xiàng)式的充要條件P184（2）正交多項(xiàng)式的性質(zhì)第十頁，共四十六頁，2022年，8月28日（2）正交多項(xiàng)式的性質(zhì)證明思路：分兩種情況證明:k=0，k>0（據(jù)TH5.6證明）第十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日（2）正交多項(xiàng)式的性質(zhì)證明思路：（1）說明有奇數(shù)重根；（2）說明奇數(shù)重根有k個。第十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日證明思路：（1）說明有奇數(shù)重根；（2）說明奇數(shù)重根有k個。第十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日（2）正交多項(xiàng)式的性質(zhì)第十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日5、Gram-Schmidt正交化方法2第十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日5、Gram-Schmidt正交化方法2第十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日二、幾種常用的正交多項(xiàng)式1、勒讓得（Legengre）多項(xiàng)式

2、Chebyshev多項(xiàng)式3、Laguerre多項(xiàng)式4、Hermite多項(xiàng)式第十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日二、幾種常用的正交多項(xiàng)式1、勒讓得（Legengre）多項(xiàng)式勒讓德（公元1752─公元1833）為法國數(shù)學(xué)家，生于巴黎，卒于同地。約1770年畢業(yè)于馬扎蘭學(xué)院。1775年任巴黎軍事學(xué)院數(shù)學(xué)教授。1782年以《關(guān)於阻尼介質(zhì)中的彈道研究》獲柏林科學(xué)院獎金.次年當(dāng)選為巴黎科學(xué)院院士1787年成為倫敦皇家學(xué)會會員。勒讓德曾與拉格朗日、拉普拉斯并列為法國數(shù)學(xué)界的“三L”，為18世紀(jì)末19世紀(jì)初法國數(shù)學(xué)家的復(fù)興做出重要貢獻(xiàn)第十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日二、幾種常用的正交多項(xiàng)式1、勒讓得（Legengre）多項(xiàng)式第十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日二、幾種常用的正交多項(xiàng)式1、勒讓得（Legengre）多項(xiàng)式第二十頁，共四十六頁，2022年，8月28日Legengre多項(xiàng)式的性質(zhì)：（1）Legendre多項(xiàng)式系{}是區(qū)間[-1，1]上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式系?？疾欤旱诙豁?，共四十六頁，2022年，8月28日Legengre多項(xiàng)式的性質(zhì)：（1）Legendre多項(xiàng)式系{}是區(qū)間[-1，1]上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式系。（2）的最高次項(xiàng)系數(shù)為（3）n為奇數(shù)時為奇函數(shù)，

n為偶數(shù)時為偶函數(shù)。（4）遞推關(guān)系當(dāng)時，

第二十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日Legengre多項(xiàng)式的性質(zhì)：（4）遞推關(guān)系第二十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日Legengre多項(xiàng)式的性質(zhì)：（1）Legendre多項(xiàng)式系{}是區(qū)間[-1，1]上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式系。（2）的最高次項(xiàng)系數(shù)為（3）n為奇數(shù)時為奇函數(shù)，

n為偶數(shù)時為偶函數(shù)。（4）遞推關(guān)系當(dāng)時，

第二十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日

2、Chebyshev多項(xiàng)式二、幾種常用的正交多項(xiàng)式1、勒讓得（Legengre）多項(xiàng)式第二十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日

2、Chebyshev多項(xiàng)式二、幾種常用的正交多項(xiàng)式1、勒讓得（Legengre）多項(xiàng)式第二十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日

2、Chebyshev多項(xiàng)式第一類Chebyshev微分方程：第二類Chebyshev微分方程：其解稱為第一類Chebyshev多項(xiàng)式其解稱為第二類Chebyshev多項(xiàng)式第二十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日切比雪夫多項(xiàng)式在逼近理論中有重要的應(yīng)用。這是因?yàn)榈谝活惽斜妊┓蚨囗?xiàng)式的根（稱為切比雪夫點(diǎn)）可以用于多項(xiàng)式插值。降低龍格現(xiàn)象，相應(yīng)的插值多項(xiàng)式能最大限度地且提供多項(xiàng)式在連續(xù)函數(shù)的最佳一致逼近。

2、Chebyshev多項(xiàng)式第二十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日Chebyshev多項(xiàng)式的性質(zhì)：（1）是x的n次多項(xiàng)式，并且當(dāng)時，的最高次項(xiàng)系數(shù)為

2、Chebyshev多項(xiàng)式第二十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日Chebyshev多項(xiàng)式的性質(zhì)：（2）Chebyshev多項(xiàng)式系是區(qū)間[-1，1]上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式系。（1）是x的n次多項(xiàng)式，并且當(dāng)時，的最高次項(xiàng)系數(shù)為

2、Chebyshev多項(xiàng)式第三十頁，共四十六頁，2022年，8月28日Chebyshev多項(xiàng)式的性質(zhì)：（2）Chebyshev多項(xiàng)式系是區(qū)間[-1，1]上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式系。

2、Chebyshev多項(xiàng)式第三十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日Chebyshev多項(xiàng)式的性質(zhì)：（2）Chebyshev多項(xiàng)式系是區(qū)間[-1，1]上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式系。（1）是x的n次多項(xiàng)式，并且當(dāng)時，的最高次項(xiàng)系數(shù)為

2、Chebyshev多項(xiàng)式（3）遞推關(guān)系第二類Chebyshev多項(xiàng)式的遞推公式：第三十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日（3）遞推關(guān)系(4)（根的性質(zhì)）在開區(qū)間（-1，1）內(nèi)有n個互異實(shí)零點(diǎn)，第三十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日（3）遞推關(guān)系(4)（根的性質(zhì)）在開區(qū)間（-1，1）內(nèi)有n個互異實(shí)零點(diǎn)，n為奇數(shù)時為奇函數(shù)，

n為偶數(shù)時為偶函數(shù)。（5）奇偶性第三十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日Chebyshev多項(xiàng)式的性質(zhì)：（2）Chebyshev多項(xiàng)式系是區(qū)間[-1，1]上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式系。（3）遞推關(guān)系(4)在開區(qū)間（-1，1）內(nèi)有n個互異實(shí)零點(diǎn)，（5）n為奇數(shù)時為奇函數(shù),n為偶數(shù)時為偶函數(shù)。第三十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日3、Laguerre多項(xiàng)式定義：稱為Laguerre（拉蓋爾）多項(xiàng)式。Laguerre多項(xiàng)式的性質(zhì)：（1）是x的n次多項(xiàng)式，并且它的最高次項(xiàng)系數(shù)為（2）Laguerre多項(xiàng)式系{}是在區(qū)間上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式系。第三十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日Laguerre多項(xiàng)式的性質(zhì)：（1）是x的n次多項(xiàng)式，并且它的最高次項(xiàng)系數(shù)為（2）Laguerre多項(xiàng)式系{}是在區(qū)間上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式系。（3）遞推關(guān)系第三十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日4、Hermite多項(xiàng)式第三十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日4、Hermite多項(xiàng)式埃爾米特在四十九歲時，巴黎大學(xué)才請他去擔(dān)任教授。此后的二十五年，幾乎整個法國的大數(shù)學(xué)家都出自他的門下。我們無從得知他在課堂上的授課方式，但是有一件事情是可以確定的──沒有考試。由于不會應(yīng)付考試，無法繼續(xù)升學(xué)，他只好找所學(xué)校做個批改學(xué)生作業(yè)的助教。這份助教工作，做了幾乎二十五年，盡管他這二十五年中發(fā)表了代數(shù)連分?jǐn)?shù)理論、函數(shù)論、方程論……已經(jīng)名滿天下，數(shù)學(xué)程度遠(yuǎn)超過當(dāng)時所有大學(xué)的教授，但是不會考試，沒有高等學(xué)位的埃爾米特，只能繼續(xù)批改學(xué)生作業(yè)。社會現(xiàn)實(shí)對他就是這么殘忍、愚昧。第三十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日4、Hermite多項(xiàng)式第四十頁，共四十六頁，2022年，8月28日4、Hermite多項(xiàng)式定義：稱為Hermite多項(xiàng)式。Hermite多項(xiàng)式的性質(zhì)：（1）是x的n次多項(xiàng)式，并且它的最高次項(xiàng)系數(shù)為第四十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日Hermite多項(xiàng)式的性質(zhì)：（1）是x的n次多項(xiàng)式，并且它的最高次項(xiàng)系數(shù)為（2）Hermite多項(xiàng)式系{}是在區(qū)間上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式系。（3）遞推關(guān)系第四十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日小結(jié)5.5正交多項(xiàng)式一、正交多項(xiàng)式的概念與性質(zhì)二、幾種常用的正交多項(xiàng)式第四十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日5.5正交多項(xiàng)式一、正交多項(xiàng)式的概念與性質(zhì)1、權(quán)函數(shù)的定義2、兩個函數(shù)的內(nèi)積3、函數(shù)的正交（1）兩個函數(shù)的正交（2）正交函數(shù)系（3）正交函數(shù)系一定線性無關(guān)。4、正交多項(xiàng)式（1）正交多項(xiàng)式的充要條件（2）正交多項(xiàng)式的性質(zhì)5、Gram-Schmidt正交化方法第四十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日二、幾種常用的正交多項(xiàng)式1、勒讓得（Legengre）多項(xiàng)式

2、Chebyshev多項(xiàng)式3、Laguerre