橋涵水文第二章下

橋涵水文第二章下第一頁，共八十一頁，2022年，8月28日第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)隨機變量的頻率分布特征和頻率分布曲線，能夠用該系列的幾個數(shù)值特征值來確定。這些具體數(shù)值常稱為統(tǒng)計參數(shù)。第二頁，共八十一頁，2022年，8月28日第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)

研究分布的數(shù)值特征（統(tǒng)計參數(shù)）的重要意義在于:需要用一些數(shù)值特征來表示一個已知的概率分布。對于一個未知分布，可以通過數(shù)值特征來估計它的分布。在水文計算中，通常只掌握樣本系列的統(tǒng)計參數(shù)來推求總體的規(guī)律。第三頁，共八十一頁，2022年，8月28日水文統(tǒng)計中常用的統(tǒng)計參數(shù)有三個：均值X、變差系數(shù)Cv、偏差系數(shù)Cs。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第四頁，共八十一頁，2022年，8月28日

一均值、中值、眾值第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第五頁，共八十一頁，2022年，8月28日均值是系列中隨機變量的算術(shù)平均數(shù)。離散變量（出現(xiàn)次數(shù)相同）：第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第六頁，共八十一頁，2022年，8月28日第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)均值是系列中隨機變量的算術(shù)平均數(shù)。離散變量（出現(xiàn)次數(shù)不同）：第七頁，共八十一頁，2022年，8月28日第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)均值是系列中隨機變量的算術(shù)平均數(shù)。連續(xù)變量：第八頁，共八十一頁，2022年，8月28日模比系數(shù)：各個變量與均值的比值，以K表示。對于任一變量xi，有：第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第九頁，共八十一頁，2022年，8月28日均值的意義：1）反映變量系列在數(shù)值上的大?。?）是系列的分布中心，即幾率分布中心處的變量。密度曲線中，其垂線是曲線下方面積的重心軸。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第十頁，共八十一頁，2022年，8月28日理論和實踐都證明，當實測的資料系列較長時，均值趨于穩(wěn)定。因此，由較長系列實測資料推求的均值，可近似地代替總體的均值。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日均值表示系列的平均情況，它表明系列總水平的高低，可供系列之間比較用。例如，蘭州多年平均降水量為330mm，北京為650mm，而峨眉則達1585mm，說明蘭州的降水少于北京，更小于峨眉。各地年降水量或其它水文特征值都可以用均值反映出來。所以，均值不但是反映分布的一個重要參數(shù)，而且是水文現(xiàn)象的一個重要特征值。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日中值：位置處于系列排序正中間的那個變量：p為50％。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日中值的意義：1）系列大于中值和小于中值的隨機變量出現(xiàn)幾率相同；2）是系列中的中間項，比中值大的和比中值小的變量恰好各占一半。密度曲線中，其垂線是曲線下方面積的平分線。反映系列中間項和密度曲線的位置。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日眾值：系列中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個變量。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日眾值的意義：1）系列中幾率最大的變量；2）密度曲線中，是曲線峰頂處的橫坐標值。反映系列中最大幾率項和密度曲線的位置。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日均值、中值、眾值的位置決定曲線分布的偏態(tài)：正偏態(tài)、負偏態(tài)、正態(tài)第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日二均方差和變差系數(shù)均值只能反映系列的水平，卻不能說明系列對其均值的離散程度。例如，有甲、乙兩個系列：甲:10，50，90

乙:49,50,51

它們的均值都是50，但甲系列變動幅度大，而乙系列變動幅度卻很小。這種變化特征，可以利用均方差和變差系數(shù)來說明。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日二均方差和變差系數(shù)

均方差和變差系數(shù)表明系列分布對均值是比較分散還是集中，能反映頻率分布對均值的離散程度。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日二均方差和變差系數(shù)離均差：變量與均值的差值。表示變量間變化幅度的大小。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第二十頁，共八十一頁，2022年，8月28日二均方差和變差系數(shù)均方差：離均差平方的平均數(shù)的平方根，稱為均方差。（對總體）第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第二十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日二均方差和變差系數(shù)均方差：用樣本代表總體求均方差時乘以修正系數(shù)

，得：（對樣本）第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第二十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日二均方差和變差系數(shù)變差系數(shù)（離差系數(shù)）：（對總體）第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第二十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日二均方差和變差系數(shù)用樣本代表總體求均方差時乘以修正系數(shù)，得：（對樣本）第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第二十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日二均方差和變差系數(shù)Cv對水文現(xiàn)象來說，各水文特征值的變差系數(shù)Cv大小反映了該特征值對其均值的相對變化幅度的平均值，它與流域的大小及河流所在的地區(qū)有關(guān)。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第二十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日二均方差和變差系數(shù)Cv一般地，大流域河流較小流域河流的水文特征值變化幅度小，因此，大流域河流的Cv小，小流域河流的Cv大，平原和山區(qū)河流比較，平原河流Cv小，山區(qū)河流的Cv大，南方河流與北方河流比較，南方河流Cv小，北方河流的Cv大。融雪洪水的Cv較穩(wěn)定，而暴雨洪水的Cv值不穩(wěn)定。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第二十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日三偏差系數(shù)Cs偏差系數(shù)：表明系列分布對均值是對稱的還是不對稱的，反映頻率分布對均值的偏斜程度。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第二十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日三偏差系數(shù)Cs（對總體）第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第二十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日三偏差系數(shù)Cs用樣本代表總體求均方差時乘以修正系數(shù)，得：（對樣本）第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第二十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第三十頁，共八十一頁，2022年，8月28日三偏差系數(shù)Cs水文現(xiàn)象一般都屬于正偏(cs>o)。即出現(xiàn)大于均值的特征值次數(shù)少但離差值大，而出現(xiàn)小于均值的特征值次數(shù)多但離差值小。水文量值一般小于均值出現(xiàn)機會多，平均值對于的p總是小于50％。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第三十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日三偏差系數(shù)Cs利用式由樣本估計總體cs值時，必須有百年以上資料，才能獲得較為滿意的結(jié)果。實際上，水文資料很少有百年以上資料的，因此，在實際水文計算中，一般不用式計cs值。而是根據(jù)經(jīng)驗或者地區(qū)性變化規(guī)律直接選定。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第三十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日四統(tǒng)計參數(shù)同密度曲線及頻率曲線的關(guān)系第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第三十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日統(tǒng)計參數(shù)同密度曲線的關(guān)系均值：反映密度曲線的位置變化情況，其它值不變時，曲線位置隨均值的變化沿x軸左右移動。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第三十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日統(tǒng)計參數(shù)同密度曲線的關(guān)系變差系數(shù)：反映密度曲線的高矮變化情況。其它值不變時，曲線位置隨變差系數(shù)的變小而變得高而瘦。變差系數(shù)為0時，密度曲線為一垂線。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第三十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日統(tǒng)計參數(shù)同密度曲線的關(guān)系偏差系數(shù)：反映密度曲線的偏斜程度。其它值不變時，曲線位置隨偏差系數(shù)的變小而向x軸正向偏斜。偏差系數(shù)為0時，密度曲線為正態(tài)。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第三十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日

統(tǒng)計參數(shù)同頻率曲線的關(guān)系均值：反映頻率曲線的位置高低情況，其它值不變時，曲線位置隨均值的變化整體抬高。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第三十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日統(tǒng)計參數(shù)同頻率曲線的關(guān)系變差系數(shù)：反映頻率曲線的陡坦程度。其它值不變時，曲線位置隨變差系數(shù)的變大而變陡，頭部上抬，尾部降低。變差系數(shù)為0時，頻率曲線平行于x軸。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第三十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日統(tǒng)計參數(shù)同頻率曲線的關(guān)系偏差系數(shù)：反映頻率曲線的曲率大小。其它值不變時，曲線位置隨偏差系數(shù)的變大而曲率變大，頭部上抬變陡、尾部上抬變平緩。變差系數(shù)為0時，頻率曲線為直線。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第三十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日四統(tǒng)計參數(shù)同密度曲線及頻率曲線的關(guān)系研究意義：1）頻率曲線可以由統(tǒng)計參數(shù)來確定其頻率分布和頻率曲線的特征?？梢岳脤崪y水文資料系列（樣本）推求近似總體的統(tǒng)計參數(shù)，并確定總體的頻率分布和頻率曲線。2）掌握各參數(shù)對頻率曲線的影響方向，可以按照需要調(diào)整理論參數(shù)大小，以便與實測點據(jù)符合得最好。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)第四十頁，共八十一頁，2022年，8月28日第五節(jié)小結(jié)均值、中值和眾值均方差和變差系數(shù)偏差系數(shù)統(tǒng)計參數(shù)同密度曲線及頻率曲線的關(guān)系第四十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日本節(jié)課到此結(jié)束！第四十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日第六節(jié)理論頻率曲線具有一定數(shù)學函數(shù)式的頻率曲線，習慣上稱為理論頻率曲線所謂“理論頻率曲線”，絕非從成因上為推求水文特征值找到了理論的依據(jù)，而僅是為了配合經(jīng)驗頻率點外延頻率曲線提供的一種數(shù)學模型。第四十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日第六節(jié)理論頻率曲線在我國的水文計算中，使用得最廣泛的為皮爾遜Ⅲ型曲線，其次，在北方的一些干旱地區(qū)，克一門曲線有時也能得到滿意的結(jié)果。近來，有人推薦使用耿貝爾曲線。第四十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日第六節(jié)理論頻率曲線一皮爾遜Ⅲ型曲線的頻率密度函數(shù)皮爾遜Ⅲ型英國生物統(tǒng)計學家皮爾遜在分析大量資料的基礎上，為隨機現(xiàn)象提供了十三種曲線，其中第Ⅲ型曲線與水文現(xiàn)象相符合。其密度曲線是一條一端有限一端無限的不對稱單峰曲線。第四十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日第六節(jié)理論頻率曲線一皮爾遜Ⅲ型曲線的頻率密度函數(shù)當以眾值為坐標原點時，它的密度曲線方程式為:第四十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日一皮爾遜Ⅲ型曲線的頻率密度函數(shù)將坐標原點移至水文資料系列的實際零點時，它的密度曲線方程式為:第六節(jié)理論頻率曲線第四十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日經(jīng)過換算，皮爾遜方程式中的三個參數(shù)可用系列的三個統(tǒng)計參數(shù)表示為：三個參數(shù)值一經(jīng)確定，曲線就可以完全確定。即只要求得系列的均值、變差系數(shù)和偏差系數(shù)，就可以得到皮爾遜Ⅲ型方程式表示的密度曲線。第六節(jié)理論頻率曲線第四十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日二皮爾遜Ⅲ型曲線的應用對皮爾遜密度方程式進行一定的積分，可以得到我們需要的頻率曲線縱坐標對應的XP的計算公式為：第六節(jié)理論頻率曲線第四十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日皮爾遜Ⅲ型曲線推求理論頻率曲線的步驟：1）搜集年最大流量資料樣本，組成變量系列；2）將變量按從大到小順序排列；3）計算系列的三大統(tǒng)計參數(shù)：

第六節(jié)理論頻率曲線第五十頁，共八十一頁，2022年，8月28日皮爾遜Ⅲ型曲線推求理論頻率曲線的步驟：4）按照皮爾遜計算公式列表計算各指定頻率的流量；5）將列表計算結(jié)果中的頻率為橫坐標，流量為縱坐標，在海森幾率格紙上繪出各點，并按照點群變化趨勢連接成光滑曲線，即為所求的皮爾遜Ⅲ型理論頻率曲線；第六節(jié)理論頻率曲線第五十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日例題2－6－1P36第六節(jié)理論頻率曲線第五十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日三抽樣誤差由于水文現(xiàn)象是無限總體，而我們所掌握的只是其中一個有限的樣本（認為是從總體中隨機抽樣取得的），這樣的樣本并不能完全代表總體。而我們進行水文計算，就是通過樣本計算得到的參數(shù)去估計總體，必然存在著誤差。這樣用樣本估計總體、也就是由抽樣所引起的誤差即為抽樣誤差。第六節(jié)理論頻率曲線第五十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日經(jīng)驗頻率p的抽樣誤差

這意味著，如果我們隨機地抽取一個樣本，以此樣本的均值作為總體均值的估計值，則p落在總體均值左右一個均方誤范圍內(nèi)的概率為68.3%，而落在總體均值左右三倍均方誤范圍內(nèi)的概率為99.7％。通常稱為一般誤差范圍，稱為最大誤差范圍。第六節(jié)理論頻率曲線第五十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日統(tǒng)計參數(shù)的抽樣誤差第六節(jié)理論頻率曲線第五十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日例2－6－2P42第六節(jié)理論頻率曲線第五十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日四耿貝爾頻率分布曲線第六節(jié)理論頻率曲線第五十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日耿貝爾頻率分布曲線的應用例題2－6－3第六節(jié)理論頻率曲線第五十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日一皮爾遜Ⅲ型曲線的頻率密度函數(shù)二皮爾遜Ⅲ型曲線的應用三抽樣誤差四耿貝爾頻率分布曲線第六節(jié)小結(jié)第五十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日第七節(jié)相關(guān)分析自然界中有許多現(xiàn)象并非各自獨立，其相互間往往存在著一定的聯(lián)系。例如，氣溫與蒸發(fā)、降雨與徑流、水位與流量、上下游水位(或流量）等都是有聯(lián)系的。這種現(xiàn)象之間的聯(lián)系在解決水文分析問題中經(jīng)常被用到。這是由于在水文分析中，常常遇到某一種現(xiàn)象的資料很少，一但與其有關(guān)的另一種現(xiàn)象的資料項數(shù)卻很多，我們就可以通過這兩種現(xiàn)象之間的關(guān)系，利用長系列資料展延（或內(nèi)插）短系列資料。這種關(guān)系的推求在數(shù)理統(tǒng)計中是用相關(guān)計算這個工具。第六十頁，共八十一頁，2022年，8月28日相關(guān)：變量之間近似的或平均的關(guān)系稱為相關(guān)，研究這種關(guān)系的方法，稱為相關(guān)分析。變量之間的關(guān)系分類：完全相關(guān)，統(tǒng)計相關(guān)，零相關(guān)。第七節(jié)相關(guān)分析第六十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日簡單相關(guān)（兩個變量）

復相關(guān)（多個變量）簡單相關(guān)中的直線相關(guān)：就是兩個變量之間的相關(guān)，可以近似地配成一條直線。這條直線的方程式就稱為兩變量的回歸方程式。第七節(jié)相關(guān)分析第六十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日

相關(guān)圖解法是把兩個變墾的對應觀測資料點繪在一張圖上，得到若干個相關(guān)點，再通過點群中心目估一條相關(guān)線，該相關(guān)線視點群的趨勢可能是直線也可能是曲線，它代表了點群趨勢的平均情況，有了這條相關(guān)線，就可以利用長系列資料延長另一短系列資料。解析法：建立兩變量之間的回歸方程式，作為繪制回歸線的依據(jù)，可以避免目估的隨意性。第七節(jié)相關(guān)分析第六十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日解析法：第七節(jié)相關(guān)分析第六十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日

希望直線為其實測點群的最佳配合線或能代表其平均情況，可用最小二乘法，即使實測點和相關(guān)線間誤差平方和為最小。即使下式最小：須：第七節(jié)相關(guān)分析第六十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日

聯(lián)立上式解得：令r稱為相關(guān)系數(shù)。第七節(jié)相關(guān)分析第六十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日得y對x的回歸方程式：同理得x對y的回歸方程式為：第七節(jié)相關(guān)分析第六十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日相關(guān)系數(shù)r用模比系數(shù)表達時計算式為：式中，Kxi為x系列的模比系數(shù)，Kyi為y系列的模比系數(shù)。第七節(jié)相關(guān)分析第六十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)和意義表示了變量系列之間的相關(guān)程度。r＝0為零相關(guān)r＝1為完全相關(guān)0<r<1為統(tǒng)計相關(guān)。第七節(jié)相關(guān)分析第六十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日相關(guān)分析的前提：1）兩變量自然現(xiàn)象之間存在客觀聯(lián)系，具有可參照性；2）兩變量具有較為密切的相關(guān)性。相關(guān)系數(shù)大于0.83）第七節(jié)相關(guān)分析第七十頁，共八十一頁，2022年，8月28日用均方誤表示的誤差：對總體：對樣本：用均方差表示：第七節(jié)相關(guān)分析第七十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日相關(guān)系數(shù)的誤差用機誤的四倍表示：一般認為：當