概率論與隨機(jī)過程

概率論與隨機(jī)過程第一頁，共三十六頁，2022年，8月28日2．概率的統(tǒng)計(jì)定義由于當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)n較大時(shí)，頻率fn(A)=nA/n會(huì)穩(wěn)定于某一常數(shù)p，因此可將A的概率定義為:P(A)=p。

在大量實(shí)驗(yàn)中，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性。分析:當(dāng)n充分大時(shí)，

fn(A)穩(wěn)定在某數(shù)p的附近；另一方面，若事件A出現(xiàn)的可能性愈大，則它出現(xiàn)的頻率也愈大。則將p作為P(A)是合理的。問題：n

很大時(shí)，頻率值能否作為概率值？第二頁，共三十六頁，2022年，8月28日局限性：（1）不能對(duì)任一事件都去通過大量實(shí)驗(yàn)來確定概率；（2）即使做了大量實(shí)驗(yàn)也難以獲得頻率的穩(wěn)定值。（3）不嚴(yán)格，無法進(jìn)行數(shù)學(xué)推理。定義的意義：（1）應(yīng)用中提供了求事件的概率的近似值的方法，可用n充分大時(shí)的頻率作為概率的近似值。（2）檢驗(yàn)一種理論方法是否正確。第三頁，共三十六頁，2022年，8月28日1．定義

若試驗(yàn)E具有特點(diǎn)

（1）試驗(yàn)的樣本空間的元素只有有限個(gè),比如n個(gè)，樣本空間表示為={e1,e2,…,en}；

（2）試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同．

則稱試驗(yàn)E為古典概型（或等可能概型）．概率的計(jì)算：若A為試驗(yàn)E的一事件，試驗(yàn)E的樣本空間為，且A含有k個(gè)樣本點(diǎn)．則事件A的概率就是二、古典概型概率的定義第四頁，共三十六頁，2022年，8月28日2．性質(zhì)

（1）對(duì)于每一個(gè)事件A，有P(A)0；

（2）P()=1；

（3）設(shè)A1，A2，.....Am是兩兩互不相容的事件，即對(duì)于i≠j,AiAj=,i,j=1,2,......m,則有第五頁，共三十六頁，2022年，8月28日(3)設(shè)樣本空間含n個(gè)基本事件,Ak含有rk(n)個(gè)基本事件，k=1,2,,m,由古典概型概率的定義

由于A1，A2，.....Am兩兩互不相容，則證明:(1)(2)顯然成立。第六頁，共三十六頁，2022年，8月28日3．例題例1：1-6數(shù)碼，任取不同的兩數(shù)碼構(gòu)成兩位數(shù),求這兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率。小結(jié)：在古典概型中，求事件A的概率關(guān)鍵在于尋找基本事件的總數(shù)和事件A所含的基本事件個(gè)數(shù)。

這時(shí)，往往要利用乘法、加法原理及排列組合的知識(shí)。解：屬于古典概型，與兩數(shù)的順序有關(guān)是排列。

A：取兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)。則

第七頁，共三十六頁，2022年，8月28日(一)取球問題

袋中共有N個(gè)球，N1白，N2紅，采用摸后“不放回”“放回”兩種方式任取出a+b個(gè)球，試求這a+b個(gè)球中恰含a個(gè)白b個(gè)紅的概率。解：

[不放回]試驗(yàn)從N個(gè)球中取出a+b個(gè)球，有兩種理解（1）一次取出a+b個(gè)球；（2）一個(gè)一個(gè)取，不放回，取a+b次；三類問題：按(1):每取一次就做了一次試驗(yàn)，構(gòu)成一個(gè)基本事件，只觀察顏色不分順序，按組合計(jì)算樣本點(diǎn)總數(shù)：第八頁，共三十六頁，2022年，8月28日設(shè)A：a+b球中恰有a個(gè)白b個(gè)紅，把A發(fā)生的過程分為串行的兩步：在白球中取a個(gè)球，再在紅球中取b個(gè)球按乘法原則所含樣點(diǎn)是按（2）：一個(gè)一個(gè)取，每次記錄下顏色和球的編號(hào)，不放回，取a+b個(gè)球是有順序的，構(gòu)成a+b個(gè)球的一個(gè)排列，樣本點(diǎn)總數(shù)：A的發(fā)生可分解為如下過程：

在這a+b個(gè)球的位置上，選a個(gè)位置放白球，剩下的放紅球，樣本點(diǎn)數(shù)：第九頁，共三十六頁，2022年，8月28日方法二：第十頁，共三十六頁，2022年，8月28日

[放回抽樣]一個(gè)一個(gè)取，故看為可重復(fù)的排列，樣本空間的樣本點(diǎn)數(shù)：Na+b

所以，所求概率為：由乘法、加法原理，A所含樣本點(diǎn)數(shù)為:（分析同（2））第十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日n個(gè)球，隨機(jī)的放入N個(gè)盒（n≤N），每盒容量不限，觀察放法：

(1)某指定的n個(gè)盒中各有一個(gè)球A1,求P(A1)；

(2)恰有n個(gè)盒中各有一球Ａ2,求P(A2);

(3)某指定的盒子中恰有k個(gè)球A3,求P(A3).(3)P(A3)=(2)P(A2)=(1)P(A1)=(二)放球問題解:試驗(yàn):一個(gè)一個(gè)放n個(gè)球入N個(gè)盒,每種方法構(gòu)成了一種可重復(fù)的排列，于是第十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日例:設(shè)每人的生日在一年的任一天是等可能的，求任意r個(gè)人生日各不相同的概率P(A).

解:

由放球模型

所以，至少兩個(gè)人生日相同的概率為:p=1-P(A),

計(jì)算如下：r202330405064100

p0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997第十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日例：1—N個(gè)數(shù)字任取k個(gè)數(shù)字，一個(gè)一個(gè)的取，取后放回，求：

（1）A：k個(gè)數(shù)字完全不同；

（2）B：不含1，2，……，N中指定的r個(gè)數(shù)字；

（3）C：某指定的數(shù)字恰好出現(xiàn)m（≤

k）次;

（4）D：k個(gè)數(shù)字中最大數(shù)恰好為M。解：試驗(yàn)為從1，2，……，N個(gè)數(shù)中有放回地依次取k個(gè)數(shù)字，每k個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列構(gòu)成一個(gè)基本事件，因此基本事件總數(shù)為Nk。（三）隨機(jī)取數(shù)第十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日(4)在這k個(gè)數(shù)字中，最大數(shù)不大于M的取法有Mk種。而最大數(shù)不大于M-1的取法有(M-1)k種。（1）因k個(gè)數(shù)字完全不同，實(shí)際為不重復(fù)的排列，基本事件個(gè)數(shù)為：(2)同理(3)同理第十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日例：取球，袋中a個(gè)白球，b個(gè)紅球，一一取出，不放回，求事件Ak={第k次取出白球}的概率。解：試驗(yàn)為將a+b個(gè)球編號(hào)一一不放回取出，全部取出構(gòu)成的全排列，總樣本點(diǎn)(a+b)!。事件Ak的過程（串行）：先從a個(gè)白球中選一個(gè)放在第k個(gè)位置種，再在a+b-1個(gè)球作任意排列:第十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日

如果將球認(rèn)為只有顏色的區(qū)別，放入a+b個(gè)盒中，其中a個(gè)位置放白球，則這一隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù)為

設(shè)事件A為“第k個(gè)位置是白球”，則A中含基本事件數(shù)為

于是解法2第十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日作業(yè)：P.253,6,8,11.第十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日

將古典概率的方法引申一下，便得到確定概率的“幾何方法”。滿足下列條件的試驗(yàn)，稱為“幾何概型”：(1)樣本空間是直線或二維、三維空間中的度量有限的區(qū)間或區(qū)域；(2)樣本點(diǎn)在其上是均勻分布的。

定義：在幾何概型中，若樣本空間Ω所對(duì)應(yīng)區(qū)域的度量為L(zhǎng)(Ω),且事件A的度量為L(zhǎng)(A)

，則A的概率為這里L(fēng)（·），可代表圖形的長(zhǎng)度，面積或體積等。三、幾何概型

第十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日例1:（約會(huì)問題）甲，乙兩人約定中午1點(diǎn)到2點(diǎn)間在某地會(huì)面，約定先到者等候10分鐘即離去，設(shè)想甲，乙兩人各自隨意地在1-2點(diǎn)之是選一個(gè)時(shí)刻到達(dá)約會(huì)點(diǎn)，問“甲，乙兩人能約會(huì)”這一事件的概率為多少？解:以x,y（單位：分鐘）分別表示兩個(gè)到達(dá)約會(huì)點(diǎn)的時(shí)刻，則

0≤x≤60，0≤y≤60，且能會(huì)面的充要條件為：|x-y|≤10，樣本空間和事件A分別可表示為：={（x,y）|0≤x≤60,0≤y≤60}A={(x,y)||x-y|≤10,(x,y)∈}

第二十頁，共三十六頁，2022年，8月28日

“甲，乙兩人隨意地1-2點(diǎn)之間選擇一個(gè)時(shí)刻到達(dá)會(huì)面點(diǎn)”，可以理解為這個(gè)正方形內(nèi)任一點(diǎn)出現(xiàn)都是等可能的。按約定，只有在點(diǎn)（x,y）落入圖形陰影部分時(shí)，事件A才發(fā)生。這樣易算得A的概率為：yx60601010x-y=-10x-y=100第二十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日2．幾何概型中概率的性質(zhì)

（1）對(duì)于每一個(gè)事件A，有P(A)0；

（2）P()=1；

（3）設(shè)A1，A2，..Am..是兩兩互不相容的事件，即對(duì)于i≠j,AiAj=,i,j=1,2,......,則有第二十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日解設(shè)M表示投下針的中點(diǎn)，x表示M與最近的平行線的距離，表示針與此線的夾角，從而

0xa/2,0

這兩個(gè)不等式?jīng)Q定的xo面上一

矩形區(qū)域即是試驗(yàn)的樣本空間。針與平

行線相交的充要條件為

記事件A為針與平行線相交，則Mx例(蒲豐投針問題)平面上有等距離為a的一些平行線，向平面上任意投一長(zhǎng)為l的針(l<a),試求針與平行線相交的概率。第二十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日于是xa/2第二十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日

1.定義

設(shè)Ω為樣本空間，稱Ω的一些子集所組成的集合?為Ω的一個(gè)σ-代數(shù)，如果?

滿足下列條件：

例如，{,Ω}為Ω的一個(gè)σ-代數(shù)，它是Ω的最小σ-代數(shù)，Ω所有子集所組成的集合是Ω的最大σ-代數(shù)。設(shè)A為Ω的一子集，則{,A,ā,Ω}為Ω的一個(gè)σ-代數(shù)。四、概率的公理化定義第二十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日

我們把Ω的σ-代數(shù)?又稱為Ω的事件域并僅把?中的元素看成為事件。

σ-代數(shù)的定義中只要求對(duì)逆，可列并運(yùn)算封閉，事實(shí)上這時(shí)σ-代數(shù)對(duì)交，差的運(yùn)算也是封閉的。

性質(zhì):若?為Ω的一個(gè)σ-代數(shù)，則：.,,2,1,)4(1IL￥=?=?iiiFAiFA則若;,,,,2,1,)3(11IUL==??=?niiniiiFAFAniFA則若;,,,)2(I?-??FBAFBAFBA則若;)1(?Ff第二十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日2.概率的公理化定義定義：設(shè)?為樣本空間Ω上的σ-代數(shù)，P是定義在?上的實(shí)值集函數(shù)，如果它滿足：

則稱P為定義在{Ω,?}的概率，P(A)為事件A的概率，三元總體{Ω,?,P}稱為概率空間。稱定義中的條件(3)為可列可加性。第二十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日3.概率的性質(zhì)

（1）P()=0,(3)（4）若AB，則P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A).(2)因?yàn)锽=A∪(B-A)。由（2）。第二十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日（5）P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).因?yàn)锳∪B=A∪(B-AB),A、(B-AB)互不相容

P(A∪B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB).同理：P(A1∪

A2∪

A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-

P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)加法定理：一般的：()nnnkjikjiAAAPAAAPLL2111)1()(-￡<<￡-+-?第二十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日（6）概率的連續(xù)性：第三十頁，共三十六頁，2022年，8月28日例1:設(shè)P(A)=1/3,P(B)=1/2,

(1)若事件A，B互不相容，求P(BA);

(2)若A真包含于B，求P(BA);

(3)若P(AB)=1/8,求P(BA)。解:（1）先用圖來分析。若A,B互不相容，則

P(BA)=P(B)=1/2;(2)若A真包含于B，則因?yàn)锽A=B-A,從而

P(BA)=P(B-A)=P(B)-P(A)=1/2-1/3=1/6;(3)利用BA=B-A=B-AB,得：P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=1/2-1/8=3/8.第三十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日例2:在1～1000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，問取到的整數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？解:設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被6整除”，B為事件“取到的數(shù)能被8整除”則所求概率為

又由于一個(gè)數(shù)同時(shí)能被6與8整除，就能被24整除，因此所求概率為

p=1-{P(A)+P(B)-P(AB)}=1-166/1000-125/1000+41/1000

=0.75第三十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日例3.考試時(shí)共有N張考簽，n