2023屆上海市松江區(qū)高考一模數(shù)學(xué)試題

20/2019/20/2023屆松江區(qū)一模2022.12.07一、填空題（1-6每小題4分，7-12每小題5分，12題第1空分，第2空3分，共54分）1.已知集合，，則______2.函數(shù)的最小正周期為______3.已知，是虛數(shù)單位．若與互為共軛復(fù)數(shù)，則__________．4.記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差_______．5.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)______6.已知圓錐母線長為5，側(cè)面積為，則此圓錐的體積為______（結(jié)果中保留）.7.已知向量，則在上投影向量的坐標(biāo)為________．8.對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______9.已知集合.設(shè)函數(shù)的值域為，若，則實數(shù)的取值范圍為______10.已知，是雙曲線：的左、右焦點，點是雙曲線上的任意一點（不是頂點），過作的角平分線的垂線，垂足為，線段的延長線交于點，是坐標(biāo)原點，若，則雙曲線的漸近線方程為______11.動點的棱長為1的正方體表面上運(yùn)動，且與點的距離是，點的集合形成一條曲線，這條曲線的長度為______12.已知數(shù)列的各項都是正數(shù)，，若數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，則首項的取值范圍是______，當(dāng)時，記，若，則整數(shù)______二、選擇題（13-14每小題4分，15-16每小題5分，共18分）13.下面四個條件中，使成立的充要條件為（）A. B. C. D.14.函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.15.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.16.已知函數(shù)，，若函數(shù)的圖像經(jīng)過四個象限，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.三、解答題（共78分）17.已知平面，（1）求證：平面平面；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值大小.18.在三角形中，內(nèi)角，，所對邊分別，，，已知；（1）求角的大?。唬?）若，三角形面積為，求三角形的周長；19.某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底在水平線上，橋與平行，為鉛垂線（在上），經(jīng)測量，山谷左側(cè)的輪廓曲線上任一點到的距離（米）與到的距離（米）之間滿足關(guān)系式；山谷右側(cè)的輪廓曲線上任一點到的距離（米）與到的距離（米）之間滿足關(guān)系式；已知點到的距離為40米；（1）求谷底到橋面的距離和橋的長度；（2）計劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩和，且為80米，其中，在上（不包括端點），橋墩、每米造價分別為、萬元（）；問：為多少米時，橋墩和的總造價最低？20.已知橢圓：的長軸長為，離心率為，斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點A，（1）求橢圓方程；（2）若直線的方程為：，橢圓上點關(guān)于直線的對稱點（與不重合）在橢圓上，求的值；（3）設(shè)，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為，若點，和點三點共線，求的值；21.已知定義在上的函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）滿足，且，刪除無窮數(shù)列、、、、、中的第項、第項、、第項、、，余下的項按原來順序組成一個新數(shù)列，記數(shù)列前項和為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知數(shù)列的通項公式是，，，求函數(shù)的解析式；（3）設(shè)集合是實數(shù)集的非空子集，如果正實數(shù)滿足：對任意、，都有，設(shè)稱為集合的一個“閾度”；記集合，試問集合存在“閾度”嗎？若存在，求出集合“閾度”的取值范圍；若不存在，請說明理由；2023屆松江區(qū)一模2022.12.07一、填空題（1-6每小題4分，7-12每小題5分，12題第1空分，第2空3分，共54分）1.已知集合，，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】因為集合，，則故答案為:2.函數(shù)的最小正周期為______【答案】【解析】【分析】化簡即得解.【詳解】解：由題得，所以函數(shù)的最小正周期為.故答案為：3.已知，是虛數(shù)單位．若與互為共軛復(fù)數(shù)，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，求出，再把展開即得.【詳解】與互為共軛復(fù)數(shù)，,.故答案為：.【點睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的乘法，屬于基礎(chǔ)題.4.記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差_______．【答案】2【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.【詳解】由可得，化簡得，即，解得.故答案為：2.5.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)______【答案】1【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合指數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，解得：，故答案為：1.6.已知圓錐母線長為5，側(cè)面積為，則此圓錐的體積為______（結(jié)果中保留）.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求出圓錐的底面半徑，再利用勾股定理求出圓錐的高，根據(jù)圓錐體積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則，，圓錐的高，圓錐的體積.故答案為:7.已知向量，則在上的投影向量的坐標(biāo)為________．【答案】【解析】【分析】利用向量的投影向量公式，代入坐標(biāo)進(jìn)行計算即可．【詳解】解：向量，，在上的投影向量的坐標(biāo)為：，．故答案為：，．8.對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______【答案】.【解析】【分析】由得的最小值，轉(zhuǎn)化為解關(guān)于a的一元二次不等式.【詳解】由題意知，，又∵，∴，∴，解得：，故答案為：.9.已知集合.設(shè)函數(shù)的值域為，若，則實數(shù)的取值范圍為______【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式不等式的解法，對數(shù)函數(shù)的值域以及集合間的包含關(guān)系即可求解.【詳解】由得，即，所以，解得.所以.因為，所以，所以，因為，所以解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.10.已知，是雙曲線：的左、右焦點，點是雙曲線上的任意一點（不是頂點），過作的角平分線的垂線，垂足為，線段的延長線交于點，是坐標(biāo)原點，若，則雙曲線的漸近線方程為______【答案】【解析】【分析】根據(jù)是的角平分線，，推出，，結(jié)合以及雙曲線的定義推出，再根據(jù)推出，即可得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】因為是的角平分線，，所以是等腰三角形，，為的中點，又為的中點，所以是的中位線，所以，因為，當(dāng)點在雙曲線的右支上時，，當(dāng)點在雙曲線的左支上時，，所以，即，所以，所以，所以雙曲線漸近線方程為.故答案為：.11.動點的棱長為1的正方體表面上運(yùn)動，且與點的距離是，點的集合形成一條曲線，這條曲線的長度為______【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意知，分情況解決即可.【詳解】由題意，此問題的實質(zhì)是以為球心，為半徑的球，因為，所以在正方體各個面上交線的長度計算，正方體的各個面根據(jù)與球心位置關(guān)系分成兩類：為過球心的截面，截痕為大圓弧，各弧圓心角為，為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為，故各段弧圓心角為，所以這條曲線長度為，故答案為：12.已知數(shù)列的各項都是正數(shù)，，若數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，則首項的取值范圍是______，當(dāng)時，記，若，則整數(shù)______【答案】①.②.【解析】【分析】先由題給條件求得，再利用即可求得；先利用裂項相消法求得，再列不等式組，即可求得整數(shù)的值.【詳解】正項數(shù)列，為嚴(yán)格增數(shù)列，則，則，解之得又，則，則由，可得由可得，則，則又當(dāng)時，，則由可得，，又，則，解之得，則整數(shù)故答案為：；二、選擇題（13-14每小題4分，15-16每小題5分，共18分）13.下面四個條件中，使成立的充要條件為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充要條件的概念進(jìn)行判斷即可得解.【詳解】當(dāng)時，滿足，不滿足；當(dāng)時，滿足，不滿足，故是的既不充分也不必要條件，所以A不正確；因為，所以是成立的充要條件，所以B正確；當(dāng)時，，，；當(dāng)時，滿足，但不滿足，所以是的必要不充分條件，所以C不正確；當(dāng)時，；當(dāng)時，滿足，但不滿足，所以是的充分不必要條件，所以D不正確.故選：B14.函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，利用，分別排除A、B、D項，即可求解.詳解】由題意，函數(shù)，因為，即函數(shù)的圖象過點，可排除A、B項；又因為，可排除D項，故選：C.15.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.【答案】A【解析】【分析】由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點睛】本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運(yùn)算.16.已知函數(shù)，，若函數(shù)的圖像經(jīng)過四個象限，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖像，作出直線，由圖像知只要直線與的圖像在軸左右兩側(cè)各有兩個交點，則的圖像就經(jīng)過四個象限（時，的函數(shù)值有正有負(fù)，時，的函數(shù)值有正有負(fù)），因此求得直線的斜率，再求得直線與相切的切線斜率（注意取舍）即可得結(jié)論．【詳解】作出函數(shù)的圖像，如圖，作出直線，它過定點，由圖可得，只要直線與的圖像在軸左右兩側(cè)各有兩個交點，則的圖像就經(jīng)過四個象限（時，的函數(shù)值有正有負(fù)，時，的函數(shù)值有正有負(fù)），時，與軸的公共點為，，時，，由得，，解得或，由圖像知，切線的斜率為，所以時滿足題意．故選：A．三、解答題（共78分）17.已知平面，（1）求證：平面平面；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值大小.【答案】（1）證明見解析.（2）.【解析】【分析】（1）先證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理證明面面垂直.（2）證明即為直線與平面所成的角，然后解三角形即可求得該角大小.【小問1詳解】∵平面，平面,∴，又∵且平面，∴平面，∵平面,∴平面平面．【小問2詳解】∵平面,平面，則,∴即為直線與平面所成的角，，，，∴﹐又平面，平面,∴，而，∴，∴在中，，又，故線與平面所成角的正弦值為.18.在三角形中，內(nèi)角，，所對邊分別為，，，已知；（1）求角的大小；（2）若，三角形面積為，求三角形的周長；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得，代入化簡可得.（2）利用面積公式可得，，再根據(jù)余弦定理求解進(jìn)而可得邊長.【小問1詳解】在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，，可得．又因為，可得．【小問2詳解】由題意，，故，即，故，由余弦定理，解得.故三角形的周長為19.某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底在水平線上，橋與平行，為鉛垂線（在上），經(jīng)測量，山谷左側(cè)的輪廓曲線上任一點到的距離（米）與到的距離（米）之間滿足關(guān)系式；山谷右側(cè)的輪廓曲線上任一點到的距離（米）與到的距離（米）之間滿足關(guān)系式；已知點到的距離為40米；（1）求谷底到橋面的距離和橋的長度；（2）計劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩和，且為80米，其中，在上（不包括端點），橋墩、每米造價分別為、萬元（）；問：為多少米時，橋墩和的總造價最低？【答案】（1）谷底到橋面的距離為160米，橋的長度為120米（2）當(dāng)為20米時，橋墩CD與EF的總造價最低.【解析】【分析】（1）作出輔助線，將代入解析式，求出，從而得到到橋面的距離為米，由，求出，從而求出的長度為120米；（2）建立平面直角坐標(biāo)系，表達(dá)出，，設(shè)橋墩CD與EF的總造價為萬元，得到的解析式，求導(dǎo)后得到的單調(diào)性及極值，最值情況，求出為20米時，橋墩CD與EF的總造價最低.【小問1詳解】設(shè)都與垂直，是相應(yīng)的垂足，由條件知：當(dāng)米時，米，即米，所以到橋面的距離為米，由，解得：米，所以米，所以橋的長度為120米；【小問2詳解】以O(shè)為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，，則，，因為，所以，設(shè)，則，所以，設(shè)橋墩CD與EF的總造價為萬元，則，，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在處取得極小值，也是最小值，所以當(dāng)為20米時，橋墩CD與EF的總造價最低.20.已知橢圓：的長軸長為，離心率為，斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點A，（1）求橢圓的方程；（2）若直線的方程為：，橢圓上點關(guān)于直線的對稱點（與不重合）在橢圓上，求的值；（3）設(shè)，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為，若點，和點三點共線，求的值；【答案】（1）（2）（3）2【解析】【分析】（1）利用題給條件求得的值，即可求得橢圓的方程；（2）先求得點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)，并代入橢圓的方程，即可求得的值；（3）先利用設(shè)而不求的方法求得點，的坐標(biāo)，再利用向量表示點，和點三點共線，進(jìn)而求得的值【小問1詳解】橢圓：的長軸長為，離心率為，則，，則，則則橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)橢圓上點關(guān)于直線的對稱點則，解之得，則由在橢圓上，可得，整理得，解之得或當(dāng)時與點M重合，舍去.則【小問3詳解】設(shè)，則又，則，直線的方程為由，整理得則，則又，則，則，則令則，直線的方程為由，整理得則，則又，則，則，則則由點，和點三點共線，可得則整理得，則【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21.已知定義在上的函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）滿足，且，刪除無窮數(shù)列、、、