2022年暑假初升高數(shù)學第17講：均值不等式的應用（學生版）

2022年暑假初升高數(shù)學第17講：均值

不等式的應用

學習目標核心素養(yǎng)

1.熟練掌握利用均值不等式求函數(shù)1.通過均值不等式求最值，提升數(shù)學運

的最值問題.（重點）算素養(yǎng).

2.會用均值不等式求解實際應用2.借助均值不等式在實際問題中的應

題.（難點）用，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng).

k新知初探廣

已知X,y都是正數(shù).

V2

（1）若x+y=S（和為定值），則當x=y時，積孫取得最大值了

（2）若肛=p（積為定值），則當x=y時，和x+y取得最小值2⑷.

上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最大.

E初試

14

1.已知〃>0,b>0,a+b=2,則丁='十］的最小值是（）

79

A，2B.4C，2D.5

2

2.若QO,則x+J的最小值是.

3.設(shè)%,y￡N*滿足x+y=20,則孫的最大值為

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合作探究。提素養(yǎng)

HEZUOTANJIUTISUYANG

4若型1利用均值不等式求最值

【例1】(1)已知x<[,求y=4x—2+1;三的最大值；

(2)已知Oa<3，求丁=5(1—2x)的最大值.

規(guī)律方法

利用均值不等式求最值的關(guān)鍵是獲得滿足均值不等式成立條件，即“一正、

二定、三相等”.解題時應對照已知和欲求的式子運用適當?shù)摹安痦?、添項、?/p>

湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)應用均值不等式的條件.具體可歸納為三句話：若不正，

用其相反數(shù)，改變不等號方向；若不定，應湊出定和或定積；若不等，一般用后

面第三章函數(shù)的基本性質(zhì)的知識解決.

1.(1)已知x>0,求函數(shù)y=H>5x4的最小值;

(2)已知0<號，求函數(shù)y=x(l—3x)的最大值.

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4善型2利用均值不等式求條件最值

8i

【例2】已知x>0,y>0,且滿足；+：=1.求x+2）'的最小值.

入y

［母題探究］

Q1Q1

若把"2+2=1"改為“x+2y=l"，其他條件不變，求的最小值.

xyxy

規(guī)律方法

1.本題給出的方法，用到了均值不等式，并且對式子進行了變形，配湊出

滿足均值不等式的條件，這是經(jīng)常使用的方法，要學會觀察、學會變形.

2.常見的變形技巧有：（1）配湊系數(shù)；（2）變符號；（3）拆補項.常見形式有y

=奴+§型和y=ox（Z?一"）型.

@跟蹤訓I練

2.已知〃>0,匕>0,a+2h=lf求的最小值.

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、券型3利用均值不等式解決實際問題

【例3】如圖，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原

有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.現(xiàn)有36m長的鋼筋網(wǎng)材料，每間虎籠的長、

寬分別設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？

規(guī)律方法

在應用均值不等式解決實際問題時，應注意如下思路和方法：

(1)先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)；

(2)建立相應的函數(shù)關(guān)系，把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題;

(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；

(4)正確寫出答案.

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3.某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層,

每層2000平方米的樓房.經(jīng)測算，如果將樓房建為何九210）層，則每平方米的

平均建筑費用為560+48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少,

該樓房應建為多少層？注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均

購地總費用

購地費用=

建筑總面積

r~a11課堂小結(jié)m

1.利用均值不等式求最值，要注意使用的條件“一正、二定、三相等”，

三個條件缺一不可，解題時，有時為了達到使用均值不等式的三個條件，需要通

過配湊、裂項、轉(zhuǎn)化、分離常數(shù)等變形手段，創(chuàng)設(shè)一個適合應用均值不等式的情

境.

2.不等式的應用題大都與函數(shù)相關(guān)聯(lián)，在求最值時，均值不等式是經(jīng)常使

用的工具，但若對自變量有限制，一定要注意等號能否取到.

當堂達標。國亶基

DANGTAZGDABIACGUSHUAZGJI

1.思考辨析

（1）兩個正數(shù)的積為定值，一定存在兩數(shù)相等時，它們的和有最小值.（）

(2)若。>0,b>0且a+b=4,貝IabW4.()

⑶當x>\時，函數(shù)y=x+T122x

所以函數(shù)y的最小值是

X—1

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2.若實數(shù)a,b滿足a+A=2,則帥的最大值為（）

A.1B.272C.2D.4

3.已知0<r<l,則x（3—3x）取