2022年新高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：直線與圓的位置關(guān)系

2022年新高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)直線/：4》+取+。=0缶2+"20),

圓：(%—a)2+(y—6)2=r2(r>0),

d為圓心(a,6)到直線I的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的

判別式為1.

方法

幾何法代數(shù)法

位置關(guān)

相交d<rJ>0

相切d=r4=0

相離d>rJ<0

?例1(1)(2020廣東廣州綜合測試)若直線依一y+l=0與圓

有公共點，則實數(shù)上的取值范圍是(D)

A.[-3,+8)B.(-8,-3]

C.(0,+°°)D.(—8,H-oo)

(2)(2021?山東日照一中期中)已知HWO,。為坐標(biāo)原點，點P(a,6)是圓x?+/=戶外一

點，過點P作直線/LOP,直線m的方程是以+勿=/，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是(B)

①加〃/②m_L/③加與圓相離④，“與圓相交

A.1B.2

C.3D.4

(3)(2021?四川資陽、遂寧等七市聯(lián)考)圓xZ+/+Zx-Zy-ZnO上到直線/：x+y+^2=

0的距離為1的點共有(C)

A.1個B.2個

C.3個D.4個

[解析](1)圓x2+/+2x-4y+l=0的圓心為(一1,2),半徑為2,由題意可知圓心到直

線的距離"=匕舞答"W2,化簡得3(“一。+》0,故在(一8,十8).故選D.

yJk'+T、“D

簡解：注意到直線自一y+l=O過定點/(0,1),且4在圓4y+l=0內(nèi)，故

上的取值范圍為(一8,十8),故選D.

⑵二?點尸(a,6)在圓外，.??，+62>/，又直線/的方程為歹__b=一如一〃),

即以+勿=〃2+/)2,又加：ax+hy=i2,??m〃/,又圓心O到直線機的距離1=<r,

y]a2+b2

，加與圓相交，即①④正確，故選B.

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(3)圓x2+2x-2y-2=0即(x+l)2+(y—1)2=4的圓心為C(一1,1),半徑為r=2.又

|-1+1+^/2|

C到直線/的距離為d=6j.?.(DC上到直線/距離為1的點有3個，故選C.

名帥點披

判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法

(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系.

(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用/判斷.

(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.

(4)判斷圓上到定直線的距離為定值的點的個數(shù)問題的關(guān)鍵是比較定值、圓心到直線的

距離、半徑的大小.

〔變式訓(xùn)練1〕

⑴(2021?西安八校聯(lián)考)若過點4(3,0)的直線/與曲線(》-1)2+/=1有公共點，則直線/

的斜率的取值范圍為(D)

A.(一小，小)B.?。?/p>

。.(普書工［一當(dāng)期

(2)(2021?湖南五市十校聯(lián)考改編)已知兩點陽(-1,0),Ml,。)，若直線3x—4y+m=0上

存在點尸滿足部?成=0,則實數(shù)機的值不是(A)

A.—12B.0

C.2D.5

［解析］(1)數(shù)形結(jié)合可知，直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=網(wǎng)x-3),則圓心(1,0)

到直線3)的距離應(yīng)小于或等于半徑1，即告WL解得一坐坐，故選D.

(2)設(shè)尸(x,y),則前=(-l—x,~y),PN=(\~x,~y),由麗，所得/+/=1,因

P在直線3x-4y+,〃=0上，故圓心到直線的距離d=故掰G［—5,5］,故選A.

V3H45<1,

角度1圓的切線問題

?例2(1)過點尸(2,4)作圓。-1)2+。-1)2=1的切線，則切線方程為(C)

A.3x+4y—4=0B.4x—3y+4=0

C.x=2或4x—3y+4=0D.y=4或3x+4y-4=0

(2)(2021?云南適應(yīng)性考試)已知圓C的方程為(x—3)2+(y—4)2=1,過直線/：3x+ay-5

=03>0)上任意一點作圓C的切線，若切線長的最小值為仃，則直線I的斜率為一勺.

［解析］(1)當(dāng)斜率不存在時，x=2與圓相切；當(dāng)斜率存在時，設(shè)切線方程為y—4=網(wǎng)》

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忙一1+4—2/4

-2),即fcr-y+4-2后=0,則=1,解得％=?則切線方程為4x—3y+4=0,

1一+1

故切線方程為x=2或4x—3y+4=0.

|3X3+4Q-5||4+4a|

(2)設(shè)切線長最小時直線上對應(yīng)的點為P,則PCLI又|CP|=因

q，+9y/a2+9f

/—/—(|4+4iz|A3

為切線長的最小值為行，故(仃)2+1=防司\解得。=4,故直線/的斜率為一本故

3

答案為：一不

［引申］⑴若將本例⑴中“P(2,4)"改為"1+坐，1—叫”，則切線方程為x—vf

=0.

(2)本例(1)中過切點的直線方程為x+3i，-5=0.

角度2圓的弦長問題

?_例3(1)(2018?課標(biāo)全國I)直線y=x+l與圓/+/+2y-3=0交于4,8兩點,

則|/8|=2巾.

(2)(2021?廣東廣州三校聯(lián)考)已知拋物線產(chǎn)=2沖仍＞0)的準(zhǔn)線與圓x2+f-4y=0相交所

得的弦長為2小，則p的值為(C)

A.3B.1

C.2D.4

［解析］(1)將圓/+產(chǎn)+27-3=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y+1)2=4,

則圓心坐標(biāo)為(0,-1),半徑尸=2,

二圓心到直線X—y+l=0的距離"=啦=也，

|/用=2.口一屋=2522—(也產(chǎn)=2吸.

(2)圓x2+y2-4y=0即x2+(y-2)2=22的圓心為C(0,2),半徑為2,由題意可知圓心到

準(zhǔn)線X=一方的距離§=、4—(小)2=1,：.p=2.故選C.

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名抑點被

直線與圓綜合問題的常見類型及解題策略

(1)處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三

角形.

(2)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題.

注：①過圓C內(nèi)一點P的最短弦所在直線與PC垂直，最長弦所在直線是PC.②過圓

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C外尸作圓的切線，切點、為A、B,則是圓C與以PC為直徑的圓的公共弦.

〔變式訓(xùn)練2〕

⑴(角度1)(2021?安徽合肥調(diào)研)若直線I經(jīng)過拋物線x2=-4y的焦點且與圓1)2+8

—2)2=1相切，則直線/的方程為x=0或4x—3丫-3=0.

(2)(角度2)(2021?河北衡水中學(xué)調(diào)研)過三點4(1,3),8(4,2),C(l,一7)的圓截直線x+即

+2=0所得弦長的最小值等于(B)

A.2小B.44

C.巫D.2回

(3)(2020?安徽“江南十?！甭?lián)考)已知圓C的圓心在直線x+y=0上，圓C與直線x-y

=0相切，且在直線x-y-3=0上截得的弦長為,，則圓C的方程為(x—D2+(y+l)2=

2.

［解析］(1)拋物線f=-4y的焦點為F(0,-1),當(dāng)直線/斜率不存在時，其方程為x

=0,顯然與圓相切；當(dāng)直線/斜率存在時，設(shè)其方程為夕=H一1,即日一,一1=0,2J1

4

=1,解得左=§,此時直線/的方程為4x—3y—3=0.

(2)設(shè)圓心坐標(biāo)尸為(m,-2),則戶=(1一my+(3+2)2=(4一5y+(2+2)2,解得加=1,

r=5,所以P(l,-2).又直線過定點0(—2,0),當(dāng)直線尸0與弦垂直時，弦長最短，根據(jù)

圓的性質(zhì)可知弦長為2寸的一「。=2425—13=4小,二直線x+即+2=0被圓截得的弦長為

4小.故選B.

(3)解法一：所求圓的圓心在直線x+y=0上，

二設(shè)所求圓的圓心為(a,~a).

又?.?所求圓與直線x-y