2016版《名師金典》高考數(shù)學(xué)（理科）大一輪復(fù)習(xí)：第二章函數(shù)

第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第一節(jié)函數(shù)及其表示

［考情展望］L考查給定函數(shù)（或抽象函數(shù)）的定義域2以分段函數(shù)為載體，考

查函數(shù)的求值、值域及參數(shù)的范圍等問題3以新定義、新情景為載體，考查函數(shù)

的表示方法、最值等問題.

抓住4個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)

一、函數(shù)及映射的概念

函數(shù)映射

兩集合

設(shè)/、B是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)4、8是兩個(gè)非空集合

4、B

如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系/,使對(duì)于集合/如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系/,使對(duì)于集合

對(duì)應(yīng)關(guān)系

中的任意一個(gè)X,在集合3中都有唯一確定的數(shù)中的任意一個(gè)元素x,在集合3中都有唯一好

/：A^B

/（X）和它對(duì)應(yīng)素y與之對(duì)應(yīng)

名稱稱￡_幺二區(qū)為從集合力到集合8的一個(gè)函數(shù)稱￡_上且為從集合A到集合B的一個(gè)映射

二、函數(shù)的定義域、值域、相等函數(shù)

1.定義域

在函數(shù)y=/（x）,中，巨變量工的取值范圍（數(shù)集4）叫做函數(shù)的定義域.

2.值域

函數(shù)值的集合上題與1叫做函數(shù)的值域.

3.相等函數(shù)

如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)為相等

函數(shù).

三、函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

四、分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式

子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).

分段函數(shù)三要點(diǎn)

(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，切不可把它看成是幾個(gè)函數(shù).分段函數(shù)在書寫時(shí)

用大括號(hào)把各段函數(shù)合并寫成一個(gè)函數(shù)的形式，并且必須指明各段函數(shù)自變量的

取值范圍.

(2)一個(gè)函數(shù)只有一個(gè)定義域，分段函數(shù)的定義域只能寫成一個(gè)集合的形式.

(3)求分段函數(shù)的值域，應(yīng)先求出各段函數(shù)在對(duì)應(yīng)自變量的取值范圍內(nèi)的函

數(shù)值的集合，再求出它們的并集.

|【基礎(chǔ)自測(cè)】|

1.給出四個(gè)命題:

①函數(shù)是其定義域到值域的映射；

②/(x)=、x-3+刀2—x是一個(gè)函數(shù);

③函數(shù)y=2x(xWN)的圖象是一條直線；

④/(x)=lgx2與g(x)=21gx是同一函數(shù).

其中正確的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

2.下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x相同的是()

B.y=(y[x)2

A.)y=~x

C.y=lg1(/D.y=21og2X

【答案】C

3.已知d=f+5x,則義x)=.

【答案】20)

f+l,1,

4.設(shè)函數(shù)/)=<2則/(/(3))=_________.

一，x>l,

lx

【答案】f13

感悟高考

5.(2014?江西高考)函數(shù)/(x)=ln”-x)的定義域?yàn)?)

A.(0,1)

B.[0,1]

C.(一8,O)u(l,+°0)

D.(—8,0]U[L+℃)

【答案】C

6.(2013?浙江高考)已知函數(shù)/(x)=正二T.若/(a)=3,則實(shí)數(shù)a=.

【答案】10

掌握旦個(gè)核心考向

考向一[010]求函數(shù)的定義域

EI例[(1)(2014?山東高考涵數(shù)｛x)=y([og：)2_]的定義域?yàn)?)

A(0,JB.(2,+8)

C.(0,；)u(2,+8)D.(0,1U[2,+8)

(2)(2013?大綱全國(guó)卷)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?-1,0),則函數(shù)/(2x+l)的定

義域?yàn)?)

A.(—1,1)B.(-1,0

C.(-1,0)D.&1)

【答案】(1)C(2)B

規(guī)律方法11.本例(1)在求解中，常因遺忘“0°無意義”而錯(cuò)選B;本例(2)

在求解中；常因不理解於)與人2》+1)的關(guān)系而錯(cuò)選A或C.

2.(1)求函數(shù)的定義域往往歸結(jié)為解不等式組的問題，取交集時(shí)可借助數(shù)軸，

并注意端點(diǎn)值的取舍.

(2)對(duì)抽象函數(shù)：①若函數(shù)人x)的定義域?yàn)椋踑,b］,則函數(shù)慮(x))的定義域由

不等式a〈g(x)Wb求出.②若已知函數(shù)/(g(x))的定義域?yàn)椋踑,b］,則/(x)的定義

域?yàn)間(x)在x￡［a，b］時(shí)的值域.

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)函數(shù)式》)=電空二或的定義域?yàn)?)

Wx

A.(-1,2)B.(-l,0)U(0,2)

C.(-1,0)D.(0,2)

(2)已知函數(shù)人2、)的定義域是［一i,i］，則的定義域?yàn)?

【答案】(1)C(2)［1,2

考向二［011］求函數(shù)的解析式

M2(1)已知y(x+i)=igx,求/(x)；

(2)已知於:)是二次函數(shù)且加0)=2,^x+l)-Xx)=x-l,求於)；

(3)已知於)+vQ=x(xW0)，求人x).

【嘗試解答］(1)令x+l=f,則x=Ll,

?,網(wǎng)=lg(x-1).

(2)設(shè)/(X)=ax2+hx+c(aWO),由/(0)=2,得c=2,

fix+1)-fix)=a(x+I)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1,

即2ax+a+6=x-1,

[2a=1,\a=Ti,3

「J即j.-./(x)=TX2-^X+2.

+b=-1),3z/

[b=~2-

⑶?)(X)+2/(￡)=X，?\/(￡|+2/(X)=(

2x

解方程組得加0=%-三?！?).

規(guī)律方法2求函數(shù)解析式常用以下解法：

(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法；

(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)/收(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的

取值范圍；

(3)構(gòu)造法：已知關(guān)于7U)與《3或人-幻的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造

出另外一個(gè)等式，通過解方程組求出/(X).

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練⑴已知用一cosx)=sin2x,求於)的解析式；

(2)若函數(shù)其中火幻是正比例函數(shù)，g(x)是反比例函數(shù)，且

，鼻=16,F(l)=8,求F(x)的解析式.

(3)已知Z/(x)—/(—x)=lg(x+D，x￡(—1,1),求/(x)的解析式.

【解】⑴令Z=l-cosx,貝Icosx=1-

=1-(1-Z)2=-?+2/,即/(x)=-7+2x(0WxW2).

(2)由題意設(shè)/(x)=kx(k*O),g(x)=1(mWO),

則尸(x)=乙+￡.由=16,41)=8,

fl

k=3.

q3k+3m=16,

得解得＜所以F(x)=3x+~.

m=5，

k+m=8,

(3)2/(x)-,/(-x)=lg(x+1),?■-2/(-x)-/(x)=lg(l-x).

w、3b呢)-火-X)=lg(x+D

解萬程組，得

12/(-x)-,/(x)=lg(l-x)

,/(x)=|lg(x+1)+|lg(1-x)(-1<x<1).

考向三［012］分段函數(shù)及其應(yīng)用

f2x3,x<0,

Q例3(1)(2013?福建高考)已知函數(shù)")=171則

—tanx,0Wx<5

ex-1,x<l,

（2）（2014?課標(biāo)全國(guó)卷I）設(shè)函數(shù)_/（x）=11、則使得/（x）<2成立的x

際，xel.

的取值范圍是.

【答案】（1）一2（2）（—8,8］

規(guī)律方法3應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)，首先要確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次

選定相應(yīng)關(guān)系代入計(jì)算求解，特別要注意分段區(qū)間端點(diǎn)的取舍，當(dāng)自變量的值不

確定時(shí)，要分類討論.

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間（單位：分

鐘）為

x<A,

（A,c為常數(shù)）.已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分

x^A

鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘，那么c和A的值分別是（）

A.75,25B.75,16

C.60,25D.60,16

(2)已知函數(shù)｛x)=J,<則y(x)—-i的解集為

[―x十l(OVxWl).

)

B.-1,一￡|u(O,l]

A.(-8,-1)U(1,+8)

C.(—8,O)U(1,+°O)D.-1,U(O,1)

【解析】(1)因?yàn)榻M裝第/件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘，所以多=15,①

所以必有4<A,且金=|=30.②

聯(lián)立①②解得c=60,A=16.

(2)方法一：①當(dāng)一lWx<0時(shí)，0<-xWl,

此時(shí)/(x)=-X-1,/(-x)=_(-X)+]=X+]，

■'-A.x)-A-x)>-1化為-2x-2>-1,

得x<_g,則TWx<

②當(dāng)0<xWl時(shí)，-lW-x<0,

此時(shí),J(x)=-x+1,A~x)^-(_x)-l=x-L

???/x)~A-x)>-1化為-x+1-(x-1)>-1,

3

解得x<],則0<xWL

-x-1(-1Wx<0)

方法二：畫出函數(shù)於)="+](0<V])的圖象如圖所示.

由圖可知人幻為奇函數(shù)，從而由./(X)-/-%)>-h可知｛x)〉-g,解得TWx

1..1

<一]或0<xWl.

【答案】(1)D(2)B

挖掘1大技法

思想方法之二分段函數(shù)求值妙招——分類討論思想

分類討論思想就是當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，需要把研究對(duì)象

按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別研究得出結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)

問題的解答.實(shí)質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的解題

策略.

分段函數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的分類討論思想，求解分段函數(shù)求值問題時(shí)應(yīng)注意以下

三點(diǎn)：

(1)明確分段函數(shù)的分段區(qū)間.

(2)依據(jù)自變量的取值范圍，選好討論的切入點(diǎn)，并建立等量或不等量關(guān)系.

(3)在通過上述方法求得結(jié)果后，應(yīng)注意檢驗(yàn)所求值(范圍)是否落在相應(yīng)分段

區(qū)間內(nèi).

---------------------[1個(gè)示范例]---------------

例M(2015?洛陽(yáng)模擬)已知實(shí)數(shù)aWO,函數(shù)寅

、x2。，x1.

若火1一4)=/(1+0,則Q的值為.

【解析】當(dāng)。＜0時(shí)，11,1+Q＜1,

所以-a)=_(1-a)-2a=-1-a；

/(I+a)=2(1+a)+Q=3a+2.

因?yàn)?a)=/l+a),

所以-1=3。+2,

3

所以q=一不當(dāng)?！?時(shí)，1一。＜1』+°〉1，

所以4]_Q)=2(1_Q)+Q=2-Q；/(I+Q)=_(1+Q)_2Q=-3a-1.

因?yàn)榇?)=義1+0

所以2-4=-3a-1,所以a=-1(舍去).

3

綜上，滿足條件的a=-[

【答案】-；3

------------------------[1個(gè)對(duì)點(diǎn)練]-----------------

Isx,x>0,

（2015?安慶模擬）已知函數(shù)段）=-一八

.x十3,xWO.

若/（0+式1）=0,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.13B.—3或1

C.1D.-1或3

【解析】:/（1）=lg1=0,,&）=0.當(dāng)a>0時(shí)，1ga=0,<7=1.

當(dāng)a<0時(shí)，<7+3=0,a=-3.所以a=-3或1.

【答案】B

課時(shí)限時(shí)檢測(cè)（四）函數(shù)及其表示

（時(shí)間:60分鐘滿分：80分）

一、選擇題（每小題5分，共30分）

J1,X>（），fl,x為有理數(shù)，

1.設(shè)/（x）=[0,x=0，g（x尸￡》為無理數(shù)，則出（兀））的值為（）

1—1,x<0,

A.1B.0C.-1D.7i

【答案】B

2.下列各對(duì)函數(shù)中，是同一個(gè)函數(shù)的是()

A.為x)=y[?，g(x)=2

1Y|19xN0,

B./(x尸x'g(x)=f—1,x<0

C./X)=2W+\l2>1+1,g()=(2/?/)2"T,

xx〃《N*

D.7(x)=WNx+l,g(x)=qx(x+l)

【答案】c

3.已知a,b為實(shí)數(shù),集合1],N={a,O},f：xfx表示把M中的

元素x映射到集合N中仍為x,則a+b等于()

A.-1B.0

C.1D.±1

【答案】C

4.下列函數(shù)中，不滿足/(2x)=2/(x)的是()

A.7(x)=|x|B.Xx)=x—|x|

C./(x)=x+lD.J[x)——x

【答案】C

圖2—1一1

5.如圖是張大爺晨練時(shí)所走的離家距離(y)與行走時(shí)間(x)之間的

函數(shù)關(guān)系的圖象.若用黑點(diǎn)表示張大爺家的位置，則張大爺散步行走的路線可能

是()

/、□△

ABC

【答案】D

6.若一?系列函數(shù)的解析式相同,值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為

同族函數(shù)”，則函數(shù)解析式為丁=/+1,值域?yàn)椋?,3｝的同族函數(shù)有（

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

二、填空題（每小題5分，共15分）

7.函數(shù)人》）=空筌的定義域?yàn)?/p>

【答案】{x|xV4且xW3}

102TX,x21,

8.(2013?北京高考)函數(shù)/(x)=J*2的值域?yàn)?/p>

2’，x<l

【答案】（一8,2）

9.已知一次函數(shù)/（X）滿足./[f（x）]=3x+2,則/（x）的函數(shù)解析式為

【答案】/（x）=，§x+/-1或/（》）=-qix—1

三、解答題（本大題共3小題，共35分）

（Jp—1）°

10.（10分）求函數(shù)y=['儲(chǔ)、的定義域?

log2.v+i（32—4）

"6-1W0,

2x+1>0且2x+1W1,

【解】要使函數(shù)有意義,只需彳V

32-4v>0,

<32-4Vl,

"xW±l,

x〉-llUWO,

215

解得j§即且xW0,l,log431,

x<5，

Wlog431,

...函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

15

-<x<,

x22石晨log431

11.(12分)二次函數(shù)./(x)滿足./(x+1)—/(x)=2x,

且加)=L

(1)求/(》)的解析式；

(2)在區(qū)間［—1,1］上，函數(shù)歹=73)的圖象恒在直線歹=2x+a的上方，試確定

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解】(1)由.膽)=1,可設(shè)危)=。/+云+1(4工0),

故/(x+］)-左)=a(x+1)2+Z)(x+1)+1-(ax1+bx+1)=2ax+a+b,

2。=2［a=1,

由題意得彳,解得<,，故仆)=d-x+1.

、a+6=0,S=-1

(2)由題意得，x2-x+l>2x+m,即？-3》+1〉加，對(duì)恒成立.

令g(x)=/-3x+1,則問題可轉(zhuǎn)化為g(x)min>%

又因?yàn)間(x)在［-1,1］上遞減，所以g(x)min=g(l)=-1，故m<-l.

圖2-1-2

12.(13分)如圖2—1—2所示，在梯形458中，48=10,CD=6,4D=

BC=4,動(dòng)點(diǎn)P從8點(diǎn)開始沿著折線8C,CD,D4前進(jìn)至/,若尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路

程為x,的面積為y.

(1)寫出y=/(x)的解析式，指出函數(shù)的定義域；

(2)畫出函數(shù)的圖象并寫出函數(shù)的值域.

【解】如圖所示，

(1)①當(dāng)P在8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖①所示，

易知NB=60°,y=10X(xsin60。)=^^x,0Wx<4.

②當(dāng)尸點(diǎn)在CZ)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖②所示，

產(chǎn);X10X24=1即，4<xW10.

③當(dāng)尸在D4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖③所示,

圖③

y=1xiOX(14-x)sin60°

=-^^x+35小，10<x<14.

綜上所得，函數(shù)的解析式為

I00W4,

y=<10V3,4<xW10,

-?^^x+35小，10<xW14.

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示.

由圖象可知，函數(shù)y=/(x)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是

00<1皿

所以函數(shù)y=/(x)的值域?yàn)閇0,10V3].

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

［考情展望］1.考查函數(shù)的單調(diào)性及最值的基本求法2利用函數(shù)的單調(diào)性求

單調(diào)區(qū)間.3.利用函數(shù)的單調(diào)性求最值和參數(shù)的取值范圍4函數(shù)的單調(diào)性和其他

知識(shí)相結(jié)合考查求函數(shù)的最值、比較大小、解不等式等相關(guān)問題.

抓住3個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)

一、增函數(shù)、減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)./)的定義域?yàn)?,區(qū)間。=/,如果對(duì)于任意X”

且則都有：

(l)/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)0Axi)</的)；

(2VU)在區(qū)間D上是減函數(shù)0近1)>危2).

設(shè)任意Xi，x2€［a,b］且對(duì)<切,那么

(1/(Xi)：/?)〉。包口)在口,b］上是增函數(shù)；

X1%2

(2)”(1/：)<0O/(x)在［a,b］上是減函數(shù)?

二、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義

若函數(shù)/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),則稱函數(shù)/(x)在這一區(qū)間上具

有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間。叫做/U)的單調(diào)區(qū)間.

求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩個(gè)注意點(diǎn)

(1)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，故求單調(diào)區(qū)間應(yīng)樹立“定義域優(yōu)先”的原則.

(2)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)

間應(yīng)分別寫，不能用并集符號(hào)“U”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié).

三、函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足

①對(duì)于任意的xW/,都有①對(duì)于任意的xe/,都有/(xR跖

條件

②存在祝￡/，使得公迎1三M②存在刈?/,使得/(xQ=M.

結(jié)論M是y=J(x)的最大值M是丁=危)的最小值

函數(shù)最值存在的兩條定論

1.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)

時(shí)最值一定在端點(diǎn)取到.

2.開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值.

I【基礎(chǔ)自湖I

1.如果二次函數(shù)")=3/+2("—1比+6在區(qū)間(一8,1)上是減函數(shù)，則

()

A.2B.Q=2

C.QW—2D.

【答案】C

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()

A.y=3—xB.y=~

C.y=~x2+4D.y=|x|

【答案】D

3.函數(shù)y=(2%+l)x+6在xdR上是減函數(shù)，則％的取值范圍是()

A.左＞3B.k＜^

C.左＞一gD.左V—g

【答案】D

4../(x)=x2-2x,x￡[—2,3]的單調(diào)增區(qū)間為，/(x)max=.

【答案】[1,3]8

感悟高考

5.(2013?重慶高考h/(3—a)(a+6)(—6Wa《3)的最大值為

()

9

A.9B，2

C.3D.平

【答案】B

6.(2014?北京高考)下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是()

A.y=erB.y=x3

C.y=lnxD.y=|x|

【答案】B

掌握3個(gè)核心考向

考向一［013］函數(shù)單調(diào)性的判定

例1判斷函數(shù)於）=x+?a＞0）在（0,+8）上的單調(diào)性.

【嘗試解答】方法一：（定義法）

設(shè)X1，X2是任意兩個(gè)正數(shù)，且0＜工1〈工2,

貝"/（X1）-/（X2）=Ql+9-（x2+§=X；：2（修歷-a）.

當(dāng)0＜為＜》2＜或時(shí)，0〈斯X2＜。，又》1一刀2＜0,

所以危1）-於2）＞。即/（修）＞/2），

所以函數(shù)危）在（0,3］上是減函數(shù)；

當(dāng)gWxi＜X2時(shí)，XiX2＞a-,又X］-X2＜0,

所以火XD-_/（X2）＜0,即大XD＜/（X2），

所以函數(shù)兀。在［0,+8）上是增函數(shù).

方法二（導(dǎo)數(shù)法）：

???/x）=x+p：.f（x）=1-4.

由，（x）〉0得1-3＞0,即％2〉。,解得x＞也.

由/（X）＜0得1-*＜0,即》2＜4,解得0＜x＜也.

所以/（X）在（0,g］上為減函數(shù)，在［g，+8）上為增函數(shù).

規(guī)律方法1對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)，證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩

種方法：

（1）結(jié)合定義（基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷）證明；

（2）可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)證明.

考向二［014］圖象法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并確定每一區(qū)間上的單調(diào)性.

(1)/(X)=-X2+2|X|+3；

(2)/(X)=[X2-4X+3|.

【嘗試解答】(1)依題意，可得

當(dāng)x'O時(shí)，./(X)=-x2+2%+3=-(x-I)2+4;

當(dāng)x<0時(shí)，/(X)=-x2-2x+3=-(x+I)2+4.

由二次函數(shù)的圖象知，

函數(shù)_Ax)=+2慟+3在(-8,-1],[0,1]上是增函數(shù)，在[-1,0],[1,

+8)上是減函數(shù).

(2)先作出函數(shù)y=--4x+3的圖象,

由于絕對(duì)值的作用，把x軸下方的部分翻折到上方，可得函數(shù)的圖象.如圖

所示.

由圖可知，函數(shù)的增區(qū)間為［1,2］,(3,+8),減區(qū)間為(-8,1),(2,3］.

規(guī)律方法2求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種常用方法

(1)圖象法：如果義x)是以圖象形式給出的，或者/(X)的圖象易作出，可由圖

象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間.

(2)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練設(shè)函數(shù)夕=/)在(-8,+8)內(nèi)有定義.對(duì)于給定的正數(shù)左，定

伏x),k［Wk,］

義函數(shù)%(x)=｛，取函數(shù)/(x)=2叫當(dāng)比=5時(shí)，函數(shù)1(x)的單調(diào)遞

增區(qū)間為()

A.(—8,o)B.(0,+°°)

C.(-8,-1)D.(1,+00)

【答案】C

考向三［015］函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

例(1)函數(shù)道x)=ly在區(qū)間［a,b］上的最大值是1,最小值為g,

3X1D

貝Ua+b=.

(2)若./(X)為R上的增函數(shù)，則滿足/(2—加)</(毋)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是

a,x>1

(3)已知人a\是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取

(4-,卜+2,xWl

值范圍為()

A.(1,+°0)B.［4,8)

C.(4,8)D.(1,8)

【答案】(1)6(2)(—8,-2)U(1,+8)(3)B

規(guī)律方法31.本例(3)在求解中，常因忽略考慮"/(x)在(-8,1］上的最大

值小于等于於)在(1,+8)上的最小值”致誤.

2.含了，號(hào)不等式的解法

首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為｛g(x))>A4(x))的形式，然后根據(jù)函數(shù)

的單調(diào)性去掉“廣號(hào)，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意g(x)與久X)的取值應(yīng)

在外層函數(shù)的定義域內(nèi).

(。一2)x,xN2,

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知函數(shù)/)=,什_]滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)

x<2,

都有空上處2<0成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為(

X\—X2

（13]

A.（一8,2）

ri3八

C.（一8,2]D后,2）

(2)已知函數(shù),/(x)=2*—1,g(x)=1,構(gòu)造函數(shù)P(x)的定義如下：當(dāng)2g(x)

時(shí)，尸(幻=麻)|,當(dāng)次x)|Vg(x)時(shí)，F(xiàn)(x)=~g(x),貝UF(x)()

A.有最小值0,無最大值

B.有最小值一1,無最大值

C.有最大值1,無最小值

D.無最大值，也無最小值

【答案】(1)B(2)B

E獎(jiǎng)挖掘】大技法

規(guī)范解答之一解不等式巧用函數(shù)的單調(diào)性

解函數(shù)不等式問題的一般步驟：第一步：確定函數(shù)火X)在給定區(qū)間上的單調(diào)

性；第二步：將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為的形式；第三步：運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)

性“去掉”函數(shù)的抽象符號(hào)y'，轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不等式組；第四步：解

不等式或不等式組確定解集；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)

范.

---------------------[1個(gè)示范例]--------------

0例題(12分)函數(shù)/(x)對(duì)任意的掰、都有/(加+〃)=/(加)+/(〃)

—1,并且x>0時(shí)，恒有加)>1.

(1)求證：/(x)在R上是增函數(shù)；

(2)若火3)=4,解不等式義d十。-5)<2.

【規(guī)范解答】(1)設(shè)修<必，-'-X2-X1>0.

:當(dāng)X>0時(shí)，〃)>1,?'?/(X2-X|)〉1.2分

./(X2)=/[(X2-Xi)+X1]=fix2-X1)+./(%1)-1,4分

???加2)-XX!)=^2-X1)-1>0次1)<AX2),

???/(x)在R上為增函數(shù).6分

(2)'-'m,〃€R,不妨設(shè)機(jī)=〃=1,

???川+1)={1)+<1)-1/2)=獷1)-1,8分

{3)=4^/(2+1)=4刃(2)+{1)-1=4^3/(1)-2=4,

.??/(1)=2,火2)=2X2-1=3,

???兒72+4-5)<2=3).10分

???/(X)在R上為增函數(shù)，.-.a2+67-5<W-3<47<2,

即at(-3,2).12分

【名師寄語(yǔ)】(1)抽象函數(shù)的單調(diào)性證明只能用定義，在證明時(shí)應(yīng)根據(jù)所

給等式的特點(diǎn)對(duì)X\或X2進(jìn)行適當(dāng)變形，如X2=(X2-X|)+修或X]=X2腎等.

(2)求解含7"的不等式，應(yīng)先將不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后再根據(jù)

函數(shù)/(X)的單調(diào)性去掉“廣，此時(shí)應(yīng)注意“、N應(yīng)在定義域內(nèi)取值.

------------------------[1個(gè)規(guī)范練]----------------

已知/(X)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)，且娟=/(x)—/□),/(2)=1,解不

等式：,危)一七3?2.

【解】?第=網(wǎng),，a)+娟=網(wǎng),

在以上等式中取x=4,y=2,

則有人2)+12)={4).

■</(2)=1,-V(4)=2.

?,貝可變形為義x(x-3))5/(4).

又.?,/(X)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)，

pc(x-3)W4,

.,Jx>0,解得3<xW4.

Lx-3>0,

原不等式的解集為{x[3<xW4}.

課時(shí)限時(shí)檢測(cè)(五)函數(shù)的單調(diào)性與最值

(時(shí)間:60分鐘滿分：80分)

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1.若函數(shù)_y=“x與y=一§在(0,+8)上都是減函數(shù)，則歹=方2+必在(0,

+8)上是()

A.增函數(shù)B.減函數(shù)

C.先增后減D.先減后增

【答案】B

2.下列函數(shù)中，滿足為,由6(0,+8),當(dāng)時(shí)都有加1)>加2)的是()

1,

A.A.x)=~B./x)=(x-l)

C../(x)=evD.Dx)=ln(x+1)

【答案】A

3.若函數(shù);(x)的定義域?yàn)镽，且在(0，+8)上是減函數(shù)，則下列不等式成

立的是()

A-y(j)>/(a2_q+l)B.^>/(a2-67+l)

c.局〈寅/一。+1)D.局W_A/-。+1)

【答案】B

4.已知./(X)為R上的減函數(shù)，則滿足乂；)</(1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-1,O)U(O,1)D.(-8,-l)u(l,+°o)

【答案】c

5.用min｛a,b,c｝表示“，b,c三個(gè)數(shù)中的最小值，設(shè)處0=111畝｛2*,x+

2,10—x}（x20）,則/（x）最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

6.已知函數(shù)/（x）={,若MCR，X1WX2，使得/（Xl）

ax-1,x>1,

=加2）成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.4V2B.a>2

C.-2<a<2D.Q>2或。<一2

【答案】A

二、填空題（每小題5分，共15分）

7.若函數(shù)/（x）=|2x+a|的單調(diào)遞增區(qū)間是［3,+8）,則。=.

【答案】-6

—X-l-a,X1,

8.設(shè)函數(shù){x）=《''的最小值為2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】［3,十8）

9.函數(shù)火X）的定義域?yàn)?,若X1，洶64且/1）=加2）時(shí)總有X1=X2，則稱

./（X）為單函數(shù).例如，函數(shù)/（x）=2x+l（xGR）是單函數(shù)，下列命題：

①函數(shù)/）=d（xGR）是單函數(shù)；

②指數(shù)函數(shù)/（X）=2x（xGR）是單函數(shù)；

③若人X）為單函數(shù)，XI，X2W力且X1#X2，則於1）差加2）；

④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù).

其中的真命題是.（寫出所有真命題的編號(hào)）

【答案】②③④

三、解答題（本大題共3小題，共35分）

10.（10分）設(shè)二次函數(shù)段）=辦2+云+。在區(qū)間［—2,2］上的最大值、最小值

分別是M、m,集合/={xj/（x）=x}.

(1)若/={1,2},且洋0)=2,求/和〃2的值；

(2)若4={1},且心1,記g(a)=A/+加,求g(。)的最小值.

【解】(1)由{0)=2可知c=2,

又4={1,2},故1,2是方程(7X2+(6-l)x+c=0的兩實(shí)根.

「?<解得<7=Lb=-2,

2=-,

Ia

22

/./(X)=X-2X+2=(X-1)+1,[-2Z2].

當(dāng)X=1時(shí)，/(X)min=/(l)=1，即加=1,

當(dāng)X=-2時(shí)，兀6^=人-2)=10,即M=10.

(2)由題意知，方程QJ?+(6-1)%+C=0有兩相等實(shí)根x=1,

二.1b

b=\-2a,

即<

=a.

Q，

2q_]]

?'./(x)=ax2+(1-1a)x+a,x€[-2,2],其對(duì)稱軸方程為x==]一石.

又aNl,故1￡2'1)'

??.M=/(-2)=9a-2,

g(<7)=M+m=9a-1.

又g(a)在區(qū)間［1,+8)上為單調(diào)遞增的，.?.當(dāng)。=1時(shí)，g(a)min=—.

11.(12分)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),且對(duì)一切x>0,歹>0都有/力=

加)一方)，當(dāng)x>l時(shí)，有人x)>0.

⑴求用)的值；

(2)判斷/(X)的單調(diào)性并加以證明.

(3)若<4)=2,求於)在［1,16］上的值域.

【解】⑴.??當(dāng)x〉0,y〉0時(shí)，.娟=危)-左),

???令x=y>0,則貝1)=危)一網(wǎng)=0.

(2)設(shè)X],X2￡(0，+8),且X1<X2，

則於2)-回)=")

??”2〉為>0,?號(hào)>1,?,?//)>().

a1xAl/

.)X2)〉外|),即義X)在(0,+8)上是增函數(shù).

(3)由⑵知兀c)在口，峋上是增函數(shù).

???./U)min=/(l)=0,./(x)max=/(16),

?)(4)=2,由.”)=/(x)-Ar)，

知./(牛)=/U6)-人4)，

.??/(16)=2/(4)=4,

二段)在口,16]上的值域?yàn)閇0,4].

12.(13分)已知_Ax)=：(xWa)?

(1)若a=-2,試證/(x)在(一8,—2)上單調(diào)遞增；

(2)若。>0且人口在(1,+8)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

【解】⑴證明任設(shè)XI<X2<-2,

X\X

貝U/S)-/(X2)=2

X|+2+2

2(X1-x2)

二(Xi+2)(X2+2).

'.'(X|+2)(X2+2)>0,X]-X2<0,

.??加|)<心2)，，心)在(-8,-2)內(nèi)單調(diào)遞增.

(2)任設(shè)1<X1<X2->貝I

2X2

XX|)-/X2)=-T

人1X2~a

4(應(yīng)ri)

(xi-<7)(x2-a).

a>0,X2-xi>0,

要使/(xi)-/(M)>0，只需(xi-a)(x2-a)>0恒成立,

綜上所知a的取值范圍為{alOVaWl}.

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性

［考情展望］1.考查函數(shù)奇偶性的判斷2利用函數(shù)的奇偶性、周期性求函數(shù)

值.3.與函數(shù)的對(duì)稱性相結(jié)合，綜合考查知識(shí)的靈活應(yīng)用能力.

抓住2個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)

一、奇(偶)函數(shù)的定義及圖象特征

1.奇、偶函數(shù)的定義

對(duì)于函數(shù)於)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)X.

(1施)為偶函數(shù)0"-x)="x)；

(2)/(x)為奇函數(shù)0/(—x)=—/(x).

2.奇、偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于丫軸對(duì)稱.

1.奇、偶函數(shù)對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性

奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性.

2.奇函數(shù)圖象與原點(diǎn)的關(guān)系：

如果奇函數(shù)/(X)在原點(diǎn)有定義，則/(0)=0.

二、周期性

1.周期函數(shù)：7為函數(shù)人對(duì)的一個(gè)周期，則需滿足的條件：

①TWO;

—+D=/(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x都成立.

2.最小正周期：如果在周期函數(shù)/(公的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),

那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做它的最小正周期.

周期性常用的結(jié)論

對(duì)/(X)定義域內(nèi)任一自變量的值X：

(1)若加+。)=-/%),則T=2a；

(2)若左+")=看，

則T=2a；

1

(3)若加+a)=麗’則T=2a.

(4)若對(duì)于R上的任意x都有J(2a-x)=j[x)y且<26-x)=/(x)(其中a<b),

則：V=/(x)是以2(6-0為周期的周期函數(shù)?

(5)若VxER,都有道x+a)=/(x+6)(a26),那么函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，其中

一個(gè)周期為T=\a-b\.

|【基礎(chǔ)自測(cè)】|

1.已知｛x)=o?+瓜是定義在口一1,25上的偶函數(shù)，那么a+b的值是()

1111

A.B.1C，2D.—2

【答案】B

2.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()

A.y=sinxB.y=x3

C._y=e"D.y=\n\[j^+\

【答案】D

3.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足於+4)=/(x),則_/(8)的值為()

A.-1B.0

C.1D.2

【答案】B

4.若函數(shù)y=(x+l)(x—a)為偶函數(shù)，貝ija=.

【答案】1

感悟高考

5.（2013?山東高考）已知函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/（x）=/+J,則

義—1)=()

A.2B.1

C.0D.-2

【答案】D

6.(2014?重慶高考)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()

A.