2023年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過(guò)專題51古典概型理

專題51古典概型〔1〕理解古典概型及其概率計(jì)算公式.〔2〕會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的根本領(lǐng)件數(shù)及事件發(fā)生的概率.一、根本領(lǐng)件在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的每一個(gè)根本結(jié)果叫做根本領(lǐng)件.根本領(lǐng)件有如下特點(diǎn)：〔1〕任何兩個(gè)根本領(lǐng)件是互斥的.〔2〕任何事件〔除不可能事件〕都可以表示成根本領(lǐng)件的和.二、古典概型的概念及特點(diǎn)把具有特點(diǎn)：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的根本領(lǐng)件只有有限個(gè)；②每個(gè)根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.三、古典概型的概率計(jì)算公式.四、必記結(jié)論〔1〕古典概型中的根本領(lǐng)件都是互斥的．〔2〕在計(jì)算古典概型中根本領(lǐng)件數(shù)和事件發(fā)生數(shù)時(shí)，易無(wú)視它們是否是等可能的．考向一古典概型的概率求解1.求古典概型的根本步驟：(1)算出所有根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)n.(2)求出事件A包含的所有根本領(lǐng)件數(shù)m.(3)代入公式，求出P(A)．2.求解古典概型的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的根本領(lǐng)件的總數(shù)和事件A包含的根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)，這就需要正確列出根本領(lǐng)件.根本領(lǐng)件的表示方法有列舉法、列表法、樹(shù)狀圖法和計(jì)數(shù)原理法，具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇.3.對(duì)于求較復(fù)雜事件的古典概型的概率問(wèn)題，可以將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和，或者先求對(duì)立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蟪鏊笫录母怕?4.解決與古典概型交匯命題的問(wèn)題時(shí)，把相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件，列舉根本領(lǐng)件，求出根本領(lǐng)件和隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.典例1一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字依次為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)〞(如243)，現(xiàn)從集合中取出三個(gè)不相同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，那么這個(gè)三位數(shù)是“凸數(shù)〞的概率為A． B．C． D．【答案】B典例2某校高一、高二、高三分別有400人、350人、350人.為調(diào)査該校學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,采用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為的樣本.從高一的同學(xué)中抽取8人.(1)求樣本容量的值和從高二抽取的人數(shù)；(2)假設(shè)從高二抽取的同學(xué)中選出2人參加某活動(dòng),高二被抽取的同學(xué)中有2名女生,求至少有1名女同學(xué)被選中的概率.【解析】(1)由題意可得,解得,從高二抽取人.從這7位同學(xué)中任選2人,有女生的有:,共11種,故至少有1名女同學(xué)被選中的概率為.1．在中任取個(gè)不同的數(shù),那么這個(gè)數(shù)的和小于的概率為．2．近年來(lái)我國(guó)電子商務(wù)行業(yè)迎來(lái)開(kāi)展的新機(jī)遇,與此同時(shí),相關(guān)管理部門(mén)推出了針對(duì)電商商品和效勞的評(píng)價(jià)體系．現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易,并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),對(duì)商品好評(píng)率為對(duì)效勞好評(píng)率為其中對(duì)商品和效勞都做出好評(píng)的交易為80次．(1)是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下,認(rèn)為商品好評(píng)與效勞好評(píng)有關(guān)?(2)假設(shè)針對(duì)商品的好評(píng)率,采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出5次交易,并從中選擇兩次交易進(jìn)行客戶回訪,求只有一次好評(píng)的概率．注:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828.考向二用隨機(jī)模擬估計(jì)概率用隨機(jī)模擬估計(jì)概率的關(guān)鍵是用相應(yīng)的整數(shù)表示試驗(yàn)的結(jié)果，然后按實(shí)際需要將所得的隨機(jī)數(shù)分為假設(shè)干個(gè)一組〔比方試驗(yàn)要求隨機(jī)抽取三個(gè)球就三個(gè)數(shù)據(jù)一組〕，明晰所求事件的特點(diǎn)后去找符合要求的數(shù)據(jù)組，即可求解概率.典例3小李每次打靶命中靶心的概率都為40%,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)小李三次打靶恰有兩次命中靶心的概率.先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定0,1,2,3表示命中靶心,4,5,6,7,8,9表示未命中靶心,再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次打靶的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):321421191925271932800478589663531297396021546388230113507965據(jù)此估計(jì),小李三次打靶恰有兩次命中的概率為A．0.25B．0.30C．0.35D．0.40【答案】B3．袋子中有四個(gè)小球，分別寫(xiě)有“甲、乙、丙、丁〞四個(gè)字，從中任取一個(gè)小球，取到“丙〞就停止，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)直到第二次停止的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，且用1，2，3，4表示取出小球上分別寫(xiě)有“甲、乙、丙、丁〞四個(gè)字，以每?jī)蓚€(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：1324123243142432312123133221244213322134據(jù)此估計(jì)，直到第二次就停止的概率為A．B．C．D．1．甲、乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組A,B,C可以參加,假設(shè)每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組,那么兩人參加同一個(gè)小組的概率為A．B．C．D．2．現(xiàn)有2個(gè)正方體,3個(gè)三棱柱,4個(gè)球和1個(gè)圓臺(tái),從中任取一個(gè)幾何體,那么該幾何體是旋轉(zhuǎn)體的概率為A．B．C．D．3．袋中共有6個(gè)除顏色外完全相同的球,其中有1個(gè)紅球,2個(gè)白球和3個(gè)黑球,從袋中任取兩個(gè)球,那么兩個(gè)球的顏色為一白一黑的概率等于A．B．C．D．4．某運(yùn)發(fā)動(dòng)每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)發(fā)動(dòng)三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：137

966

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925

271

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812

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683431

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027

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730

113

537

989據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)發(fā)動(dòng)三次投籃恰有兩次命中的概率為A．0.40 B．0.30 C．0.35 D．0.255．某車(chē)間共有6名工人,他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如下圖,其中莖為十位數(shù),葉為個(gè)位數(shù),日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.從該車(chē)間6名工人中,任取2名,那么至少有1名優(yōu)秀工人的概率為A．B．C．D．6．運(yùn)行如下圖的程序框圖,設(shè)輸出數(shù)據(jù)構(gòu)成的集合為,從集合中任取一個(gè)元素,那么函數(shù)是增函數(shù)的概率為A．B．C．D．7．2017年1月18日支付寶集福活動(dòng)又來(lái)了,假定每次掃福都能得到一張?？??？ㄒ还灿形宸N:愛(ài)國(guó)福、富強(qiáng)福、和諧福、友善福、敬業(yè)福),且得到每一種類型?？ǖ母怕氏嗤?假設(shè)小張已經(jīng)得到了富強(qiáng)福、和諧福、友善福,那么小張?jiān)賿邇纱慰梢约R五福的概率為_(kāi)__________.8．集合A={-2,3,5,7},從A中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的元素a,b,作為復(fù)數(shù)z=a+bi(i為虛數(shù)單位)的實(shí)部和虛部.那么復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限的概率為_(kāi)__________.9．某中學(xué)有一調(diào)查小組為了解假期期間本校學(xué)生白天在家的時(shí)間情況,從全校學(xué)生中抽取120人,統(tǒng)計(jì)他們平均每天在家的時(shí)間(在家時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的就認(rèn)為具有“宅〞屬性,否那么就認(rèn)為不具有“宅〞屬性).具有“宅〞屬性不具有“宅〞屬性男生2050女生1040采用分層抽樣的方法從具有“宅〞屬性的學(xué)生中抽取一個(gè)6人的樣本,假設(shè)從這6人中隨機(jī)選取3人做進(jìn)一步的調(diào)查,那么選取的3人中至少有1名女生的概率為_(kāi)__________.10．廣場(chǎng)舞是現(xiàn)代城市群眾文化、娛樂(lè)開(kāi)展的產(chǎn)物,也是城市精神文明建設(shè)成果的一個(gè)重要象征.2023年某校社會(huì)實(shí)踐小組對(duì)某小區(qū)廣場(chǎng)舞的開(kāi)展?fàn)顩r進(jìn)行了年齡的調(diào)查,隨機(jī)抽取了40名廣場(chǎng)舞者進(jìn)行調(diào)查,將他們按年齡分成6段后得到如下圖的頻率分布直方圖.(l)計(jì)算這40名廣場(chǎng)舞者中年齡分布在的人數(shù);(2)假設(shè)從年齡在中的廣場(chǎng)舞者任取2名,求這兩名廣場(chǎng)舞者中恰有一人年齡在的概率.11．某市為了了解高三學(xué)生的身體綜合素質(zhì),從甲、乙兩所學(xué)校(兩所學(xué)校的高三學(xué)生人數(shù)均按365計(jì)算)各抽取20名學(xué)生的數(shù)據(jù)作為樣本,將綜合素質(zhì)分進(jìn)行統(tǒng)計(jì),如莖葉圖所示(十位為莖,個(gè)位為葉).總分在35分以下(不包括35分)的為需要加強(qiáng)訓(xùn)練的學(xué)生;35~75分之間的為需要提高訓(xùn)練的學(xué)生;75分以上(不包括75分)的為運(yùn)動(dòng)健兒.(1)以這20名學(xué)生的身體綜合素質(zhì)分來(lái)估計(jì)全校365名高三學(xué)生的身體狀況,那么甲、乙兩所學(xué)校中分別約有多少名需要加強(qiáng)訓(xùn)練和需要提高訓(xùn)練的高三學(xué)生?(2)從兩所學(xué)校共抽取的40名高三學(xué)生中綜合素質(zhì)分在[60,80]內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名,求抽取的2名高三學(xué)生均為運(yùn)動(dòng)健兒的概率.1．〔2023山東理科〕從分別標(biāo)有，，，的張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張．那么抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是A．B．C．D．變式拓展變式拓展1．【答案】2．【解析】(1)由題意可得關(guān)于商品評(píng)價(jià)和效勞評(píng)價(jià)的列聯(lián)表:對(duì)效勞好評(píng)對(duì)效勞不滿意合計(jì)對(duì)商品好評(píng)8040120對(duì)商品不滿意701080合計(jì)15050200計(jì)算得的觀測(cè)值為所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下,認(rèn)為商品好評(píng)與效勞好評(píng)有關(guān)．(2)假設(shè)針對(duì)商品的好評(píng)率,采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出5次交易,那么好評(píng)的交易次數(shù)為3次,不滿意的次數(shù)為2次,令好評(píng)的交易為不滿意的交易為.從5次交易中,取出2次的所有取法為,,,，共計(jì)10種情況．其中只有一次好評(píng)的情況是共計(jì)6種情況．因此,只有一次好評(píng)的概率為．3．【答案】B【解析】由題意知在20組隨機(jī)數(shù)中表示第二次就停止的有1343231313，共5組隨機(jī)數(shù)，故所求概率為.考點(diǎn)沖關(guān)考點(diǎn)沖關(guān)1．【答案】A【解析】甲、乙兩人參加三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組共包含個(gè)根本領(lǐng)件,其中兩人參加同一個(gè)小組包含個(gè)根本領(lǐng)件,那么所求概率為.應(yīng)選A．2．【答案】C【解析】共有10個(gè)幾何體,其中旋轉(zhuǎn)體有5個(gè),所以從中任取一個(gè)幾何體,那么該幾何體是旋轉(zhuǎn)體的概率為.3．【答案】B4．【答案】B【解析】由題意，得在20組模擬數(shù)據(jù)中，表示該運(yùn)發(fā)動(dòng)三次投籃恰有兩次命中的數(shù)據(jù)有137、191、271、932、812、393，共6個(gè)數(shù)據(jù)，那么該運(yùn)發(fā)動(dòng)三次投籃恰有兩次命中的概率為.應(yīng)選B．5．【答案】C【解析】依題意,平均數(shù)=22,故只有2名優(yōu)秀工人,從中任取2名共有=15(種)情況,其中至少有1名優(yōu)秀工人的情況有-=9(種),故至少有1名優(yōu)秀工人的概率為P=.6．【答案】C【解析】該程序的運(yùn)行過(guò)程如下:x=-3,輸出,輸出,輸出,輸出,輸出,輸出,輸出y=15,程序結(jié)束,故A={3,0,-1,8,15},其中有3個(gè)元素可使得函數(shù)是增函數(shù),故所求概率為.7．【答案】種,根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可得所求概率為P(M)=.8．【答案】【解析】從集合A={-2,3,5,7}中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的元素a,b,組成復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)有(-2,3),(-2,5),(-2,7),(3,-2),(3,5),(3,7),(5,-2),(5,3),(5,7),(7,-2),(7,3),(7,5),共12種;其中位于第一象限的點(diǎn)有(3,5),(3,7),(5,3),(5,7),(7,3),(7,5),共6種.所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限的概率為P=.故填.9．【答案】【解析】記事件M為“選取的3人中至少有1名女生〞,那么事件為“選取的3人都是男生〞.采用分層抽樣的方法從具有“宅〞屬性的學(xué)生中抽取一個(gè)6人的樣本,其中男生有4人,編號(hào)分別為a,b,c,d,女生有2人,編號(hào)分別為A,B．從6人中隨機(jī)選取3人的根本領(lǐng)件有{a,b,c},{a,b,d},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,d},{a,c,A},{a,c,B},{a,d,A},{a,d,B},{a,A,B},{b,c,d},{b,c,A},{b,c,B},{b,d,A},{b,d,B},{b,A,B},{c,d,A},{c,d,B},{c,A,B},{d,A,B},共20個(gè).事件所含的根本領(lǐng)件分別為{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},共4個(gè),所以事件的概率為P()=,所以事件M的概率為P(M)=1-P()=1-.其中恰有1人在的有8種,故這兩名廣場(chǎng)舞者中恰有一人年齡在的概率為.11．【解析】(1)從甲、乙兩所學(xué)校中各抽取的20名高三學(xué)生的身體綜合素質(zhì)分中可得,甲學(xué)校有15名需要加強(qiáng)訓(xùn)練和需要提高訓(xùn)練的高三學(xué)生,乙學(xué)校有16名需要加強(qiáng)訓(xùn)練和需要提高訓(xùn)練的高三學(xué)生.由樣本估計(jì)總體知,甲學(xué)校中需要加強(qiáng)訓(xùn)練和需要提高訓(xùn)練的高三學(xué)生人數(shù)為365×=273.75≈274,乙學(xué)校中需要加強(qiáng)訓(xùn)練和需要提高訓(xùn)練的高三學(xué)生人數(shù)為365×=292.(2)在抽取的40名高三學(xué)生的樣本數(shù)據(jù)中,身體綜合素質(zhì)分在[60,80]內(nèi)的有6名,而身體綜合素質(zhì)分在(75,80]內(nèi)的有3名,分別記為D1,D2,D3,身體綜合素質(zhì)分在[60,75]內(nèi)的有3名,分別記為d1,d2,d3,那么從這6名高三學(xué)