2023年高考數(shù)學考點一遍過專題51古典概型理

專題51古典概型〔1〕理解古典概型及其概率計算公式.〔2〕會計算一些隨機事件所含的根本領(lǐng)件數(shù)及事件發(fā)生的概率.一、根本領(lǐng)件在一次試驗中，可能出現(xiàn)的每一個根本結(jié)果叫做根本領(lǐng)件.根本領(lǐng)件有如下特點：〔1〕任何兩個根本領(lǐng)件是互斥的.〔2〕任何事件〔除不可能事件〕都可以表示成根本領(lǐng)件的和.二、古典概型的概念及特點把具有特點：①試驗中所有可能出現(xiàn)的根本領(lǐng)件只有有限個；②每個根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.三、古典概型的概率計算公式.四、必記結(jié)論〔1〕古典概型中的根本領(lǐng)件都是互斥的．〔2〕在計算古典概型中根本領(lǐng)件數(shù)和事件發(fā)生數(shù)時，易無視它們是否是等可能的．考向一古典概型的概率求解1.求古典概型的根本步驟：(1)算出所有根本領(lǐng)件的個數(shù)n.(2)求出事件A包含的所有根本領(lǐng)件數(shù)m.(3)代入公式，求出P(A)．2.求解古典概型的關(guān)鍵是求試驗的根本領(lǐng)件的總數(shù)和事件A包含的根本領(lǐng)件的個數(shù)，這就需要正確列出根本領(lǐng)件.根本領(lǐng)件的表示方法有列舉法、列表法、樹狀圖法和計數(shù)原理法，具體應用時可根據(jù)需要靈活選擇.3.對于求較復雜事件的古典概型的概率問題，可以將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和，或者先求對立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蟪鏊笫录母怕?4.解決與古典概型交匯命題的問題時，把相關(guān)的知識轉(zhuǎn)化為事件，列舉根本領(lǐng)件，求出根本領(lǐng)件和隨機事件的個數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式進行計算.典例1一個三位數(shù)，個位、十位、百位上的數(shù)字依次為，當且僅當時，稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)〞(如243)，現(xiàn)從集合中取出三個不相同的數(shù)組成一個三位數(shù)，那么這個三位數(shù)是“凸數(shù)〞的概率為A． B．C． D．【答案】B典例2某校高一、高二、高三分別有400人、350人、350人.為調(diào)査該校學生的學習情況,采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為的樣本.從高一的同學中抽取8人.(1)求樣本容量的值和從高二抽取的人數(shù)；(2)假設(shè)從高二抽取的同學中選出2人參加某活動,高二被抽取的同學中有2名女生,求至少有1名女同學被選中的概率.【解析】(1)由題意可得,解得,從高二抽取人.從這7位同學中任選2人,有女生的有:,共11種,故至少有1名女同學被選中的概率為.1．在中任取個不同的數(shù),那么這個數(shù)的和小于的概率為．2．近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來開展的新機遇,與此同時,相關(guān)管理部門推出了針對電商商品和效勞的評價體系．現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易,并對其評價進行統(tǒng)計,對商品好評率為對效勞好評率為其中對商品和效勞都做出好評的交易為80次．(1)是否可以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認為商品好評與效勞好評有關(guān)?(2)假設(shè)針對商品的好評率,采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出5次交易,并從中選擇兩次交易進行客戶回訪,求只有一次好評的概率．注:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828.考向二用隨機模擬估計概率用隨機模擬估計概率的關(guān)鍵是用相應的整數(shù)表示試驗的結(jié)果，然后按實際需要將所得的隨機數(shù)分為假設(shè)干個一組〔比方試驗要求隨機抽取三個球就三個數(shù)據(jù)一組〕，明晰所求事件的特點后去找符合要求的數(shù)據(jù)組，即可求解概率.典例3小李每次打靶命中靶心的概率都為40%,現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計小李三次打靶恰有兩次命中靶心的概率.先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定0,1,2,3表示命中靶心,4,5,6,7,8,9表示未命中靶心,再以每三個隨機數(shù)為一組,代表三次打靶的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù):321421191925271932800478589663531297396021546388230113507965據(jù)此估計,小李三次打靶恰有兩次命中的概率為A．0.25B．0.30C．0.35D．0.40【答案】B3．袋子中有四個小球，分別寫有“甲、乙、丙、丁〞四個字，從中任取一個小球，取到“丙〞就停止，用隨機模擬的方法估計直到第二次停止的概率：先由計算器產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，且用1，2，3，4表示取出小球上分別寫有“甲、乙、丙、丁〞四個字，以每兩個隨機數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：1324123243142432312123133221244213322134據(jù)此估計，直到第二次就停止的概率為A．B．C．D．1．甲、乙兩人有三個不同的學習小組A,B,C可以參加,假設(shè)每人必須參加并且僅能參加一個學習小組,那么兩人參加同一個小組的概率為A．B．C．D．2．現(xiàn)有2個正方體,3個三棱柱,4個球和1個圓臺,從中任取一個幾何體,那么該幾何體是旋轉(zhuǎn)體的概率為A．B．C．D．3．袋中共有6個除顏色外完全相同的球,其中有1個紅球,2個白球和3個黑球,從袋中任取兩個球,那么兩個球的顏色為一白一黑的概率等于A．B．C．D．4．某運發(fā)動每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運發(fā)動三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：137

966

191

925

271

932

812

458

569

683431

257

393

027

556

488

730

113

537

989據(jù)此估計，該運發(fā)動三次投籃恰有兩次命中的概率為A．0.40 B．0.30 C．0.35 D．0.255．某車間共有6名工人,他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如下圖,其中莖為十位數(shù),葉為個位數(shù),日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.從該車間6名工人中,任取2名,那么至少有1名優(yōu)秀工人的概率為A．B．C．D．6．運行如下圖的程序框圖,設(shè)輸出數(shù)據(jù)構(gòu)成的集合為,從集合中任取一個元素,那么函數(shù)是增函數(shù)的概率為A．B．C．D．7．2017年1月18日支付寶集福活動又來了,假定每次掃福都能得到一張?？?福卡一共有五種:愛國福、富強福、和諧福、友善福、敬業(yè)福),且得到每一種類型?？ǖ母怕氏嗤?假設(shè)小張已經(jīng)得到了富強福、和諧福、友善福,那么小張再掃兩次可以集齊五福的概率為___________.8．集合A={-2,3,5,7},從A中隨機抽取兩個不同的元素a,b,作為復數(shù)z=a+bi(i為虛數(shù)單位)的實部和虛部.那么復數(shù)z在復平面內(nèi)的對應點位于第一象限的概率為___________.9．某中學有一調(diào)查小組為了解假期期間本校學生白天在家的時間情況,從全校學生中抽取120人,統(tǒng)計他們平均每天在家的時間(在家時間超過4小時的就認為具有“宅〞屬性,否那么就認為不具有“宅〞屬性).具有“宅〞屬性不具有“宅〞屬性男生2050女生1040采用分層抽樣的方法從具有“宅〞屬性的學生中抽取一個6人的樣本,假設(shè)從這6人中隨機選取3人做進一步的調(diào)查,那么選取的3人中至少有1名女生的概率為___________.10．廣場舞是現(xiàn)代城市群眾文化、娛樂開展的產(chǎn)物,也是城市精神文明建設(shè)成果的一個重要象征.2023年某校社會實踐小組對某小區(qū)廣場舞的開展狀況進行了年齡的調(diào)查,隨機抽取了40名廣場舞者進行調(diào)查,將他們按年齡分成6段后得到如下圖的頻率分布直方圖.(l)計算這40名廣場舞者中年齡分布在的人數(shù);(2)假設(shè)從年齡在中的廣場舞者任取2名,求這兩名廣場舞者中恰有一人年齡在的概率.11．某市為了了解高三學生的身體綜合素質(zhì),從甲、乙兩所學校(兩所學校的高三學生人數(shù)均按365計算)各抽取20名學生的數(shù)據(jù)作為樣本,將綜合素質(zhì)分進行統(tǒng)計,如莖葉圖所示(十位為莖,個位為葉).總分在35分以下(不包括35分)的為需要加強訓練的學生;35~75分之間的為需要提高訓練的學生;75分以上(不包括75分)的為運動健兒.(1)以這20名學生的身體綜合素質(zhì)分來估計全校365名高三學生的身體狀況,那么甲、乙兩所學校中分別約有多少名需要加強訓練和需要提高訓練的高三學生?(2)從兩所學校共抽取的40名高三學生中綜合素質(zhì)分在[60,80]內(nèi)的學生中隨機抽取2名,求抽取的2名高三學生均為運動健兒的概率.1．〔2023山東理科〕從分別標有，，，的張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張．那么抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是A．B．C．D．變式拓展變式拓展1．【答案】2．【解析】(1)由題意可得關(guān)于商品評價和效勞評價的列聯(lián)表:對效勞好評對效勞不滿意合計對商品好評8040120對商品不滿意701080合計15050200計算得的觀測值為所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認為商品好評與效勞好評有關(guān)．(2)假設(shè)針對商品的好評率,采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出5次交易,那么好評的交易次數(shù)為3次,不滿意的次數(shù)為2次,令好評的交易為不滿意的交易為.從5次交易中,取出2次的所有取法為,,,，共計10種情況．其中只有一次好評的情況是共計6種情況．因此,只有一次好評的概率為．3．【答案】B【解析】由題意知在20組隨機數(shù)中表示第二次就停止的有1343231313，共5組隨機數(shù)，故所求概率為.考點沖關(guān)考點沖關(guān)1．【答案】A【解析】甲、乙兩人參加三個不同的學習小組共包含個根本領(lǐng)件,其中兩人參加同一個小組包含個根本領(lǐng)件,那么所求概率為.應選A．2．【答案】C【解析】共有10個幾何體,其中旋轉(zhuǎn)體有5個,所以從中任取一個幾何體,那么該幾何體是旋轉(zhuǎn)體的概率為.3．【答案】B4．【答案】B【解析】由題意，得在20組模擬數(shù)據(jù)中，表示該運發(fā)動三次投籃恰有兩次命中的數(shù)據(jù)有137、191、271、932、812、393，共6個數(shù)據(jù)，那么該運發(fā)動三次投籃恰有兩次命中的概率為.應選B．5．【答案】C【解析】依題意,平均數(shù)=22,故只有2名優(yōu)秀工人,從中任取2名共有=15(種)情況,其中至少有1名優(yōu)秀工人的情況有-=9(種),故至少有1名優(yōu)秀工人的概率為P=.6．【答案】C【解析】該程序的運行過程如下:x=-3,輸出,輸出,輸出,輸出,輸出,輸出,輸出y=15,程序結(jié)束,故A={3,0,-1,8,15},其中有3個元素可使得函數(shù)是增函數(shù),故所求概率為.7．【答案】種,根據(jù)古典概型的概率計算公式可得所求概率為P(M)=.8．【答案】【解析】從集合A={-2,3,5,7}中隨機抽取兩個不同的元素a,b,組成復平面內(nèi)的對應點有(-2,3),(-2,5),(-2,7),(3,-2),(3,5),(3,7),(5,-2),(5,3),(5,7),(7,-2),(7,3),(7,5),共12種;其中位于第一象限的點有(3,5),(3,7),(5,3),(5,7),(7,3),(7,5),共6種.所以復數(shù)z在復平面內(nèi)的對應點位于第一象限的概率為P=.故填.9．【答案】【解析】記事件M為“選取的3人中至少有1名女生〞,那么事件為“選取的3人都是男生〞.采用分層抽樣的方法從具有“宅〞屬性的學生中抽取一個6人的樣本,其中男生有4人,編號分別為a,b,c,d,女生有2人,編號分別為A,B．從6人中隨機選取3人的根本領(lǐng)件有{a,b,c},{a,b,d},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,d},{a,c,A},{a,c,B},{a,d,A},{a,d,B},{a,A,B},{b,c,d},{b,c,A},{b,c,B},{b,d,A},{b,d,B},{b,A,B},{c,d,A},{c,d,B},{c,A,B},{d,A,B},共20個.事件所含的根本領(lǐng)件分別為{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},共4個,所以事件的概率為P()=,所以事件M的概率為P(M)=1-P()=1-.其中恰有1人在的有8種,故這兩名廣場舞者中恰有一人年齡在的概率為.11．【解析】(1)從甲、乙兩所學校中各抽取的20名高三學生的身體綜合素質(zhì)分中可得,甲學校有15名需要加強訓練和需要提高訓練的高三學生,乙學校有16名需要加強訓練和需要提高訓練的高三學生.由樣本估計總體知,甲學校中需要加強訓練和需要提高訓練的高三學生人數(shù)為365×=273.75≈274,乙學校中需要加強訓練和需要提高訓練的高三學生人數(shù)為365×=292.(2)在抽取的40名高三學生的樣本數(shù)據(jù)中,身體綜合素質(zhì)分在[60,80]內(nèi)的有6名,而身體綜合素質(zhì)分在(75,80]內(nèi)的有3名,分別記為D1,D2,D3,身體綜合素質(zhì)分在[60,75]內(nèi)的有3名,分別記為d1,d2,d3,那么從這6名高三學