2021年九年級(jí)中考數(shù)學(xué) 三輪查漏補(bǔ)缺相似三角形及其應(yīng)用

2021中數(shù)三輪補(bǔ)：三形應(yīng)一、選題

如圖，在△中，，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，∥BC，若AD=2，AB=3，DE=4則BC于()A.5

B.6C7D.8

下列命題是真命題的是()A.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為49，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為∶3B.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為49，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為∶9C.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為49，那么這兩個(gè)三角形的面積比為∶3D.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為49，那么這兩個(gè)三角形的面積比為∶9

如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖形中的三角(陰影部分)與△AC相似的是()111

如圖平行四邊形ABCD中F為BC點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至，使DE∶AD=1∶，連接EFDC點(diǎn)，則

eq\o\ac(△,S)

=()A.2∶3

B.3∶2C9∶D.4∶9

如圖所示，P是菱形ABCD的對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，過P垂直于AC的直線交菱形邊于M、N點(diǎn)，設(shè)＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN面積為，則y1

關(guān)于x的函數(shù)圖象的大致形狀是()

(2019?

沈陽)已知△∽△ADA'D'是它們的對(duì)應(yīng)中若AD=10=6，則△與△的周長(zhǎng)比是A．3∶5C．5∶3

B．9∶25D．25∶9

（2020·重慶卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（1,2）,B（1,1），（3,1），以原點(diǎn)為位似中心，在原點(diǎn)的同側(cè)畫△DEF，使△DEF與成位似圖形，且相似比為2:1，則線段DF的長(zhǎng)度為（）A．5B．CD

（2020·新疆）如圖，在中，∠A＝90°，AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)DBC的平行線交AC點(diǎn)作BC的垂線交BC點(diǎn)F若＝CE且△DFE的積為1，則BC長(zhǎng)為······················（）A．25二、填題

B．5C．

D．10

(2019?煙臺(tái))如圖，在邊長(zhǎng)為1小正方形組成的網(wǎng)格中，建立平面直角坐標(biāo)系△A'B'O'是以點(diǎn)P為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)均在格2

點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為__________．

(2019

臺(tái)州)如圖，直線

lll1

，A，BC分別為直lll上的動(dòng)13點(diǎn)，連接AB，，線段交直線

l2

于點(diǎn)D．設(shè)直線

ll1

之間的距離為

，直線

l2

，

l3

之間的距離為

，若90BD4且

，則

m的最大值為__________．

如圖，△OAB與△OCD是以點(diǎn)O位似中心的位似圖形，相似比為∶4，∠90°，∠60°，若點(diǎn)B的坐標(biāo)是(6，0)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是

.

《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何?”意思:“今有直角三角形，(短直角)長(zhǎng)為步，股(長(zhǎng)直角邊)長(zhǎng)為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長(zhǎng)最大是多少步?”該問題的答案是

步.3

（2020·臨沂如圖ABC中，D，邊的三等分點(diǎn)，////AC，H為AF與DG的交點(diǎn)若，則DH_________.

(2019

瀘州)如圖，在等腰Rt△中90，在CB上，，點(diǎn)D在邊AB上，CDAE，垂足為，長(zhǎng)為__________．

如圖，在Req\o\ac(△,t)中，＝90°，＝3，BC＝4，⊥AB，垂足，EBC的中點(diǎn)，AECD交于點(diǎn)F，則DF的長(zhǎng)為_________．BEC

FA（2020湖州）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形．如圖，已Req\o\ac(△,t)是6×6網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)三角形該圖中所有與Req\o\ac(△,t)相似的格點(diǎn)三角形中積最大的三角形的斜邊長(zhǎng)是．4

三、解題

如圖，過☉O一點(diǎn)P作☉的切線PA，切☉于點(diǎn)，連接PO并延長(zhǎng)，與☉O于C，點(diǎn)，M是半圓CD的中點(diǎn)，連接AM交CD點(diǎn)N，連接AC，CM.(1)求證:CM=MN·;(2)若∠P=30°，2，求CM長(zhǎng).

如圖，在Rt△中，∠90°，AD平分∠交BC點(diǎn)D，O為AB上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，的☉別交，AC點(diǎn)EF，連接OFAD于點(diǎn)G.(1)求證:BC☉O切線;(2)設(shè)，，試用含x，代數(shù)式表示線段AD長(zhǎng);(3)若BE=8，sinB=，求DG的長(zhǎng).

（2020·通遼）如圖，⊙的直徑交弦（不是直徑）于點(diǎn)P，且PC

＝PBPA，求證：AB⊥CD．

D5

攀枝花）三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫三角形的重心.如圖G是的重心.求證：GDG

D

（2020·杭州）如圖，在正方ABCD

中，點(diǎn)在BC邊上，連接，

∠DAE

的平分線A與C邊交于點(diǎn)G，與C的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．設(shè)

EB

．DEC（1）若

AB

，λ＝1，求線段的長(zhǎng)．（2）連接E，若AF

，①求證：點(diǎn)G為邊的中點(diǎn)．②求

的值．

（2020·蘇州）如圖，在矩形ABCD中，是BC的中點(diǎn)，AE，垂足為F.（1）求證：ABE∽；（2）若AB，BC，求的長(zhǎng).6

OFOF

(2019

廣東)如圖，ABC中，點(diǎn)D是邊的一點(diǎn)．(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法ABC內(nèi)求(不要求寫作法，保留作圖痕跡)

，交于E(2)在(1)的條件下，若

AD，求的值．DB

︵如圖，AB為半圓的直徑，圓心，OC⊥，DB的中點(diǎn)，連接DA、DB、DC，過點(diǎn)CDC的垂線交DA于點(diǎn)E，OC于點(diǎn).(1)求證：∠＝45°；(2)求證：AE＝BD；(3)求

AO的值．2021中數(shù)三輪補(bǔ)：三形應(yīng)答案一、選題答】

B[解析]∵DE∥BC，∴△ADE∽，∴=，即，解得6，故選B.7

答】

B【案B[解析根據(jù)勾股定理分別表示出已知三角形的各邊長(zhǎng)同理利用勾股定理表示出四個(gè)選項(xiàng)中陰影三角形的各邊長(zhǎng)用三邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似可得結(jié)果，△AC各邊長(zhǎng)分別為1，111

，選項(xiàng)A陰影三角形三邊長(zhǎng)分別為

三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似;選項(xiàng)B中陰影三角形三邊長(zhǎng)分別為:

，2，，三邊與已知三角形的各邊對(duì)應(yīng)成比例兩三角形相似;選項(xiàng)C中陰影三角形三邊長(zhǎng)分別為1，

，三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似選項(xiàng)D中陰影三角形三邊長(zhǎng)分別為:2，不相似，故選B.

，三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例故兩三角形案

[解析]因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形以AD=BC.因?yàn)镈E∶AD=1∶3，BC點(diǎn)，所以DE∶CF=2∶3，因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中∥CF，所以△DEG∽，相似比為23，所以

eq\o\ac(△,S)

=4∶9故選D.【案

C【解析】本題考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).解題思路設(shè)AC交于點(diǎn)O由于點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，所以0＜x＜2.當(dāng)0時(shí)，△AMN∽△ABD

APMN＝?AOBDxMN1＝?MN＝x?＝x112

2

.此二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸是x，此時(shí)y隨x的增大而增大.所以B和D均不符合條件．當(dāng)1時(shí)，△CMN∽△CBD

CPCO＝

MN2－xMN11?＝?MN＝2－x?＝＝－xBD1122

2

此二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸是x＝1，此時(shí)y隨x的增大而減小.以A不符合條件．綜上所述，只有C是符合條件的．答】

C【解析】∵△∽△A'B'C'，和A'D'是它們的對(duì)應(yīng)中線，=10，A'D'=68

＝EG，所以BDBDDF1＝，5AEAD15＝EG，所以BDBDDF1＝，5AEAD15∴△與△的周長(zhǎng)比=AD∶′D′=10∶6=5∶3．故選C答】

D【解析】（1,2）,B（1,1）（3,1），∴AB=1，BC=2,AC=.∵與△ABC成位似圖形，且相似比為2，∴DF=2AB=2答】

A【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理．如答圖，過點(diǎn)E作EG⊥BC于G，過點(diǎn)A作AH⊥BC于．又因?yàn)镈F⊥BC，所以∥AH∥EG，四邊形DEGF是矩形．所以BDF∽△BAH，DF＝，因?yàn)镈為AB中點(diǎn)，所以＝，所以＝．設(shè)DFAHBABAAH＝EG＝x，則AH＝2．因?yàn)椤螧AC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，因?yàn)?，所以∠C＋∠CEG＝90°所∠B＝∠CEG又因?yàn)椤希健螩GE＝90°AB＝CE，所以△ABH≌△CEG所以CG＝AH＝2x同理可證△BDF∽△ECG所以

BFEGEC因?yàn)锽D＝AB＝CE，所以BF

＝EG＝x．在Req\o\ac(△,t)中，由勾股定理得BD＝

DF

＝

1)2

＝x以AD＝所以CE＝AB＝2AD＝因2為DE∥BC，所以＝＝，所以AE＝AC＝CE＝．AB2在Req\o\ac(△,t)中由勾股定理DE＝

AE

＝

(

x)

x)

＝x因△DEF的面積為1所以＝1即×xx＝1解得＝5所以DE＝×2

＝，因?yàn)锳D，AE＝CE，所以BC＝2DE＝25，因此本題選．二、填題答】

(【解析】如圖，連接B'B并延長(zhǎng)，A'A并延長(zhǎng)，B'BA'A的交點(diǎn)即為位似中心P點(diǎn)，9

由圖可知B'B、在一條直線上，則P點(diǎn)橫坐標(biāo)為–，由圖可△位似比為

OB16

，所以

PBPB1PB2

，解得PB=2，所以P縱坐標(biāo)為2，即P點(diǎn)坐標(biāo)為

(

．故答案為：

(

．【案】

【解析】如圖，過B

作

BEl1

于E，延l于F過A作3

ANl

2

于，過C

作

l

2

于M，設(shè)xCF，BN，BMy，∵BD4，∴

DMy

，ABCAEBABECBF90∴，△ABE△BFC，∴

AEBEBFCF

x，即，∴xyny∵CDM，CMD△，∴

ANDNCMDM

m4，即，n310

))∴y

，∵

m23

，∴，∴)

最大

，∴當(dāng)最大時(shí)，(m)

最大

m，∵mn(10)

xxm，∴當(dāng)

x時(shí)，m，最2∴m最大

，∴

m

的最大值為33

．故答案為：．【案】

(2，2)[解析]如圖，作AE⊥x于E，∵∠90°，∠AOB=60°，∴∠∠30°.∵點(diǎn)B坐標(biāo)是(6，∴AO=OB=3，∴OE=OA=，∴AE===

，∴A.∵△與△OCD是以點(diǎn)O位似中心的位似圖形，相似比為3∶，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為，即(2，2).11

【案】

[解析]如圖①，∵四邊形CDEF是正方形，CD=ED=CF.設(shè)，則，12-x.∵DE∥CF，∴∠∠C，∠∠B，∴△ADE∽，∴=，∴

，∴x=.如圖②，四邊形DGFE是正方形，過C作CP⊥P交DG于QS=AC·BC=AB·CP，則12×5=13CP，∴CP=.ABC

△設(shè)，同理得:△∽△CAB，∴

=，∴=

，y=<，∴該直角三角形能容納的正方形邊長(zhǎng)最大是步，故答案為:.【案】

1【解析】∵D、E為邊AB的三等分點(diǎn)，∴BE=ED=AD=AB.∵EFDG//，∴EF

∴DHEF

.【案】【解析】如圖，過D于

，則∠AHD=90°，∵在等腰Rt△ABC中，∠C，∴BC，CAD

，12

91668ADDF91668ADDF∴∠ADH=90°–∠CAD=45°=∠，∴AH，∴CH=AC–AH=15–，CFAE，又∵∠ANH=∠DNF，，△△DHC，∴

CHCE

，∵CE，CE+BE=BC=15，∴CE，∴

15

，∴DH，∴

AD

AH

DH

2

，故答案為：9．【案】

【解析】本題考查平行線分段成比例定理相似三角形的判定與性質(zhì)已知∠ACB＝90°＝3，BC＝4，由勾股定理，得A＝5．CD，由三角形的面積，得CD＝

＝．易得△∽△∽△由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，AB5得AD＝＝，BD＝＝．過E∥AB交CD點(diǎn)G，由平行AB59線分線段成比例，得DG＝＝，EG＝，所以，即，所5GFEG55以DF＝，故答案為．BE

F

C

A【案】

解：∵在Req\o\ac(△,t)中，AC＝1，BC＝2，∴AB，AC＝1：2，∴與Req\o\ac(△,t)相似的格點(diǎn)三角形的兩直角邊的比值為：2，若該三角形最短邊長(zhǎng)為4則另一直角邊長(zhǎng)為8但在6×6網(wǎng)格圖形中，最長(zhǎng)線段為6但此時(shí)畫出的直角三角形為等腰直角三角形從而畫不出端點(diǎn)都在格點(diǎn)且長(zhǎng)為8的線段，故最短直角邊長(zhǎng)應(yīng)小于，在圖中嘗試，可畫出，EF＝2，DF＝5的三角形，13

∵，∴△ABC∽△DEF∴∠DEF＝∠C＝90°，∴此時(shí)△DEF的面積為：2

2＝10，△DEF為面積最大的三角形，其斜邊長(zhǎng)為：5．故答案為：．三、解題【案】解:(1)證明:∵在☉O中，點(diǎn)M是半圓CD的中點(diǎn)，∴∠CAM=∠DCM，又∵∠是△和△的公共角，∴△CMN∽△(2)連接OA，DM，

=

CM=MN.∵PA☉O切線，∴∠90°，又∵∠P=30°，∴OA=PO=(PC+CO)設(shè)☉O半徑為，∵PC=2∴r=(2+)，解得r=2.又∵CD直徑，∴∠CMD=90°，∵點(diǎn)M半圓CD的中點(diǎn)，∴CM=DM，∴△是等腰直角三角形，∴在Rt△中，由勾股定理得CM

+DM=CD

，∴2CM2=(2)

2=16，∴CM=8，∴CM=2

.【案】[解析](1)連接OD，根據(jù)同半徑相等及角平分線條件得到∠DAC=∠，得OD∥AC切線得證;(2)連接EF根據(jù)直徑所對(duì)圓周角為直角證明∠AFE=90°，可得EF∥BC，因此∠B=∠，再利用同弧所對(duì)圓周角相等可得B=∠ADF，從而證明△ABD∽ADF，可得AD，AF的關(guān);(3)根據(jù)∠AEF=∠，利用三角函數(shù)分別在Rt△和Rt△AFE中求出半徑和AF代入2)的結(jié)論中出，再利用兩角對(duì)應(yīng)相等，證明△OGD∽△FGA，再利用對(duì)應(yīng)邊成比例，求出DG∶AG的值，即可求得DG長(zhǎng).14

解:(1)證明:連接OD，∵，∴∠∠，∵AD分∠，∴∠∠，∴∠∠，∴OD∥AC，∴∠∠C=90°，∴OD⊥BC.∵OD☉O半徑，∴BC☉O切線.(2)連接EF，∵AE☉O的直徑，∴∠90°，∴∠AFE=∠90°，∴EF∥BC，∴∠∠AEF.∵∠∠，∴∠B=∠又∵∠∠，∴△∽△ADF，∴=，∴AD·AF，∴AD=.(3)設(shè)☉O徑為，在Rt△中，sinB==，∴

=，解得r=5，∴10.在Rt△中，sin∠AEF=sinB=，∴AF=10×=，∴AD==.∵∠∠，∠DGO=∠，∴△OGD∽，∴==，∴∴DG=.

=，15

APCPADBCAPCPADBC【案】解：如圖，連結(jié)AC，．∵∠=∠，∠C=∠，∴△ACP∽△DBP，=，DPBP∴PCPD＝PBPA，∵PC＝?PA，∴PC=，即平分CD，∵CD弦（不是直徑AB直徑，∴AB⊥CD．

D【案】證明：連接DE，∵點(diǎn)G△ABC的重心，∴點(diǎn)E點(diǎn)D分別是AB和BC中點(diǎn)，∴DE△ABC中線，1∴DEAC且DE=，2∴△DEG∽△ACG，AGAC∴，DG∴GD∴即AD=3GD【案】解：（1）∵四邊形ABCD正方形，∴AD∥BC，AB，∴∠DAF＝∠F．平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，，∴EA＝EF．∵λ＝1，＝1．在Rt△ABE中，由勾股定理得EA