2021北京清華附中朝陽學校高一（上）期中數(shù)學（教師版）

20/202021北京清華附中朝陽學校高一（上）期中數(shù)學2021年11月3日（清華附中朝陽學校）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.）1．已知集合，，則（）（A） （B）（C） （D）2.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）（A） （B） （C） （D）3.若，，則下列不等式成立的是（）（A） （B） （C） （D）4.實數(shù)，“”是“”的（）條件（A）充分不必要（B）必要不充分（C）充要（D）既不充分也不必要5．已知，，，則（）（A） （B） （C） （D）6.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）（A） （B） （C） （D）7.已知函數(shù)可表示為1234則下列結(jié)論正確的是（）（A） （B）的值域是（C）的值域是 （D）在區(qū)間上單調(diào)遞增8.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）（A） （B） （C） （D）9.大西洋鮭魚每年都要逆流而上3000英里游回它們出生的地方產(chǎn)卵繁殖.研究鮭魚的科學家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位：）可以表示為,其中表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù).則該鮭魚游速為時的耗氧量與靜止時耗氧量的比值為（）（A）（B）（C） （D）10.已知函數(shù)，，，，則正確是（）（A）函數(shù)和的圖象有且只有一個公共點（B），當時，恒有（C）當時，，（D）當時，方程有解二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，滿分30分）．11.函數(shù)的定義域是________．12.已知，，且，則的最大值為_________．13._________．14.已知奇函數(shù)的定義域為，當時，，則當時，函數(shù)在定義域內(nèi)的值域為___________.15.方程的根為，方程的根為，則16.已知函數(shù),如果函數(shù)滿足對任意，都存在，使得,稱實數(shù)為函數(shù)的包容數(shù).在①；②；③；④；⑤中，函數(shù)的包容數(shù)是___________．三、解答題（共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.）17．（本小題13分）已知全集，集合，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）設非空集合，若，求實數(shù)a的取值范圍．18.（本小題13分）已知函數(shù)（Ⅰ）若的解集，求的值.（Ⅱ）分類討論不等式的解集.19.（本小題13分）已知函數(shù)的圖象過原點，且．（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）判斷并用定義證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．20.（本小題13分）2020年11月5日至10日，第三屆中國國際進口博覽會在上海舉行，經(jīng)過三年發(fā)展，進博會讓展品變商品，讓展商變投資商，交流創(chuàng)意和理念，聯(lián)通中國和世界，國際采購、投資促進、人文交流，開放合作四大平臺作用不斷凸顯，成為全球共享的國際公共產(chǎn)品.在消費品展區(qū)，某企業(yè)帶來了一款新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品參展，并決定大量投放市場.已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本為150萬元，每生產(chǎn)1萬臺需另投入380萬元.設該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入為萬元，且（Ⅰ）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式；（利潤=銷售收入—成本）（Ⅱ）當年產(chǎn)量為多少萬臺時，該企業(yè)獲得的年利潤最大？并求出最大年利潤.

21.（本小題14分）已知函數(shù)的定義域為，且滿足下列條件：（）．（）對于任意的，，總有．（）對于任意的，，，．（Ⅰ）求及的值．（Ⅱ）求證：函數(shù)為奇函數(shù)．（Ⅲ）若，求實數(shù)的取值范圍．22.（本小題14分）定義：給定整數(shù)，如果非空集合滿足如下3個條件：①②③若,則則稱集合為“減集”（Ⅰ）是否為“減集”？是否為“減集”？簡要說明理由.（Ⅱ）證明：不存在“減集”？（Ⅲ）是否存在“減集”？如果存在，求出所有“減集”；如果不存在，說明理由。

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.）1.已知集合，，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集運算直接求解.【詳解】，故選：B2.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的奇偶性判斷可得；【詳解】解：對于A：定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對于B：定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；對于C：定義域為，且，即為偶函數(shù)，故C正確；對于D：定義域為，且，即為奇函數(shù)，故D錯誤；故選：C3.若，，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求解【詳解】對于A.，，則，成立對于B.，，；對于C.，；對于D.若，則不成立故選A.4.實數(shù)，“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分、必要性的定義，判斷題設條件間的推出關(guān)系，即可確定它們的充分、必要關(guān)系.【詳解】當時，必有，但不一定，如：顯然不成立，∴“”是“”的充分不必要條件.故選：A5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可.【詳解】，由是單調(diào)遞減函數(shù)，，所以是單調(diào)遞減函數(shù)，，所以故選：A6.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷函數(shù)在上的范圍，排除A；再判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)零點存在性定理，即可判定出結(jié)果.【詳解】因為是定義在上的連續(xù)函數(shù)，當時，，所以，即零點不可能在內(nèi)；任取，則，因為，所以，，即，即，所以在上單調(diào)遞增；又，，，，根據(jù)零點存在性定理，可得在內(nèi)有零點，故選：C.7.已知函數(shù)可表示為（）1234則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的值域是C.的值域是 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】B【解析】【分析】，所以選項A錯誤；由表得的值域是，所以選項B正確C不正確；在區(qū)間上不是單調(diào)遞增，所以選項D錯誤.【詳解】A.，所以該選項錯誤；B.由表得的值域是，所以該選項正確；C.由表得值域是，不是，所以該選項錯誤；D.在區(qū)間上不是單調(diào)遞增，如：，但是，所以該選項錯誤.故選：B【點睛】方法點睛：判斷函數(shù)的性質(zhì)命題的真假，一般要認真理解函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等的定義，再根據(jù)定義分析判斷.8.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)和的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.【詳解】因為，所以等價于，在同一直角坐標系中作出和的圖象如圖：兩函數(shù)圖象的交點坐標為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.【點睛】本題考查了圖象法解不等式，屬于基礎(chǔ)題.9.大西洋鮭魚每年都要逆流而上3000英里游回它們出生的地方產(chǎn)卵繁殖．研究鮭魚的科學家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速v（單位：m/s）可以表示為v＝，其中表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù)．則該鮭魚游速為2m/s時的耗氧量與靜止時耗氧量的比值為（）A.8100 B.900 C.81 D.9【答案】C【解析】【分析】利用鮭魚游速為2m/s時和與靜止時建立方程,分別求出耗氧量,再相比即可.【詳解】解：當鮭魚游速為2m/s時的耗氧量：,解得；當鮭魚游靜止時的耗氧量：,解得；所以.故選：C【點睛】本題考查利用對數(shù)運算解決實際問題.10.已知函數(shù)，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)和的圖象有且只有一個公共點B.，當時，恒有C.當時，，D.當時，方程有解【答案】D【解析】【分析】對于A，易知兩個函數(shù)都過，又指數(shù)函數(shù)是爆炸式增長，還會出現(xiàn)一個交點，可知函數(shù)和圖像有兩個公共點；對于B，取特殊點，此時；對于C，當時，作圖可知，有恒成立；對于D，當時，易知兩個函數(shù)都過點，即方程有解；【詳解】對于A，指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)都過，但在x增大時時爆炸式增長，故還會出現(xiàn)一個交點，如圖所示，所以函數(shù)和的圖像有兩個公共點，故A錯誤；對于B，取，，當時，，此時，故B錯誤；對于C，當時，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，兩函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，如圖所示，由圖可知，，有恒成立，故C錯誤；對于D，當時，，，由知，，且兩個函數(shù)都過點，即方程有解，故D正確；故選：D【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，滿分30分）.11.函數(shù)的定義域是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分母不等于以及真數(shù)位置大于列不等式組，解不等式組即可求解.【詳解】由題意可得：，解得：且，所以函數(shù)的定義域為，故答案為：.12.已知，，且，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式直接求解即可.【詳解】解：因為，所以，即，當且僅當取等號，所以的最大值為，故答案為：【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.13._________.【答案】5【解析】【分析】直接利用指數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可【詳解】，故答案為：514.已知奇函數(shù)的定義域為，當時，，則當時，________；函數(shù)在定義域內(nèi)的值域為___________.【答案】①.②.【解析】【分析】設，即可得到，再根據(jù)奇偶性的性質(zhì)求出在上的解析式，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求出在定義域上的解析式，即可畫出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象得到函數(shù)的值域；【詳解】解：設，則，，因為為奇函數(shù)，所以，所以，又是定義域為上的奇函數(shù)，所以，所以，函數(shù)圖象如下所示：所以故答案為：；15.方程的根為，方程的根為，則__________【答案】2【解析】【分析】利用方程的根于函數(shù)圖象的交點之間的關(guān)系，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的關(guān)系，作出圖象即可求解【詳解】是方程的根，就是和圖象交點的橫坐標；是方程的根，就是和圖象交點的橫坐標；在同一坐標系中畫出函數(shù)，，的圖象，如圖所示：由圖可知，是和圖象交點的橫坐標，是和圖象交點的橫坐標，因為與互為反函數(shù)，所以圖象關(guān)于直線對稱，故點，也關(guān)于直線對稱，所以點，為，，而點，又在上，所以，，即，所以，故答案為：216.已知函數(shù)，如果函數(shù)滿足對任意，都存在，使得，稱實數(shù)為函數(shù)的包容數(shù)，在①；②；③；④；⑤中，函數(shù)的包容數(shù)是_________（填出所有正確答案的序號）.【答案】②③【解析】【分析】求得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，設函數(shù)在區(qū)間上的值域為，由題意可得，對實數(shù)分和兩種情況討論，求出，結(jié)合可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，解出實數(shù)的取值范圍，進而可得出結(jié)論.【詳解】當時，為增函數(shù)，則.設函數(shù)在區(qū)間上的值域為，由題意可得，分以下兩種情況討論：（i）當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時，，此時，不符合題意；（ii）當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，由，可得，所以不符合題意，、滿足不等式，、不滿足不等式.因此，和是函數(shù)的包容數(shù)，故答案為：②③.三、簡答題17.已知全集，集合，.（1）求；（2）設非空集合，若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分別解不等式，化簡兩集合，再進行并集運算即可求解；（2）由（1），根據(jù)集合非空，且，列出不等式求解，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】因為，，所以【小問2詳解】因為，所以或，因為非空集合，，所以或，解得：或，所以實數(shù)的取值范圍為：.18.已知函數(shù).（1）若解集或，求的值；（2）分類討論不等式的解集.【答案】（1）1（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由題意可得方程的兩個根為2和，從而可得，進而可求出的值，（2）分，，，和五種情況討論即可【小問1詳解】因為的解集或，所以方程的兩個根為2和，所以，解得【小問2詳解】當時，，解得，當時，由，得，當時，解得或，當時，，解得，當時，解得，當時，，解得，綜上，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為19.已知函數(shù)的圖像過原點，且.（1）求實數(shù)的值；（2）判斷并用定義證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.【答案】（1）（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明見解析.【解析】【分析】（1）、因為函數(shù)的圖像過原點，故，與聯(lián)立解出的值；（2）、將的值代入求出表達式；用定義法證明函數(shù)在上的單調(diào)性.【小問1詳解】函數(shù)的圖像過原點，，又，，；【小問2詳解】，，，在區(qū)間上任取，，，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減.20.2020年11月5日至10日，第三屆中國國際進口博覽會在上海舉行，經(jīng)過三年發(fā)展，進博會讓展品變商品，讓展商變投資商，交流創(chuàng)意和理念，聯(lián)通中國和世界，國際采購、投資促進、人文交流，開放合作四大平臺作用不斷凸顯，成為全球共享的國際公共產(chǎn)品.在消費品展區(qū)，某企業(yè)帶來了一款新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品參展，并決定大量投放市場.已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本為150萬元，每生產(chǎn)1萬臺需另投入380萬元.設該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入為萬元，且.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式；（利潤=銷售收入—成本）（2）當年產(chǎn)量為多少萬臺時，該企業(yè)獲得的年利潤最大？并求出最大年利潤.【答案】（1）（2）當年產(chǎn)量為25萬臺時，該企業(yè)獲得的年利潤最大，最大為1490萬元【解析】【分析】（1）分和兩種情況，由利潤=銷售收入—成本，知，再代入的解析式，進行化簡整理即可，（2）當時，利用配方法求出的最大值，當時，利用基本不等式求出的最大值，比較兩個最大值后，取較大的即可【小問1詳解】當時，，當時，，所以年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式為【小問2詳解】當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，取得最大值1450，當時，，當且僅當，即時取等號，此時取得最大值1490，因，所以當年產(chǎn)量為25萬臺時，該企業(yè)獲得的年利潤最大，最大為1490萬元21.已知函數(shù)的定義域為，且滿足下列條件：（）；（）對于任意的，，總有；（）對于任意的，，，.（1）求及的值；（2）求證：函數(shù)為奇函數(shù)；（3）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）得到，取，則，得到答案.（2）變換得到，計算得到