2021北京北師大實驗中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

22/222021北京北師大實驗中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)班級___________姓名___________學(xué)號___________成績___________考生須知1.本試卷共6頁，共五道大題，25道小題，答題卡共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫班級、姓名、學(xué)號.3.試卷答案一律填寫在答題卡上，在試卷上作答無效.4.在答題卡上，選擇題須用2B鉛筆將選中項涂黑涂滿，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.命題人：高一數(shù)學(xué)備課組審題人：黎棟材第Ⅰ卷（共100分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.已知集合，，則A.B.C.D.2.下列函數(shù)中在上單調(diào)遞增的是A.B.C.D.3.命題“，使得”的否定是A.，都有B.，都有C.，使得D.，使得4.已知，，下列不等式恒成立的是A.B.C.D.5.設(shè)方程的兩個不等實根分別為，則A.B.C.D.6.已知函數(shù)恰有一個零點，則該零點所在的區(qū)間是A.B.C.D.7.已知，則的值為A.B.C.D.8.“”是“”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件9.如圖為函數(shù)和的圖像，則不等式的解集為A.B.C.D.10.如果函數(shù)的定義域為，且值域為，則稱為“函數(shù)”.已知函數(shù)是“函數(shù)”，則的取值范圍是A.B.C.D.二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.函數(shù)的定義域為.12.已知均為正實數(shù)，則的最小值為.13.計算：.14.函數(shù)在上的最大值為，最小值為.15.已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)，且，，給出下列四個結(jié)論：①在上單調(diào)遞減；②存在，使得；③不等式的解集為；④關(guān)于的方程的解集中所有元素之和為.其中所有正確結(jié)論的序號是.（注：本題有多個選項符合要求，全部選對得5分，不選或有錯選得0分，其它情況得3分）

三、解答題（本大題共3小題，共35分）16.（本小題滿分12分）已知集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范圍；（3）若，求的取值范圍.17.（本小題滿分10分）已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實根.（1）求的取值范圍；（2）若，求的值；（3）求的取值范圍.18.（本小題滿分13分）函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，已知當(dāng)時，.（1）當(dāng)時，求的解析式；（2）判斷在上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明；（3）若，求的取值范圍.第Ⅱ卷（共50分）四、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）19.比較大?。海ㄌ睢啊被颉啊保?0.設(shè)集合，，若，則；.21.設(shè)關(guān)于的不等式的解集為.（1）若中有且只有一個元素，則的值為；（2）若且，則的取值范圍是.

22.某電熱元件在通電狀態(tài)下僅有兩種模式，在A模式下元件溫度保持不變；從A模式切換到B模式后，在B模式下，元件溫度（單位℃）與通電累積時間（即從通電時刻開始累積計時，單位min）的乘積保持不變；從B模式再切換到A模式后，原件溫度繼續(xù)保持不變……現(xiàn)將該元件通電，初始溫度為，已知在這四個時刻下的元件溫度如表所示，而在時間內(nèi)隨變化的圖像如圖所示.請根據(jù)以上信息推斷：；.通電累積時間(單位min)13612元件溫度（單位℃）30201510五、解答題（本大題共3小題，共30分）23.（本小題滿分10分）設(shè)函數(shù).（1）求的最小值，及取得最小值時的值；（2）24.（本小題滿分10分）已知函數(shù)，（其中）．（1）若對任意，都有恒成立，求的值；（2）設(shè)關(guān)于x的函數(shù)的最小值為.①若，解不等式，并直接寫出的值；②試判斷是否為的函數(shù)？若是，直接寫出的函數(shù)表達式（用分段函數(shù)形式表示）；若不是，說明理由．

25.（本小題滿分10分）對于一個所有元素均為整數(shù)的非空集合，和一個給定的整數(shù)，定義集合.（1）若，直接寫出集合，和；（2）若，其中，，求的值，使得集合中元素的個數(shù)最少；（3）寫出所有滿足的整數(shù)和，使得當(dāng)集合時，有，并說明理由．

參考答案一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)交集的定義，即得解【詳解】由題意，根據(jù)交集的定義故選：A2.下列函數(shù)中在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可求解【詳解】對于A：在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B：在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C：在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D：在上單調(diào)遞減，故D錯誤；故選：B3.命題“，使得”的否定是（）A.，都有 B.，都有C.，使得 D.，使得【答案】B【解析】【分析】由特稱命題的否定直接求解即可【詳解】命題“，使得”的否定是：，都有，故選：B4.已知，，下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)逐一判斷四個選項的正誤即可得正確選項.【詳解】對于A：因為，，所以，故選項A不正確；對于B：因為，所以，若，則，故選項B不正確；對于C：因為，所以，若，則，故選項C正確；對于D：因為，所以，，若，則，故選項D不正確；故選：C.5.設(shè)方程的兩個不等實根分別為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)韋達定理得到，化簡，計算得到答案.【詳解】，，故，.故選：D.6.已知函數(shù)恰有一個零點，則該零點所在的區(qū)間是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零點的存在性定理求出區(qū)間端點的函數(shù)值的符號即可得解.【詳解】解：，，，，所以該零點所在的區(qū)間是.故選：C.7.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)恒等式及冪的運算性質(zhì)計算可得；【詳解】解：因為，所以故選：D8.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．【詳解】由可得，所以成立，由可得，所以當(dāng)時，不成立，所以“”是“”的充分不必要條件故選：A9.如圖為函數(shù)和的圖像，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】討論和兩種情況，根據(jù)圖像得到范圍，得到答案.【詳解】當(dāng)時，，此時需滿足，，故；當(dāng)時，，此時需滿足，，故；綜上所述：.故選：D.10.如果函數(shù)的定義域為，且值域為，則稱為“函數(shù)”.已知函數(shù)是“函數(shù)”，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的新定義得到且，結(jié)合函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，且值域為，即函數(shù)的最小值，最大值為，又由函數(shù)，當(dāng)時，可得，要是函數(shù)滿足新定義，則滿足，即，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B.二?填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.函數(shù)的定義域為___________.【答案】【解析】【分析】函數(shù)的定義域滿足，解得答案.【詳解】函數(shù)的定義域滿足：，解得.故答案為：.12.已知均為正實數(shù)，則的最小值為___________.【答案】6【解析】【分析】利用均值不等式即得解【詳解】由題意，均為正實數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立故的最小值為6故答案為：613.計算：___________.【答案】2【解析】【分析】直接利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可【詳解】，故答案為：214.函數(shù)在上的最大值為___________，最小值為___________.【答案】①.2②.【解析】【分析】先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得解.【詳解】解：，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，故，故答案為：2；.15.已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)，且，，給出下列四個結(jié)論：①在上單調(diào)遞減；②存在，使得；③不等式的解集為；④關(guān)于的方程的解集中所有元素之和為.其中所有正確結(jié)論序號是___________.【答案】①③④【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性可判斷①②③，令，則有，從而可求出，進而求出，即可判斷④【詳解】因為定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)，且，，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故①正確；因為偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以時，，故②錯誤；偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，由可得，所以，解得或，故③正確；令，則，可化為，解得或，即或，所以或，解得或或或，關(guān)于的方程的解集中所有元素之和為，故④正確.故答案為：①③④三?解答題（本大題共3小題，共35分）16.已知集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范圍；（3）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出集合，再由并集與補集的定義求解即可；（2）根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想列出不等式，即可求解；（3）根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想列出不等式，即可求解；【小問1詳解】或，當(dāng)時，，或，；【小問2詳解】當(dāng)時，滿足條件，此時有，此時無解，故；當(dāng)時，由得：，解得，所以的取值范圍是；【小問3詳解】由（2）可知，由可知：或，解得或，所以的取值范圍是17.已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實根.（1）求的取值范圍；（2）若，求的值；（3）求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用判別式，即得解；（2）利用韋達定理，轉(zhuǎn)化，結(jié)合，計算即可（3）利用韋達定理，轉(zhuǎn)化，結(jié)合以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即得解【小問1詳解】由題意，關(guān)于的方程有兩個不相等的實根故解得：故的取值范圍是:小問2詳解】由題意，當(dāng)，即時有故，即解得：或，又故：【小問3詳解】由題意，當(dāng)，即時有故關(guān)于為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為故在單調(diào)遞增故即的取值范圍為18.函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，已知當(dāng)時，.（1）當(dāng)時，求的解析式；（2）判斷在上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明；（3）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）在上的單調(diào)遞增，證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）由奇偶性的定義結(jié)合已知求解即可；（2）先判斷，再用單調(diào)性的定義證明即可；（3）由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解即可【小問1詳解】函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，時，.當(dāng)時，，所以，所以時，求的解析式為；【小問2詳解】在上的單調(diào)遞增；證明：設(shè)，則，因為，所以，，即，所以在上的單調(diào)遞增；【小問3詳解】因為函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在上的單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由得，所以，解得，所以的取值范圍是四?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）19.比較大?。篲__________（填“”或“”）.【答案】【解析】【分析】由于，，所以通過比較的大小可得答案【詳解】因為，，，所以，即，故答案：20.設(shè)集合，，若，則___________；___________.【答案】①.1②.1【解析】【分析】先求解集合A，B中的不等式，再結(jié)合，列出關(guān)于的等量關(guān)系，即得解【詳解】由題意，集合由于，即或故，否則故集合或故解得故答案為：1，121.設(shè)關(guān)于的不等式的解集為.（1）若中有且只有一個元素，則的值為___________；（2）若且，則的取值范圍是___________.【答案】①.1②.【解析】【分析】（1）由題意，不等式的解集只有一個元素，利用開口方向和判別式控制，列出不等關(guān)系，即得解；（2）由且，列出不等關(guān)系，求解即可【詳解】（1）由題意，不等式的解集只有一個元素故，解得（2）由題意，且故，解得故答案為：1，22.某電熱元件在通電狀態(tài)下僅有兩種模式，在A模式下元件溫度保持不變；從A模式切換到B模式后，在B模式下，元件溫度（單位）與通電累積時間（即從通電時刻開始累積計時，單位）的乘積保持不變；從B模式再切換到A模式后，原件溫度繼續(xù)保持不變……現(xiàn)將該元件通電，初始溫度為，已知在這四個時刻下的元件溫度如表所示，而在時間內(nèi)隨變化的圖像如圖所示.請根據(jù)以上信息推斷：___________；___________.通電累積時間（單位）13612元件溫度（單位℃）30201510【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)圖像得到分段函數(shù)解析式，得到，，，，解得答案.【詳解】根據(jù)題意知：，，故，，即，，即，，即，故.故答案為：；.五?解答題（本大題共3小題，共30分）23.設(shè)函數(shù).（1）求的最小值，及取得最小值時的值；（2）已知且，求證：“”是“”的充分必要條件.【答案】（1）當(dāng)時，取得最小值2（2）證明見解析【解析】【分析】（1）化簡后利用基本不等式求解即可，（2）利用充分條件和必要條件的定義證明即可【小問1詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值2【小問2詳解】證明：充分性：因為且，，所以，所以，必要性：當(dāng)時，，所以因為，所以，所以，所以“”是“”的充分必要條件24.已知函數(shù)，（其中）.（1）若對任意，都有恒成立，求的值；（2）設(shè)關(guān)于x的函數(shù)的最小值為.①若，解不等式，并直接寫出的值；②試判斷是否為的函數(shù)？若是，直接寫出的函數(shù)表達式（用分段函數(shù)形式表示）；若不是，說明理由.【答案