利用公式法因式分解課堂實錄 市賽一等獎

利用公式法因式分解課堂實錄黑龍江省寧安市第四中學(xué)張前峰知識技能目標(biāo)1.使學(xué)生了解運(yùn)用公式法分解因式的意義；2.使學(xué)生掌握用完全平方公式進(jìn)行分解因式.3.使學(xué)生了解，因式分解首先考慮提公因式法的方法，再考慮用完全平方公式分解因式.過程方法目標(biāo)1.通過對完全平方公式特點(diǎn)的辨析，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力.2.訓(xùn)練學(xué)生對完全平方公式的運(yùn)用能力．情感態(tài)度目標(biāo)在引導(dǎo)學(xué)生逆用乘法公式的過程中，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意識，同時讓學(xué)生了解換元的思想方法.重點(diǎn)：讓學(xué)生掌握運(yùn)用完全平方公式分解因式.難點(diǎn)：靈活運(yùn)用完全平方公式，解決實際問題．

設(shè)計思路：

本節(jié)課主要是由教師引導(dǎo)學(xué)生，利用已經(jīng)學(xué)過的整式的乘法公式中的完全平方公式進(jìn)行因式分解，鼓勵學(xué)生自主探索與合作交流，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成與應(yīng)用過程，指導(dǎo)學(xué)生注重數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，不斷提高解決問題的能力。

教學(xué)過程：

師生問好，組織上課。

教師：我們在前幾課已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式乘法完全平方公式,請一位同學(xué)用文字語言來描述一下這個公式的內(nèi)容？

學(xué)生：兩數(shù)和（或差）的平方等于這兩個數(shù)的平方和加（或減）它們乘積的二倍。教師：你能用符號語言來表示這個公式嗎？

學(xué)生：=，=教師：很好，請坐。由此我們可以看出完全平方公式其實包含幾個公式？

學(xué)生齊答：兩個。

教師：接下來有兩道填空題，我們該怎么進(jìn)行填空？

m＋＋1=(m＋1)4x－4xy＋=(2x－y)

學(xué)生：（答略）

教師：你能否告訴大家，你是根據(jù)什么來進(jìn)行填空的嗎？

學(xué)生：根據(jù)完全平方公式，將等號右邊的展開,通過比較得出來的。

教師：很好。我們以前學(xué)過的完全平方公式，那么將這兩個公式反過來就有：

a＋2ab＋b=（a＋b）a－2ab＋b=（a－b）（板書）問題：這兩個式子由左到右的變形又是什么呢？

學(xué)生齊答：因式分解。

教師：可以看出，我們已將左邊多項式寫成完全平方的形式，即將左邊的多項式分解因式了。

這兩個公式我們也將它們稱之為完全平方公式，也是我們今天來共同學(xué)習(xí)的知識（板書課題）

教師：既然這兩個是公式，我們以后遇到形如這種類型的多項式可以直接運(yùn)用這個公式進(jìn)行分解。那么到底具有什么結(jié)構(gòu)特征的多項式能利用這兩個公式來分解因式呢？請同學(xué)們仔細(xì)觀察思考，分組討論一下。

（經(jīng)過討論之后）

學(xué)生：左邊是三項，右邊是完全平方的形式。

學(xué)生：左邊有兩項能夠?qū)懗善椒胶偷男问健?/p>

教師：說得很好，其他同學(xué)有沒有補(bǔ)充的？

學(xué)生：還有一項是兩個數(shù)的乘積的2倍。

教師：這“兩個數(shù)的乘積”中“兩個數(shù)”是不是任意的？

學(xué)生：不是，而是剛才兩項的底數(shù)。

教師：剛才三位同學(xué)都回答得很好，每人都找出了一些特征。誰能給綜合一下。

學(xué)生：左邊的多項式要有三項，有兩項是平方和的形式，還有一項是這兩個數(shù)的積的2倍。右邊是兩個數(shù)的和或差的平方。

教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上：

1)多項式是三項式

2)有兩項能夠?qū)懗善椒胶偷男问?/p>

3)另一項是剛才寫成平方項兩底數(shù)乘積的2倍，這一項可以是正，也可以是負(fù)

4)等號右邊為兩平方項底數(shù)和或差的平方。

教師：我們?nèi)绾螌⒎栒Z言轉(zhuǎn)化為文字語言呢？

學(xué)生：a、b兩個數(shù)的平方和加上a、b乘積的2倍，等于a與b的和的平方；

a、b兩個數(shù)的平方和減去a、b乘積的2倍，等于a與b的差的平方。

教師：如果不用字母a、b，又怎么表達(dá)？能否將兩句合并成一句呢？

學(xué)生：兩個數(shù)的平方和加上或減去這兩個數(shù)的乘積的2倍，等于這兩個數(shù)的和或差的平方。

教師：非常好！我們以后只要遇到這種類型的多項式可以直接利用完全平方公式方便地進(jìn)行因式分解了。

通過剛才的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)初步掌握了利用完全平方公式分解因式的有關(guān)知識，下面有幾道練習(xí)題向我們同學(xué)提出了挑戰(zhàn)，看你掌握知識的情況：

判斷下列各式是不是完全平方式，并說出理由。

（1）a－4a＋4(2)x＋4y(3)4a＋2ab＋b

(4)a－ab＋b(5)x－6x－9(6)a＋a＋

學(xué)生：第一題和第六題是完全平方式。有三項，其中有兩項正且能寫成平方的形式，另一項是減去這兩個數(shù)的積的2倍。

學(xué)生：第四題不是完全平方式，因為中間一項不是兩個數(shù)的乘積的2倍。

學(xué)生：第五題是完全平方式。三項，有兩項能寫成平方的形式，另一項也是兩個數(shù)的積的2倍。

教師：其它同學(xué)同意他的意見嗎？有沒有補(bǔ)充的？

學(xué)生：這一題不是完全平方式，雖然有兩部分能寫成平方的形式，但這兩項不是平方和。

教師：同意他的意見嗎？

學(xué)生齊答：同意。

教師：因此我們在觀察一個多項式是否符合完全平方式的特點(diǎn)時，不僅要找有沒有兩項能夠?qū)懗善椒降男问?，同時還要看這兩項的符號是否同為正，更要看另一項是不是這兩數(shù)的積的2倍。像剛才的第2題和第4題都只滿足特征中的一部分。

引例講解：將下列各式分解因式。

1、a＋6a＋92、4a－20a＋25

問題：這兩題首先怎么分析？

學(xué)生：將9改寫成32，6a正好是a與3的乘積的2倍。（學(xué)生回答，教師板書）

學(xué)生15：將4a寫成（2a），25寫成5，20a寫成2×2a×5

a＋6a＋9=a＋2×a×3＋32=(a＋3)

4a－20a＋25=(2a)－2×2a×5＋5=(2a－5)

（聯(lián)系字母表達(dá)式用箭頭對應(yīng)表示，加深學(xué)生印象。）

教師：由剛才的例子，我們同學(xué)能否發(fā)現(xiàn)將因式分解為兩數(shù)的和或差的平方，如何確定是兩數(shù)的和還是兩數(shù)的差的平方呢？

學(xué)生：由符號來決定。

教師：能不能具體點(diǎn)。

學(xué)生：由中間一項的符號決定，就是兩個數(shù)乘積2倍這項的符號決定，是正，就是兩個數(shù)的和；是負(fù)，就是兩個數(shù)的差。

教師：總之，在分解完全平方式時，要根據(jù)第二項的符號來選擇運(yùn)用哪一個完全平方公式。

例題1：把16x＋8x＋1分解因式。

教師：這道題目能否運(yùn)用以前所學(xué)的方法分解？就題目本身有什么特點(diǎn)？可以怎么分解？

學(xué)生：題目符合完全平方式的特點(diǎn)，可以將16x改寫成（4x），1就是12，8x改寫成2×4x×1。（此學(xué)生板演，過程略）

例題2：把－a－4b＋4ab分解因式。

教師：按照常規(guī)我們首先怎么辦？

學(xué)生齊答：提取負(fù)號?！步處煱鍟海╝＋4b－4ab）〕以下過程學(xué)生板演。

教師：如果是這道題：4ab－a－4b怎么分解呢？（教師改變剛才題型）

提示：從項的特征進(jìn)行考慮，怎樣轉(zhuǎn)化比較合理？四人小組討論。

學(xué)生：同樣還是將負(fù)號提取改變成完全平方式的形式。

教師：從這里我們可以發(fā)現(xiàn)，只要三項式中能改寫成平方的兩項是同號