高中數(shù)學(xué)最全數(shù)列總結(jié)及題型

22高中數(shù)學(xué)：數(shù)列及最全總結(jié)和題型精選一、數(shù)列的概念數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列:數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項。記作a,在數(shù)列第一個位置的項叫第1項(或首項),在第二個位置n的叫第2項，……，序號為n的項叫第n項(也叫通項)記作a:數(shù)列的一般形式：a,a,a,,a,，簡記作｛a｝。123nn通項公式的定義：如果數(shù)列｛a｝的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫n這個數(shù)列的通項公式。例如：①：1,2,3,4,5,…1111②：1,—,—,—,—…2345說明：｛a｝表示數(shù)列，a表示數(shù)列中的第n項，a=f(n)表示數(shù)列的通項公式；nnn「—1n二2k—1同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。例如=(—1)=｛(keZ)；n[+l,n二2k不是每個數(shù)列都有通項公式。例如，1,,,,……數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：從函數(shù)觀點看，數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集N+(或它的有限子集)的函數(shù)f(n)當(dāng)自變量n從1開始依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值f(1),f(2),f(3),……,f(n),…….通常用a來代替f(n)，其圖象是一群孤n立點。數(shù)列分類：①按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；②按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列。例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列(1)1,2,3,4,5,6,…(2)10,9,&7,6,5,…S(n=S(n=1)1S—S(n22)nn—1數(shù)列｛a｝的前n項和S與通項a的關(guān)系:nnn二、等差數(shù)列(_)、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為a—a二d(n>2)nn—1或a—a=d(n>1)n+1n例：等差數(shù)列a=2n一1,a—a=TOC\o"1-5"\h\znnn—1、等差數(shù)列的通項公式：a二a+(n一1)d:n1說明：等差數(shù)列(通?？煞Q為AP數(shù)列)的單調(diào)性：d>0為遞增數(shù)列，d—0為常數(shù)列，d<0為遞減數(shù)列。例：1.已知等差數(shù)列｛｝中，a+a=16,a=1,則。等于()n79412A．15B．30C．31D．642.｛a｝是首項a二1，公差d=3的等差數(shù)列，如果a二2005，則序號n等于n1n(A)667(B)668(C)669(D)670填“遞增數(shù)列”或“遞3.等差數(shù)列a=2n—1,b=—2n+1，則a為b為填“遞增數(shù)列”或“遞nnnn減數(shù)列”)、等差中項的概念：定義：如果a,定義：如果a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項。其中A=a+ba+ba，A，b成等差數(shù)列nA—即：2a—a+aa+ba，A，b成等差數(shù)列nA—即：2a—a+a2n+1nn+2例：1.(06全國I)設(shè)｛a｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a+a+a—15，aaa—80，則a+a+an123123111213A.120B.105C.90D.75(四)、等差數(shù)列的性質(zhì)：(1)(2a=a+a)nn—mn+m—()2）在等差數(shù)列｛a”｝中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；在等差數(shù)列｛a｝中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列；n在等差數(shù)列｛a｝中，對任意m，ngN，a—a+（n—m）d，d—a_am（m豐n）-+nmn—m4）n在等差數(shù)列｛a｝中，若m，n，p,nqgN且m+n二p+q，貝ya+a=a+a；+mnpqn(a+a)n(n—1),1zd、=+n=na+d=n2+(a—一)n。2i2mnpn(n—1)—na+2i(A,B為常數(shù))nL｝是等差數(shù)列)n（五）、等差數(shù)列的前n和的求和公式：Sn(S=An2+Bnn遞推公式：S(a+a)n(a+a)n—1nm.n—(m.—1)例：1.如果等差數(shù)列中，，那么A)14B)21C)28D)352.（2009湖南卷文）設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，已知，，則等于（）TOC\o"1-5"\h\zA（13B（35C（49D（63（2009全國卷I理）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，貝4—若一個等差數(shù)列前3項的和為34,最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列有（項項項項已知等差數(shù)列匕｝的前n項和為S，若S—21,貝l」a+a+a+a—nn12258116.7.（2009全國卷II理）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若則.已知匕｝數(shù)列是等差數(shù)列，nA.—23a—10，101C.3其前10項的和%-70，則其公差d等于（）2D.3&（2009陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則B?一39.（00全國）設(shè)｛a｝為等差數(shù)列，S為數(shù)列｛a｝的前n項和，已知S=7,S=75,T為數(shù)列nnn715n前n項和，求Ton（六）.對于一個等差數(shù)列：—a中偶n+1S②S奇—（1）若項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有2n項，貝y—a中偶n+1S②S奇—（七）.對與一個等差數(shù)列，S,S-Sn2n例：1.等差數(shù)列（七）.對與一個等差數(shù)列，S,S-Sn2n例：1.等差數(shù)列｛a｝的前m項和為30,

n,S-S仍成等差數(shù)列。3n2n前2m項和為100,則它的前3m項和為（）前2n項的和為60，則前3n項的和為.一個等差數(shù)列前n項的和為48,已知等差數(shù)列｛｝的前10項和為100,前100項和為10,則前110項和為n4?設(shè)S為等差數(shù)列L｝的前n項和，S=14,S—S=30,則Snn4105.（06全國II）設(shè)$是等差數(shù)列｛a｝的前n項和,nn若S3=1，則631A.B.—103（八）.判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法①定義法：s—1219D．a(chǎn)—a=d（常數(shù)）（neN*）n｛a｝是等差數(shù)列n+1nn②中項法：2a=a+a(neN*)n{a}是等差數(shù)列n+1nn+2n③通項公式法：a=kn+b（k,b為常數(shù)）n（a｝是等差數(shù)列nn④前n項和公式法：S二An2+Bn（A,B為常數(shù)）n｛a｝是等差數(shù)列nn例：1.已知數(shù)列｛aA.等差數(shù)列已知數(shù)列｛aA.等差數(shù)列｝滿足a一a=2，則數(shù)列｛a｝為（）nn—1nB.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列｝的通項為a=2n+5，則數(shù)列｛a｝為（）

nnB.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列=2n2+4，則數(shù)列｛。｝為（）n已知一個數(shù)列｛a｝的前n項和snnA.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列=2n2，則數(shù)列｛a｝為（）nC.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列已知一個數(shù)列｛a｝的前n項和snnA.等差數(shù)列B.等比數(shù)列已知一個數(shù)列｛a｝滿足ann+2A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列—2a+a=0，則數(shù)列｛a｝為（

n+1nnC.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷D.無法判斷D.無法判斷D.無法判斷）D.無法判斷6?數(shù)列｛｝滿足a=8,a=2,

n14①求數(shù)列｛｝的通項公式；n

且a—2a+a=0(neN*)n+2n+1n7.（01天津理，2）設(shè)S是數(shù)列｛a｝的前n項和，且S=n2,則｛a｝是（）nnnnA.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列d>0d>0時，S有最小值;n⑴ai>0，d<0時，Sn有最大值；曾°，（2）S最值的求法：①若已知S，的最值可求二次函數(shù)的最值;nn

可用二次函數(shù)最值的求法(ngN)；②或者求出中的正、負(fù)分界項，即：+fa>0fa<0若已知a，則S最值時n的值(ngN)可如下確定｛"或｛nnn+Ia<0Ia>0n+1n+1例：1.等差數(shù)列匕｝中，a>0,S二S，則前項的和最大。n1912設(shè)等差數(shù)列匕｝的前n項和為S，已知nna二12,S>0,S<031213求出公差d的范圍，指出S,S,,S中哪一個值最大，并說明理由1212(02上海)設(shè)｛a｝(nWN*)是等差數(shù)列，S是其前n項的和，且S<S，S=S>S，貝V下列結(jié)論錯誤的是nn56678．．)<0=0>S與S均為S的最大值4.n—\：98n4.n—\：98n—、.；99(ngN*),則數(shù)列ta｝的前30項中最大項和最小項分別n5.已知｛a｝是等差數(shù)列，其中a=31，公差d=—8。n1數(shù)列｛a｝從哪一項開始小于0n求數(shù)列｛a｝前n項和的最大值，并求出對應(yīng)n的值.n(十).利用a=(十).利用a=nS1S—Snn—1(n=1)(n>2)求通項.1?數(shù)列｛a｝的前n項和S二n2+1.(1)試寫出數(shù)列的前5項；(2)數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列嗎(3)你能寫出數(shù)列｛a｝nnnn的通項公式嗎2?設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項和為S=2n2，求數(shù)列｛a｝的通項公式;nnn3.(2010安徽文)設(shè)數(shù)列的前n項和，則的值為()(A)15(B)16(C)49(D)6414、2005北京卷)數(shù)列｛a｝的前n項和為S,且a=1，a=三S，n=1，2，3，，求a,a，a的值及數(shù)列nn1n+13n234｛a｝的通項公式.n三、等比數(shù)列

等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列,??????這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q豐0），即：a:a=q（q豐0）n+1n（一）、遞推關(guān)系與通項公式遞推關(guān)系：a=aqn+1n通項公式：a=a-qn-1n1推廣：a=a?qn-mnm=4,q=2，則=4,q=2，則a=_n=12,q=32，貝Ua=19在等比數(shù)列｛a｝中，an73.（07重慶文）在等比數(shù)列3.（07重慶文）在等比數(shù)列｛a』中,（A）2（B）3a2=8，ai=64,，則公比口為（（C）4（D）84?在等比數(shù)列中，4?在等比數(shù)列中，a2=-2a=54，則a二582)3)4)例：1?在等比數(shù)列｛al2)3)4)例：1?在等比數(shù)列｛al中，a1和a10是方程2X2+*5X+1=0的兩個根，則Q?a7=（472.在等比數(shù)列匕｝，已知a=5,n1aa=100，910則a18=5.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列｛a｝中，首項a=3，前三項和為21，則a+a+a=（）n1345A33B72C84D189（二）、等比中項：若三個數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，則稱b為a與c的等比中項，且為b=±、?亦注：b2=ac是成等比數(shù)列的必要而不充分條件.例：1.2+朽和2-朽的等比中項為（）（A）1（B）-1（C）±1（D）2（2009重慶卷文）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前項和=（）A.B.C.D.（三）、等比數(shù)列的基本性質(zhì)，（1）若m+n=p+q,貝Ua?a=a?a（其中m,n,p,qgN*）mnpq(n(ngN*)qn-m=n-,a2=a?aann-mn+mm｛｝為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項成等比數(shù)列.n3?等比數(shù)列｛叮的各項為正數(shù)，且a5a6+吧=18,則l0g3耳+lOgA.12B.10C.8D.2+log35

（2009廣東卷理）已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時，A.B.C.D.、等比數(shù)列的前n項和，na(q二1)TOC\o"1-5"\h\zS二彳a(1-qn)a-aq(q豐1)n=n—1-q1-q例:1.已知等比數(shù)列｛a｝的首相a=5，公比q=2，則其前n項和S=n1n2.（2006年北京卷）設(shè)f（n）=2+24+方+210+???+23n+io（neN），則f（n）等于（A.2(8n-1)2B-7(8n+1-1)C-"八1)2D-7(8n+4-1)（1996全國文，21）設(shè)等比數(shù)列｛a｝的前n項和為S,若S+S=2S，求數(shù)列的公比q；nn369（五）?等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)若數(shù)列仿｝是等比數(shù)列，S是其前n項的和，keN*，那么S，S-S，S-S成等比數(shù)列.nnk2kk3k2k例:1.（2009遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列｛｝的前n項和為，若=3，則二TOC\o"1-5"\h\zA.2B.C.一個等比數(shù)列前n項的和為48，前2n項的和為60，則前3n項的和為（）A.83B.108C.75D.63已知數(shù)列匕｝是等比數(shù)列，且S=10,S=30,則S=nm2m3m（六）、等比數(shù)列的判定法1)a定義法：=anq（常數(shù)）1)a定義法：=anq（常數(shù)）nL｝為等比數(shù)列;2)中項法：a2=a-an+13)通項公式法：=k-qn（a主0）n匕｝為等比數(shù)列;nn（k,q為常數(shù)）n匕｝為等比數(shù)列；n4)前n項和法:=k（1-qn）（k,q為常數(shù)）n（a4)前n項和法:n=k-kqn（k,q為常數(shù)）n（a｝為等比數(shù)列。n例:1.已知數(shù)列｛a｝的通項為a=2n，則數(shù)列｛a｝為（）TOC\o"1-5"\h\znnnA.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷已知數(shù)列｛a｝滿足a2=a*a（a主0），則數(shù)列｛a｝為（）nn+1nn+2nnA.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷已知一個數(shù)列｛a｝的前n項和s=2一2n+i，則數(shù)列｛a｝為（）nnnA.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷四、求數(shù)列通項公式方法（1）.公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項例：1已知等差數(shù)列｛a｝滿足：a=7,a+a=26，求a；n357n

2.等比數(shù)列｛a｝的各項均為正數(shù)，且2a+3a=1,a2=9aa，求數(shù)列｛a｝的通項公式n12326n3?已知數(shù)列｛叮滿足a1=2,a2=4且°?3?已知數(shù)列｛叮滿足a1=2,a2=4且°n+2nn+1n4.已知數(shù)列｛a｝滿足a1=2,且a-5n+1=2(a-5n)(neN*)，求數(shù)列ta｝的通項公式;n1n+1nn5?數(shù)列已知數(shù)列印滿足a1a=4a+1(n>1).則數(shù)列｛5?數(shù)列已知數(shù)列印滿足a12nn-1n2)累加法1、累加法適用于：a1、累加法適用于：a=an+1n+f(n)若a一a=f(n)(n若a一a=f(n)(n>2),n+1na-a=f(n)n+1na=a+1，求數(shù)列｛a｝的通項公式。n+1n4n2-1n2.已知數(shù)列｛a｝滿足a=ann+1+2n+1,a=11，求數(shù)列｛a｝的通項公式。n3.已知數(shù)列｛a｝滿足a=ann+1+2X3n+1,ai=3，求數(shù)列⑴的通項公式。a-a=f(1)21TOC\o"1-5"\h\za-a=f(2)則'-兩邊分別相加得a-a=￡f(n)n+11k=1例：1.已知數(shù)列｛a｝滿足a=,n123)累乘法適用于：a=f(n)aTOC\o"1-5"\h\zn+1n若^+1=f(n)，則空=f(l)，3=f(2),aaan12an兩邊分別相乘得，f=a?口f(k)a1\o"CurrentDocument"1k=1例：1.已知數(shù)列｛a｝滿足a=2(n+1)5〃xa,a=3，求數(shù)列｛a｝的通項公式。nn+1n1n2.已知數(shù)列匕｝滿足a=￡n13na=a，求a。

n+ln+1nn3.已知ai二3,3n-1a=an+13n+2n(n>1)，求a。n(4)待定系數(shù)法適用于a=qa+f(n)TOC\o"1-5"\h\zn+1n例：1.已知數(shù)列｛a｝中，a=1,a=2a+1(n>2)，求數(shù)列｛a｝的通項公式。n1nn-1n(2006,重慶，文,14)在數(shù)列｛a｝中，若a=1,a=2a+3(n>1)，則該數(shù)列的通項a=n1n+1nn已知數(shù)列｛a｝滿足a=1,a=2a+1(neN*).求數(shù)列｛a｝的通項公式;n1n+1nn(5)遞推公式中既有Sn分析：把已知關(guān)系通過a=]]'n=1轉(zhuǎn)化為數(shù)列｛a｝或S的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。nIS—S,n>2nnTOC\o"1-5"\h\znn-111.(2005北京卷)數(shù)列｛a｝的前n項和為S,且a=1，a=三S，n=1，2，3，，求a,a，a的值及數(shù)nn1n+13n234