新教材高中數(shù)學(xué)立體幾何初步.3.2刻畫空間點(diǎn)線面位置關(guān)系的公理基本事實(shí)4定理作業(yè)含解析北師大版必修

08/909/9/3.2刻畫空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的公理(基本事實(shí)4、定理)(15分鐘30分)1.如圖所示,在三棱錐S-MNP中,E,F,G,H分別是棱SN,SP,MN,MP的中點(diǎn),則EF與HG的位置關(guān)系是()A.平行B.相交C.異面 D.平行或異面【解析】選A.因?yàn)镋,F分別是SN和SP的中點(diǎn),所以EF∥PN.同理可證HG∥PN,所以EF∥HG.2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=QUOTEBB1,則AB1與BC1所成的角的大小是()A.60° B.75° C.90° D.105°【解析】選C.設(shè)BB1=1,如圖,延長CC1至C2,使C1C2=CC1=1,連接B1C2,則B1C2∥BC1,所以∠AB1C2為AB1與BC1所成的角(或其補(bǔ)角),連接AC2,因?yàn)锳B1=QUOTE,B1C2=QUOTE,AC2=QUOTE,所以AQUOTE=AQUOTE+B1QUOTE,則∠AB1C2=90°.3.已知直線a,b,c,下列三個(gè)命題:①若a與b異面,b與c異面,則a與c異面;②若a∥b,a和c相交,則b和c也相交;③若a⊥b,a⊥c,則b∥c.其中,正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選A.①不正確如圖;②不正確,有可能相交也有可能異面;③不正確,可能平行,可能相交也可能異面.4.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分別是AB,AC上的點(diǎn),且AE∶EB=AF∶FC,則EF與B1C1的位置關(guān)系是________.?【解析】在△ABC中,因?yàn)锳E∶EB=AF∶FC,所以EF∥BC.又在三棱柱ABC-A1B1C1中BC∥B1C1,所以EF∥B1C1.答案:平行5.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,H分別為棱C1D1,C1C,DD1的中點(diǎn),有以下四個(gè)結(jié)論:①直線AM與CC1是相交直線;②直線AM與BN是平行直線;③直線BN與MB1是異面直線;④∠DAH=∠CBN.其中正確的結(jié)論為________(注:把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上).?【解析】因?yàn)锳,M,C,C1四點(diǎn)不共面,所以直線AM與CC1是異面直線,故①錯(cuò)誤;同理,直線AM與BN也是異面直線,故②錯(cuò)誤;同理,直線BN與MB1是異面直線,故③正確;易得∠DAH=∠CBN,故④正確.答案:③④6.如圖所示,在正方體ABCD-EFGH中,O為側(cè)面ADHE的中心,求:(1)BE與CG所成的角;(2)FO與BD所成的角.【解析】(1)因?yàn)镃G∥BF,所以∠EBF(或其補(bǔ)角)為異面直線BE與CG所成的角,又在△BEF中,∠EBF=45°,所以BE與CG所成的角為45°.(2)如圖,連接FH,因?yàn)镠D∥EA,EA∥FB,所以HD∥FB,又HD=FB,所以四邊形HFBD為平行四邊形.所以HF∥BD,所以∠HFO(或其補(bǔ)角)為異面直線FO與BD所成的角.連接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以△AFH為等邊三角形,又知O為AH的中點(diǎn),所以∠HFO=30°,即FO與BD所成的角為30°.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是側(cè)面AA1D1D,側(cè)面CC1D1D的中心,G,H分別是線段AB,BC的中點(diǎn),則直線EF與直線GH的位置關(guān)系是()A.相交 B.異面 C.平行 D.垂直【解析】選C.如圖,連接AD1,CD1,AC,則E,F分別為AD1,CD1的中點(diǎn).由三角形的中位線定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH.2.已知在空間四邊形ABCD中M,N分別是AB,CD的中點(diǎn),且AC=4,BD=6,則()A.1<MN<5B.2<MN<10C.1≤MN≤5 D.2<MN<5【解析】選A.取AD的中點(diǎn)H,連接MH,NH,則MH∥BD,且MH=QUOTEBD,NH∥AC,且NH=QUOTEAC,且M,N,H三點(diǎn)構(gòu)成三角形,由三角形中三邊關(guān)系,可得MH-NH<MN<MH+NH,即1<MN<5.3.已知直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面α,β內(nèi),則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【解析】選B.直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面α,β內(nèi),則由“直線a和直線b相交”可得“平面α和平面β相交”,反之不成立.所以“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a,b,c是三條直線,則()A.若a∥b,b∥c,則a∥cB.若a與b相交,b與c相交,則a與c相交C.若a與b異面,b與c異面,則a與c異面D.若a⊥b,b⊥c,則a⊥c【解析】選A.由基本事實(shí)4可知選項(xiàng)A正確.4.空間四邊形ABCD中,AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),EF=QUOTE,則異面直線AD,BC所成的角為()A.45° B.120°C.60° D.60°或120°【解析】選C.如圖取AC的中點(diǎn)H,連接EH,HF,則易得EH∥BC,FH∥AD,所以∠EHF就是異面直線AD,BC所成的角(或所成角的補(bǔ)角),因?yàn)锳D=BC=2,所以EH=HF=1,則△EHF是等腰三角形,又EF=QUOTE,所以∠EHF=120°,則異面直線AD,BC所成的角為60°.【誤區(qū)警示】做此題容易忽略異面直線所成角的范圍致錯(cuò).二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.在空間四面體ABCD中,如圖,E,F,G,H分別是AB,BC,AD,DC的中點(diǎn),則下列結(jié)論一定正確的為()A.EG=FH B.EF=GHC.EH與FG相交 D.EG=HG【解析】選ABC.由題意知,EGQUOTEBD,FHQUOTEBD,所以EGFH,所以四邊形EGHF為平行四邊形.所以EG=FH,EF=GH.所以EH與FG共面且相交,故A,B,C正確,但EG不一定與HG相等.6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AD,C1D1的中點(diǎn),O為正方形ABCD的中心,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.直線EF,OD1是異面直線且EF=OD1B.直線OD1,B1B是異面直線且OD1≠B1BC.直線EF,OD1是相交直線且EF=OD1D.直線OD1,B1B是相交直線且OD1=B1B【解析】選ABD.因?yàn)樵谡襟wABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別是AD,C1D1的中點(diǎn),O為正方形ABCD的中心,如圖:四邊形D1EOF是矩形,直線EF,OD1是相交直線,A錯(cuò)誤,直線OD1,B1B是相交直線,B錯(cuò)誤;EF=OD1,OD1≠B1B,D錯(cuò)誤.【光速解題】利用已知條件,畫出圖形,判斷直線EF,OD1是異面直線還是相交直線,判斷EF=OD1,OD1=B1B是否成立.三、填空題(每小題5分,共10分)7.在四棱錐P-ABCD中E,F,G,H分別是PA,PC,AB,BC的中點(diǎn),若EF=2,則GH=________.?【解題指南】找GH與已知長度的線段之間的關(guān)系.【解析】由題意知EFQUOTEAC,GHQUOTEAC,故EFGH,故GH=2.答案:2【補(bǔ)償訓(xùn)練】在空間四邊形ABCD中,QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,則EH與FG的位置關(guān)系是________.?【解析】如圖,連接BD,在△ABD中QUOTE=QUOTE,則EH∥BD,同理可得FG∥BD.所以EH∥FG.答案:平行8.如圖,若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為2,高為4,則異面直線BD1與AA1所成角的正弦值為________,異面直線BD1與AD所成角的正弦值是________.?【解析】因?yàn)锳A1∥DD1,所以∠DD1B即為異面直線BD1與AA1所成的角,連接BD,在Rt△D1DB中,sin∠DD1B=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因?yàn)锳D∥BC,所以∠D1BC即為異面直線BD1與AD所成的角(或其補(bǔ)角),連接D1C,在△D1BC中,因?yàn)檎睦庵鵄BCD-A1B1C1D1的底面邊長為2,高為4,所以D1B=2QUOTE,BC=2,D1C=2QUOTE,D1B2=BC2+D1C2,所以∠D1CB=90°,所以sin∠D1BC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故異面直線BD1與AD所成角的正弦值是QUOTE.答案:QUOTEQUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).(1)求證:E,F,G,H四點(diǎn)共面;(2)若四邊形EFGH是矩形,求證:AC⊥BD.【證明】(1)如題圖,在△ABD中因?yàn)镋,H分別是AB,AD的中點(diǎn),所以EH∥BD.同理FG∥BD,則EH∥FG.故E,F,G,H四點(diǎn)共面.(2)由(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.又因?yàn)樗倪呅蜤FGH是矩形,所以EH⊥GH.故AC⊥BD.10.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,CC1的中點(diǎn).求異面直線A1M與DN所成的角的大小.【解析】如圖,過點(diǎn)M作ME∥DN交CC1于點(diǎn)E,連接A1E,則∠A1ME為異面直線A1M與DN所成的角(或其補(bǔ)角).設(shè)正方體的棱長為a,則A1M=QUOTEa,ME=QUOTEa,A1E=QUOTEa,所以A1M2+ME2=A1E2,所以∠A1ME=90°,即異面直線A1M與DN所成的角為90°.1.如圖,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中A1E=2EA,設(shè)過點(diǎn)D1,C,E的平面與平面ABB1A1的交線為EF,則EF=________.?【解析】如圖,設(shè)BF=2FA,連接EF,CF,因?yàn)锳1E=2EA,所以EF∥A1B,又易知A1B∥D1C,所以EF∥D1C,故EF=QUOTEA1B=QUOTEa.答案:QUOTEa2.已知E,F,G,H為空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,