2022北京房山高三一模數(shù)學(xué)（教師版）

22/222022北京房山高三一模數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在等題卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將答屋卡交回，試卷自行保存.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出題目要求的一項(xiàng).1.已知集合A={－2，－1，0，1，2}，，則（）A.{－2，－1，0，1，2} B.{－1，0，1}C.{－2，2} D.{0，1}2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，－1），則（）A5 B.3 C.5－4i D.3－4i3.若，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.4.若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為－20，則a=（）A.2 B.－2 C.1 D.－15.已知為拋物線上一點(diǎn)，到拋物線焦點(diǎn)的距離為，到軸的距離為，則（）A. B. C. D.6.數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則（）A. B.9 C.10 D.207.大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位：m/s）可以表示為，其中Q表示鮭魚的耗氧量，則鮭魚以1.5m/s的速度游動(dòng)時(shí)的耗氧量與靜止時(shí)的耗氧量的比值為（）A.2600 B.2700 C.2 D.278.已知函數(shù)，則“”是“為奇函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知直線l被圓C：所截的弦長(zhǎng)不小于2，則下列曲線中與直線l一定有公共點(diǎn)的是（）A. B.C. D.10.已知U是非實(shí)數(shù)集，若非空集合A1，A2滿足以下三個(gè)條件，則稱（A1，A2）為集合U的一種真分拆，并規(guī)定（A1，A2）與（A2，A1）為集合U的同一種真分拆①A1∩A2=0②A1A2=U③的元素個(gè)數(shù)不是中的元素.則集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的種數(shù)是（）A.5 B.6 C.10 D.15第二部分（來(lái)選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.若雙曲線的一條漸近線方程為，則_________.12.已知、是單位向量，且，則·=___________，____________.13.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）的圖象，g（x）=_______；若g（x）在區(qū)間[0，m]上的最小值為g（0），m的最大值為______________.14.函數(shù)的圖象在區(qū)間（0,2）上連續(xù)不斷，能說(shuō)明“若在區(qū)間（0,2）上存在零點(diǎn)，則”為假命題的一個(gè)函數(shù)的解析式可以為=___________.15.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，點(diǎn)P在側(cè)面BB1C1C的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).給出下列四個(gè)結(jié)論：①D1O⊥AC；②存在一點(diǎn)P，D1O∥B1P；③若D1O⊥OP，則△D1C1P面積的最大值為；④若P到直線D1C1距離與到點(diǎn)B的距離相等，則P的軌跡為拋物線的一部分.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________________.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在三棱柱中，平面，（1）求證：平面；（2）若，求①與平面所成角的正弦值；②直線與平面的距離.17.在△ABC中，.（1）求∠B的大小；（2）再?gòu)南铝腥齻€(gè)條件中，選擇兩個(gè)作為已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面積條作①；條件②；條件③：AB邊上的高為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，接第一個(gè)解答計(jì)分.18.良好的生態(tài)環(huán)境是最普惠的民生福祉.北京市集中開展大氣污染防止以來(lái)，在經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了大氣主要污染物濃度持續(xù)下降.2021年經(jīng)過全市共同努力，空氣質(zhì)量首次全面達(dá)標(biāo)，大氣污染治理取得里程碎式突破.下表是2021年每個(gè)月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良和污染的天數(shù)統(tǒng)計(jì).月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月合計(jì)空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)241811272321262927292330288空氣質(zhì)量污染天數(shù)7102038952327177（1）從2021年中任選1天，求這一天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良概率；（2）從2021年的4月、6月和9月中各任選一天，設(shè)隨機(jī)變量X表示選出的3天中質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求X的分布列；（3）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，設(shè)空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的方差為，空氣質(zhì)量污染天數(shù)的方差為，試判斷，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若在區(qū)間（0，e]存在極小值，求a的取值范圍.20.已知橢圓C的離心率為，長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，.（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓C交于M，N（不與A，B重合）兩點(diǎn)，直線AM與直線交于點(diǎn)Q，求證：.21.若無(wú)窮數(shù)列{}滿足如下兩個(gè)條件，則稱{}無(wú)界數(shù)列：①（n=1，2，3）②對(duì)任意的正數(shù)，都存在正整數(shù)N，使得.（1）若，（n=1，2，3），判斷數(shù)列{}，{}是否是無(wú)界數(shù)列；（2）若，是否存在正整數(shù)k，使得對(duì)于一切，都有成立？若存在，求出k的范圍；若不存在說(shuō)明理由；（3）若數(shù)列{}是單調(diào)遞增的無(wú)界數(shù)列，求證：存在正整數(shù)m，使得.

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出題目要求的一項(xiàng).1.已知集合A={－2，－1，0，1，2}，，則（）A.{－2，－1，0，1，2} B.{－1，0，1}C.{－2，2} D.{0，1}【答案】B【解析】【分析】求出集合A，B，由此能求出.【詳解】因?yàn)榧螦={－2，－1，0，1，2}，，所以{－1，0，1}.故選：B.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，－1），則（）A.5 B.3 C.5－4i D.3－4i【答案】A【解析】【分析】直接寫出復(fù)數(shù)，再按照復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，，.故選：A.3.若，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】取即可判斷A、B、D選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，由基本不等式即可判斷C選項(xiàng)是正確的.【詳解】取滿足，且，此時(shí)，A錯(cuò)誤；取滿足，且，此時(shí)，B錯(cuò)誤；可得，C正確；取滿足，且，此時(shí)，D錯(cuò)誤.故選：C.4.若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為－20，則a=（）A.2 B.－2 C.1 D.－1【答案】D【解析】【分析】由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求的展開式的常數(shù)項(xiàng).【詳解】已知的展開式中的通項(xiàng)公式為：，令，求得：，可得展開式的常數(shù)項(xiàng)為：，解得：.故選：D.5.已知為拋物線上一點(diǎn)，到拋物線的焦點(diǎn)的距離為，到軸的距離為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由拋物線的定義可求得的值.【詳解】由題意可知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可得，解得.故選：C.6.數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則（）A. B.9 C.10 D.20【答案】B【解析】【分析】由條件可得，然后可得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，，所以，因?yàn)?，所以，故選：B7.大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位：m/s）可以表示為，其中Q表示鮭魚的耗氧量，則鮭魚以1.5m/s的速度游動(dòng)時(shí)的耗氧量與靜止時(shí)的耗氧量的比值為（）A.2600 B.2700 C.2 D.27【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題中函數(shù)關(guān)系式，令和，分別求出對(duì)應(yīng)的，即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)轷q魚的游速(單位：)可以表示為，其中Q表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù)，當(dāng)一條鮭魚靜止時(shí)，，此時(shí)，則，耗氧量為；當(dāng)一條鮭魚以的速度游動(dòng)時(shí)，，此時(shí)，所以，則，即耗氧量為，因此鮭魚以1.5m/s的速度游動(dòng)時(shí)的耗氧量與靜止時(shí)的耗氧量的比值為.故選：D.8.已知函數(shù)，則“”是“為奇函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式以及已知條件求出，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，若函?shù)為奇函數(shù)，則，解得，因?yàn)椋虼?，“”是“為奇函?shù)”的充分而不必要條件.故選：A.9.已知直線l被圓C：所截的弦長(zhǎng)不小于2，則下列曲線中與直線l一定有公共點(diǎn)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意知可以得到原點(diǎn)到直線的距離小于等于1，即直線上有一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于等于1，故直線一定經(jīng)過圓面內(nèi)的點(diǎn)，再畫出圖象，結(jié)合圖象分析即可．【詳解】解：直線被圓所截的弦長(zhǎng)不小于2，圓心到直線的距離小于或等于1，故直線一定經(jīng)過圓面內(nèi)的點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中分別畫出，、、的圖象如下所示：對(duì)于A：對(duì)于B：對(duì)于C對(duì)于D：結(jié)合圖象可知，在四個(gè)選項(xiàng)中只有這個(gè)點(diǎn)一定在橢圓內(nèi)或橢圓上，與橢圓一定有公共點(diǎn)故選：C．10.已知U是非實(shí)數(shù)集，若非空集合A1，A2滿足以下三個(gè)條件，則稱（A1，A2）為集合U的一種真分拆，并規(guī)定（A1，A2）與（A2，A1）為集合U的同一種真分拆①A1∩A2=0②A1A2=U③的元素個(gè)數(shù)不是中的元素.則集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的種數(shù)是（）A.5 B.6 C.10 D.15【答案】A【解析】【分析】由真分拆的定義及規(guī)定即可求解.【詳解】解：由題意，集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆有；；；；，共5種，故選：A.第二部分（來(lái)選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.若雙曲線的一條漸近線方程為，則_________.【答案】【解析】【分析】寫出雙曲線的漸近線方程，可求得的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，所以，，解得.故答案為：.12.已知、是單位向量，且，則·=___________，____________.【答案】①.##②.【解析】【分析】由已知可得出，可求得的值，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)榍?，則，可得，，故.故答案為：；.13.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）的圖象，g（x）=_______；若g（x）在區(qū)間[0，m]上的最小值為g（0），m的最大值為______________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式；再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，得出結(jié)論.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）的圖象，則.則在區(qū)間[0，m]上，，要使g（x）在區(qū)間[0，m]上的最小值為g（0），則，解出.則m的最大值為.故答案為：；.14.函數(shù)圖象在區(qū)間（0,2）上連續(xù)不斷，能說(shuō)明“若在區(qū)間（0,2）上存在零點(diǎn)，則”為假命題的一個(gè)函數(shù)的解析式可以為=___________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由題中命題為假命題，可知函數(shù)滿足在（0,2）上存在零點(diǎn)，且，進(jìn)而舉例即可.【詳解】函數(shù)的圖象在區(qū)間（0，2）上連續(xù)不斷，且“若在區(qū)間（0,2）上存在零點(diǎn)，則”為假命題，可知函數(shù)滿足在（0,2）上存在零點(diǎn)，且，所以滿足題意的函數(shù)解析式可以為.故答案為：（答案不唯一）.15.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，點(diǎn)P在側(cè)面BB1C1C的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).給出下列四個(gè)結(jié)論：①D1O⊥AC；②存在一點(diǎn)P，D1O∥B1P；③若D1O⊥OP，則△D1C1P面積的最大值為；④若P到直線D1C1的距離與到點(diǎn)B的距離相等，則P的軌跡為拋物線的一部分.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________________.【答案】①③【解析】【分析】對(duì)于①，連接，由三角形為等邊三角形判讀；對(duì)于②，將D1O進(jìn)行平移到過點(diǎn)，使之具有公共頂點(diǎn)，根據(jù)立體圖像判斷，無(wú)論如何也不可能滿足D1O∥B1P；對(duì)于③，連接，證明平面，所以在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)位置時(shí)，最大，此時(shí)面積最大為：.對(duì)于④，P到直線D1C1的距離為線段的長(zhǎng)度，所以，判定出P點(diǎn)位置即可.【詳解】對(duì)于①，連接，由正方體的性質(zhì)知三角形為等邊三角形，由于為底面的中心，故為中點(diǎn)，故，①正確；對(duì)于②，將D1O進(jìn)行平移到過B1點(diǎn)，使之與B1P具有公共頂點(diǎn)，根據(jù)立體圖像判斷，無(wú)論如何也不可能滿足平行或重合于B1P，所以D1O不可能平行于，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，取B1B的中點(diǎn)E，連接，證明平面，所以在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)位置時(shí)，最大，此時(shí)面積最大為：.所以③正確.對(duì)于④，P到直線D1C1距離為線段的長(zhǎng)度，所以，判定出P點(diǎn)位置為直線的垂直平分線，故④錯(cuò)誤.故正確的序號(hào)是:①③.故答案為:①③.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在三棱柱中，平面，（1）求證：平面；（2）若，求①與平面所成角的正弦值；②直線與平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）①；②.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，主要證明即可；（2）建立坐標(biāo)系，先求出平面的法向量，利用空間向量解決.【小問1詳解】在三棱柱中，四邊形為平行四邊形.所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又，所以兩兩互相垂?如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，，于是.①設(shè)直線與平面所成的角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.②因?yàn)槊?，所以直線與平面的距離就是點(diǎn)到平面的距離設(shè)A到面的距離為，則17.在△ABC中，.（1）求∠B的大小；（2）再?gòu)南铝腥齻€(gè)條件中，選擇兩個(gè)作為已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面積條作①；條件②；條件③：AB邊上的高為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，接第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得：，從而得到，得出答案.（2）選擇條件①②，△ABC存在且唯一.由得出，由正弦定理及解出.方法1：由兩角差的余弦公式求出，最后由面積公式計(jì)算即可.方法2：由余弦定理求出，最后由面積公式計(jì)算即可.選擇①③，△ABC存在且唯一.由得出，因?yàn)锳B邊上的高為，所以得出，再由正弦定理求出解出，以下與選擇條件①②相同.【小問1詳解】由正弦定理及.得，因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所?【小問2詳解】選擇條件①②，△ABC存在且唯一，解答如下：由，及，得.由正弦定理及得，解得.方法1：由，得.所以.方法2：由余弦定理，得即，解得所以選擇①③，△ABC存在且唯一，解答如下：由，及，得.因?yàn)锳B邊上的高為，所以.由正弦定理及，得，解得：.（以下與選擇條件①②相同）18.良好的生態(tài)環(huán)境是最普惠的民生福祉.北京市集中開展大氣污染防止以來(lái)，在經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了大氣主要污染物濃度持續(xù)下降.2021年經(jīng)過全市共同努力，空氣質(zhì)量首次全面達(dá)標(biāo)，大氣污染治理取得里程碎式突破.下表是2021年每個(gè)月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良和污染的天數(shù)統(tǒng)計(jì).月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月合計(jì)空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)241811272321262927292330288空氣質(zhì)量污染天數(shù)7102038952327177（1）從2021年中任選1天，求這一天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率；（2）從2021年的4月、6月和9月中各任選一天，設(shè)隨機(jī)變量X表示選出的3天中質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求X的分布列；（3）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，設(shè)空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的方差為，空氣質(zhì)量污染天數(shù)的方差為，試判斷，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）分布列見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可直接求解；（2）X的所有可能取值為0，1，2，3.再根據(jù)相互獨(dú)立求出每一種情況下的概率，從而可得分布列；（3）這些月份的和為定值31，這兩個(gè)量的方差相等.【小問1詳解】記事件A為“從2021年中任選1天，這一天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良”，由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知；【小問2詳解】X的所有可能取值為0，1，2，3.方法1：記事件B為“從4月任選1天，這一天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良”，事件C為“從6月任選1天，這一天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良”，事件D為“從9月任選1天，這一天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良”.由題意知，事件B，C，D相互獨(dú)立，且，，所以，，，.所以X分布列為：X0123P方法2：所以X的分布列為：X0123P【小問3詳解】..19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若在區(qū)間（0，e]存在極小值，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，得到，求導(dǎo)，從而得到，，寫出切線方程；（2）求導(dǎo)，令，，易得函數(shù)在區(qū)間（0，e]上的最小值為，方法1：分，，討論求解；方法2：根據(jù)在區(qū)間（0，e]上存在極小值，由求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以，，所以曲線在處的切線方程為；【小問2詳解】，令，，則，解，得，與的變化情況如下：x（0，1）1（1，e）－0+↘極小值↗所以函數(shù)在區(qū)間（0，e]上的最小值為，方法1：①當(dāng)時(shí)，.所以恒成立，即恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間（0，e]上是增函數(shù)，無(wú)極值，不符合要求，②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以存在，使得x（1，）（，e）－0+↘極小值↗所以函數(shù)在區(qū)間（1，e）上存在極小值，符合要求，③當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗院瘮?shù)在區(qū)間（1，e）上無(wú)極值.取，則所以存在，使得易知，為函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的極大值點(diǎn).所以函數(shù)在區(qū)間（0，e）上有極大值，無(wú)極小值，不符合要求綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.方法2：“在區(qū)間（0，e]上存在極小值”，當(dāng)且僅當(dāng)，解得.證明如下：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以存在，使得x（1，）（，e）－0+↘極小值↗所以函數(shù)在區(qū)間（1，e）上存在極小值.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題第二問在區(qū)間（0，e]是否存在極小值，轉(zhuǎn)化為有不等零點(diǎn)且左負(fù)右正求解.20.已知橢圓C的離心率為，長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，.（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓C交于M，N（不與A，B重合）兩點(diǎn)，直線AM與直線交于點(diǎn)Q，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依題意可得，再根