湘教版九年級數(shù)學(xué)下冊練習(xí)：2.2　圓心角

第11頁2.2圓心角、圓周角2．2.1圓心角根底題知識點1認識圓心角1．下面四個圖中的角，是圓心角的是(D)ABCD2．將一個圓分成四個扇形，它們的圓心角的度數(shù)比為4∶4∶5∶7，那么這四個扇形中，圓心角最大的是(D)A．54° B．72° C．90° D．126°知識點2圓心角、弧、弦之間的關(guān)系3．以下說法中，正確的選項是(B)A．等弦所對的弧相等B．等弧所對的弦相等C．圓心角相等，所對的弦相等D．弦相等所對的圓心角相等4．如圖，在⊙O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∠AOB＝122°，那么∠AOC的度數(shù)為(A)A．122° B．120° C．61° D．58°5．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點，且AD＝BC，那么AB與CD的大小關(guān)系為(B)A．AB>CD B．AB＝CDC．AB<CD D．不能確定6．如圖，在⊙O中，BC是直徑，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(DC,\s\up8(︵))，∠AOD＝80°，那么∠ABC等于(B)A．40° B．65° C．100° D．105°7．如下圖，在⊙O中，AC，BC是弦，根據(jù)條件填空：(1)假設(shè)AC＝BC，那么eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∠AOC＝∠BOC；(2)假設(shè)eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，那么AC＝BC，∠AOC＝∠BOC；(3)假設(shè)∠AOC＝∠BOC，那么eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，AC＝BC．8．如圖，在⊙O中，點C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點，∠OAB＝50°，那么∠BOC等于40°．9．如下圖，在⊙O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∠B＝70°，那么∠A＝40°．10．(教材P49練習(xí)T2變式)如下圖，AB是⊙O的直徑，eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))，∠COD＝34°，求∠AEO的度數(shù)．解：∵eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))，∠COD＝34°，∴∠BOE＝102°.∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAO＝eq\f(1,2)∠BOE＝51°.中檔題11．如圖，AB是⊙O的直徑，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA.那么∠BCD等于(C)A．100° B．110° C．120° D．135°12．如圖，在⊙O中，弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分別為C，F(xiàn)，那么以下說法中，正確的個數(shù)為(D)①∠DOE＝∠AOB；②eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))；③OF＝OC；④AC＝EF.A．1 B．2 C．3 D．413．eq\o(AB,\s\up8(︵))，eq\o(CD,\s\up8(︵))是同圓的兩段弧，且eq\o(AB,\s\up8(︵))＝2eq\o(CD,\s\up8(︵))，那么弦AB與2CD之間的關(guān)系為(B)A．AB＝2CDB．AB＜2CDC．AB＞2CDD．不能確定提示：如圖，在圓上截取eq\o(DE,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，連接DE，CE，那么有eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CE,\s\up8(︵)).∴AB＝CE.又CD＋DE＝2CD>CE＝AB，∴AB＜2CD，應(yīng)選B.14．如圖，A，B，C是⊙O上的三點，且有eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CA,\s\up8(︵)).(1)求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度數(shù)；(2)連接AB，BC，CA，試確定△ABC的形狀．解：(1)∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CA,\s\up8(︵))，∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360°，∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°.(2)∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CA,\s\up8(︵))，∴AB＝BC＝CA.∴△ABC是等邊三角形．15．如圖，AB，CD是⊙O的兩條直徑，過點A作AE∥CD交⊙O于點E，連接BD，DE，求證：BD＝DE.證明：連接OE，∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA.∵AE∥CD，∴∠BOD＝∠A，∠DOE＝∠OEA.∴∠BOD＝∠DOE.∴BD＝DE.16．如圖，AB是⊙O的直徑，M，N分別是AO，BO的中點，CM⊥AB，DN⊥AB.求證：eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).證明：連接OC，OD，∵AB是⊙O的直徑，M，N分別是AO，BO的中點，∴OM＝ON.∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠OMC＝∠OND＝90°.在Rt△OMC和Rt△OND中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OM＝ON，,OC＝OD，))∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)．∴∠COM＝∠DON.∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).綜合題17．如圖，在⊙O中，AB，CD是兩條弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn).(1)如果∠AOB＝∠COD，那么OE與OF的大小有什么關(guān)系？為什么？(2)如果OE＝OF，那么eq\o(AB,\s\up8(︵))與eq\o(CD,\s\up8(︵))的大小有什么關(guān)系？為什么？解：(1)OE＝OF.理由：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB，OC＝OD，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝eq\f(1,2)∠AOB，∠FOD＝eq\f(1,2)∠COD.∵∠AOB＝∠COD，∴∠EOB＝∠FOD.在△EOB和△FOD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OEB＝∠OFD，,∠EOB＝∠FOD，,OB＝OD，))∴△EOB≌△FOD(AAS)．∴OE＝OF.(2)eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵)).理由：∵OE⊥AB，OF⊥CD，AO＝BO，CO＝DO，∴∠OEB＝∠OFD＝90°.∴點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點．在Rt△BEO和Rt△DFO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OB＝OD，,OE＝OF，))∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL)．∴BE＝DF.∵AB＝2BE，CD＝2DF，∴AB＝CD.∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵)).2.2.2圓周角第1課時圓周角定理及其推論1根底題知識點1認識圓周角1．以下四個圖中，∠x是圓周角的是(C)知識點2圓周角定理2．(2023·衢州)如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，那么∠AOB的度數(shù)是(B)A．75° B．70° C．65° D．35°3．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O.假設(shè)∠A＝α，那么∠OBC等于(D)A．180°－2α B．2αC．90°＋α D．90°－α4．如圖，將直角三角板60°角的頂點放在圓心O上，斜邊和一直角邊分別與⊙O相交于A，B兩點，P是優(yōu)弧AB上任意一點(與A，B不重合)，那么∠APB＝30°．5．(2023·廣東)在同圓中，弧AB所對的圓心角是100°，那么弧AB所對的圓周角是50°．知識點3圓周角定理推論16．如圖，點A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于點E，那么∠ABD＝(A)A．∠ACD B．∠ADBC．∠AED D．∠ACB7．如圖，AB，CD是⊙O的兩條直徑，∠ABC＝28°，那么∠BAD＝(A)A．28° B．42° C．56° D．84°8．(教材P52練習(xí)T3變式)如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P.假設(shè)∠A＝30°，∠APD＝70°，那么∠B等于(C)A．30° B．35° C．40° D．50°9．如圖，BD是⊙O的直徑，點A，C在⊙O上，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∠AOB＝60°，那么∠BDC的度數(shù)是(D)A．60° B．45° C．35° D．30°10．如下圖，弦AB，CD相交于點O，連接AD，BC，在不添加輔助線的情況下，請在圖中找出一對相等的角，它們是答案不唯一，如：∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠AOD＝∠BOC，∠AOC＝∠BOD．11．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，AB＝BC，BD交AC于點E，連接CD，AD.求證：DB平分∠ADC.證明：∵AB＝BC，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵)).∴∠BDC＝∠ADB.∴DB平分∠ADC.易錯點忽略弦所對的圓周角不唯一而致錯12．某個圓的弦長等于它的半徑，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)為30°或150°．中檔題13．如圖，P是⊙O外一點，PA，PB分別交⊙O于C，D兩點，eq\o(AB,\s\up8(︵))和eq\o(CD,\s\up8(︵))所對的圓心角分別為90°和50°，那么∠P＝(D)A．45° B．40° C．25° D．20°14．(2023·菏澤)如圖，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，那么∠OBA等于(D)A．64° B．58° C．32° D．26°15．如圖，邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點上，那么∠AED的正弦值等于eq\f(\r(5),5)．16．如下圖，在⊙O中，∠BAC＝∠CDA＝20°，那么∠ABO的度數(shù)為50°．17．(教材P52練習(xí)T3變式)如圖，在⊙O中，A，B是圓上的兩點，∠AOB＝40°，直徑CD∥AB，連接AC，那么∠BAC＝35°．18．如圖，點A，B，C三點在⊙O上，過C作CD∥AB與⊙O相交于D點，E是eq\o(CD,\s\up8(︵))上一點，且滿足AD＝DE，連接BD與AE相交于點F.求證：△AFD∽△ABC.證明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.∵AD＝DE，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵)).∴∠DAE＝∠AED.∴∠DAE＝∠AED＝∠ACD＝∠BAC.∵∠ADF＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，∴△AFD∽△ABC.綜合題19．如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC＝∠CPB＝60°.(1)判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．證明：(1)△ABC是等邊三角形．在⊙O中，∵∠BAC與∠CPB是eq\o(BC,\s\up8(︵))所對的圓周角，∠ABC與∠APC是eq\o(AC,\s\up8(︵))所對的圓周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°.∴△ABC為等邊三角形．(2)在PC上截取PD＝AP，連接AD，∵∠APC＝60°，∴△APD是等邊三角形．∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠APB＝∠ADC，,∠ABP＝∠ACD，,AP＝AD，))∴△APB≌△ADC(AAS)．∴BP＝CD.又∵PD＝AP.∴CP＝CD＋PD＝BP＋AP.

第2課時圓周角定理推論2及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)根底題知識點1圓周角定理推論21．(2023·福建)如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上位于AB異側(cè)的兩點．那么以下四個角中，一定與∠ACD互余的角是(D)A．∠ADC B．∠ABDC．∠BAC D．∠BAD2．如圖，小華同學(xué)設(shè)計了一個量直徑的測量器，標(biāo)有刻度的尺子OA，OB在O點釘在一起，并使它們保持垂直，在測直徑時，把O點靠在圓周上，讀得刻度OE＝8個單位長度，OF＝6個單位長度，那么圓的直徑為(B)A．12個單位長度 B．10個單位長度C．4個單位長度 D．15個單位長度3．如圖，AB是⊙O的直徑，∠D＝40°，那么∠CAB的度數(shù)為(C)A．20° B．40° C．50° D．70°4．如圖，CD是⊙O的直徑，∠1＝30°，那么∠2＝(C)A．30° B．45° C．60° D．70°5．如圖，把直角三角形的直角頂點O放在破損玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點M，N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，那么該圓玻璃鏡的半徑是(B)A.eq\r(10)cmB．5cmC．6cmD．10cm6．如圖，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A的度數(shù)．解：∵∠AOD＝130°，∴∠BOD＝50°.∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50°.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∴∠A＝90°－∠B＝40°.知識點2圓內(nèi)接四邊形對角互補7．如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是BC延長線上一點．假設(shè)∠BAD＝105°，那么∠DCE的大小是(B)A．115° B．105° C．100° D．95°8．(教材P55例4變式)(2023·邵陽)如下圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝120°，那么∠BOD的大小是(B)A．80° B．120° C．100° D．90°9．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝110°，那么∠BAD＝70°．10．如圖，∠EAD是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角，并且BD＝DC.求證：AD平分∠EAC.證明：∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，∴∠EAD＝∠DCB.∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.又∵∠DBC＝∠DAC，∴∠EAD＝∠DAC，即AD平分∠EAC.易錯點對圓內(nèi)接四邊形的概念理解不清導(dǎo)致錯誤11．如圖，在⊙O中，點A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，那么∠α＝140°．中檔題12．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，假設(shè)∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，那么∠D等于(B)A．60° B．120° C．140° D．150°13．如圖，AB為⊙O的直徑，關(guān)于角p，q，r，s之間的關(guān)系：①p＝2q；②q＝r；③p＋s＝180°中，正確的選項是(A)A．只有①和② B．只有①和③C．只有②和③ D．①②③14．(2023·白銀)如圖，⊙A過點O(0，0)，C(eq\r(3)，0)，D(0，1)，點B是x軸下方⊙A上的一點，連接BO，BD，那么∠OBD的度數(shù)是(B)A．15° B．30° C．45° D．60°15．(2023·北京)如圖，點A，B，C，D在⊙O上，eq\o(CB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，那么∠ADB＝70°．16．如圖，點A，B，C，D均在⊙O上，CD為∠ACE的平分線．(1)求證：△ABD為等腰三角形；(2)假設(shè)∠DCE＝45°，BD＝6，求⊙O的半徑．解：(1)證明：∵CD平分∠ECA，∴∠ECD＝∠DCA.∵∠ECD＋∠DCB＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，∴∠ECD＝∠DAB.又∵∠DCA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠DAB.∴DB＝DA.∴△ABD是等腰三角形．(2)∵∠DCE＝∠DCA＝45°，∴∠ECA＝∠ACB＝90°.∴∠BDA＝90°.∴AB是