2018年數(shù)學復習專題4.7正余弦定理應用（講）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11學必求其心得，業(yè)必貴于專精專題4.7正余弦定理應用【考綱解讀】內(nèi)容要求備注ABC解三角形正弦定理、余弦定理及其應用

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掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題．【直擊考點】題組一常識題1．海上有A,B，C三個小島,A,B兩島相距5eq\r(3)海里，從A島觀測到C和B成45°角，從B島觀測到C和A成75°角，則B，C兩島間的距離是________海里．【解析】易知∠ACB＝60°,由正弦定理eq\f（AB，sinC）＝eq\f(BC，sinA）,得eq\f（5\r(3),sin60°）＝eq\f（BC,sin45°），即BC＝5eq\r(2)。2．已知△ABC中，AB＝eq\r（3），AC＝eq\r(2)，A＝60°，則△ABC的面積為________．【解析】由面積公式得S△ABC＝eq\f(1，2）AB·AC·sinA＝eq\f(3,4)eq\r(2)。3．如圖，山腳下有一座小塔AB，在塔底B測得山頂C的仰角為60°,在山頂C測得塔頂A的俯角為45°，已知塔高AB＝20m，則山高CD＝________m?！窘馕觥咳鐖D，設CD＝xm，則AE＝（x－20)m，tan60°＝eq\f（CD，BD），所以BD＝eq\f(CD，tan60°)＝eq\f(x，\r(3)）＝eq\f（\r（3），3）x（m)．在△AEC中，x－20＝eq\f(\r(3)，3)x，解得x＝10(3＋eq\r(3）)．題組二常錯題4．在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點的仰角是60°，C點的俯角是70°，則∠BAC＝________．【解析】由已知可知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，所以∠BAC＝60°＋70°＝130°.5．若點A在點C的北偏東30°，點B在點C的南偏東60°,且AC＝BC，則點A在點B的方位是____________．題組三?？碱}6．要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，則電視塔的高度為________．【解析】設電視塔的高度為xm，則BC＝xm，BD＝eq\r（3)xm．在△BCD中，由余弦定理，得3x2＝x2＋402－2×40x×cos120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20（舍去)或x＝40.7．一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為________海里/小時．【知識清單】考點1正弦定理、余弦定理的實際運用仰角和俯角在視線和水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫仰角,在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角,如B點的方位角為α（如圖②)．方向角相對于某一方向的水平角（如圖③)．圖③(1）北偏東α°：指北方向向東旋轉(zhuǎn)α°到達目標方向．（2）東北方向：指北偏東45°或東偏北45°.（3）其他方向角類似．坡角和坡比坡角：坡面與水平面的夾角(如圖④,角θ為坡角）．圖④坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡比)．【考點深度剖析】這類實際應用題，實質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解．注意：①基線的選取要恰當準確；②選取的三角形及正、余弦定理要恰當．【重點難點突破】考點1正弦定理、余弦定理的實際運用【1—1】甲，乙兩船同時從點出發(fā)，甲以每小時的速度向正東航行，乙船以每小時的速度沿南偏東的方向航行,小時后，甲、乙兩船分別到達兩點,此時的大小為;【答案】平分BC，∴AB=AC=20km，根據(jù)余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB?AC?cos∠BAC，得：1200=400+400-800cos∠BAC,∴cos∠BAC=—，又∠BAC為三角形的內(nèi)角，則∠BAC=120°．故答案為：120°【1—2】某個公園有個池塘，其形狀為直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米,BC=1百米．

（Ⅰ）現(xiàn)在準備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點D，E，F(xiàn)，如圖（1)，使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食,求△DEF

面積S△DEF的最大值;

（Ⅱ)現(xiàn)在準備新建造一個荷塘，分別在AB，BC,CA上取點D，E，F(xiàn),如圖（2）,建造△DEF連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，求△DEF邊長的最小值．（Ⅱ）設正的邊長為，，【思想方法】(1）閱讀理解題意,弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關系．(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型．(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4）將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關單位問題、近似計算的要求等．【溫馨提醒】測量角度時，要準確理解方位角、方向角的概念，準確畫出示意圖是關鍵．【易錯試題常警惕】（1）畫出示意圖后要注意尋找一些特殊三角形，如等邊三角形、直角三角形、等腰三角形等，這樣可以優(yōu)化解題過程。(2）解三角形時，為避免