2021-2022學(xué)年中考數(shù)學(xué)真題匯編專項(xiàng)突破：勾股定理（含答案）

2021-2022學(xué)年中考數(shù)學(xué)真題匯編專項(xiàng)突破：勾股定理

L（2022大慶）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M在〉軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動，滿足

+ON=8.點(diǎn)。為線段"N的中點(diǎn)，則點(diǎn)。運(yùn)動路徑的長為（）

A.4萬B.8及C.D.1672

2.（2022河北）題目：“如圖，Z8=45。，BC=2,在射線&W上取一點(diǎn)/,設(shè)4c=",若對于

d的一個數(shù)值，只能作出一個△/BC,求d的取值范圍.”對于其答案，甲答：d>2,乙答：d

=1.6,丙答：d=亞，則正確的是（）

A.只有甲答的對B.甲、丙答案合在一起才完整

C.甲、乙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才完整

3.（2022大慶）己知圓錐的底面半徑為5,高為12,則它的側(cè)而展開圖的面積是（）

A.607rB.65兀C.90兀D.120兀

4.（2022黔東南）如圖，P4、尸5分別與。。相切于點(diǎn)A、B,連接PO并延長與。。交于

點(diǎn)C、D,若CD=12,PA=8,則sin/ZDS的值為（）

5.（2022龍東地區(qū)）如圖，A/BC中，AB=AC,力〃平分NA4c與8c相交于點(diǎn)。，點(diǎn)萬是

加的中點(diǎn)，點(diǎn)?是小的中點(diǎn)，連接即交加于點(diǎn)、P.若△ZBC的面積是24,PD=1.5,則也

的長是（）

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A

A.2.5B.2C,3.5D.3

6.（2022遵義）如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）會徽，在其主體圖案中選擇兩個相

鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形O48C.若AB=BC=1,ZAOB=30°,

則點(diǎn)8到OC的距離為（）

圖1圖2

A.立B.—C.1D.2

55

7.（2022牡丹江、雞西）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30。，小明在坡比為5：12的山坡

上走1300米，此時小明看山頂?shù)慕嵌葹?0。，求山高（）

A.（600—2506）米B.（600班—250）米

C.（350+3506）米D.500百米

8.（2022牡丹江、雞西）已知圓錐的高是12,底面圓的半徑為5,則這個圓錐的側(cè)面展開圖的

周長為

9.（2022牡丹江、雞西）在RtZiABC中，ZC=90°,AD平分NCAB,AC=6,BC=8,CD=.

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10.（2022齊齊哈爾）已知圓錐的母線長為5cm,高為4。〃?，則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是

11.（2022齊齊哈爾）在中，AB=3指，AC=6,N8=45°，則8C=.

12.（2022貴陽）如圖，在四邊形力BCD中，對角線NC,8。相交于點(diǎn)E,AC=BC=6cm,

NACB=NADB=90°.若BE=24D，則△Z8E的面積是cm2.NAEB=

度.

13.（2022龍東地區(qū)）如圖，在0O中，46是。。的弦，。。的半徑為3cm,C為。。上一點(diǎn),

ZACB=60°,則AB的長為cm.

14.（2022黔東南）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片45CZ）,折痕是DW,點(diǎn)C落在點(diǎn)E

處，分別延長ME、DE交AB于點(diǎn)、F、G,若點(diǎn)M是8。邊的中點(diǎn)，則RG=――cm.

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15.（2022龍東地區(qū)）如圖，菱形48（力中，對角線4C,即相交于點(diǎn)。，ABAD=60°,AD=3,

4/是N8/C的平分線，CE，/”于點(diǎn)E,點(diǎn)P是直線圈上的一個動點(diǎn)，則OP+PE的最小

值是________.

16.（2022河南）如圖，在RtZ\4ffC中，Z/C8=90。，/C==20，點(diǎn)。為48的中點(diǎn),

點(diǎn)尸在4。上，且C尸=1,將C尸繞點(diǎn)。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)0,連接4。，.當(dāng)

//。0=90。時，40的長為.

17.（2022銅仁）如圖，在邊長為2的正方形48。中，點(diǎn)后為4。的中點(diǎn)，將△（?￡>￡1沿CE翻

折得點(diǎn)M落在四邊形/8CE內(nèi).點(diǎn)N為線段CE上的動點(diǎn)，過點(diǎn)、N作NPHEM交.MC

于點(diǎn)P,則MN+NP的最小值為________.

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18.（2022遵義）如圖，在等腰直角三角形/8C中，NB4C=90°,點(diǎn)M,N分別為8C,AC

上的動點(diǎn)，且/N=CM,AB=?.當(dāng)ZM+8N的值最小時，CN的長為

19.（2022哈爾濱）如圖，菱形48co的對角線ZC,8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)￡?在。8上，連接ZE,

點(diǎn)尸為的中點(diǎn)，連接。尸，若ZE=8E,OE=3,。4=4,則線段。尸的長為.

20.（2022大慶）如圖，正方形幺BCD中，點(diǎn)E,尸分別是邊/氏8。上的兩個動點(diǎn)，且正方形

/BCD的周長是ABER周長的2倍，連接分別與對角線NC交于點(diǎn)"，N.給出如下

幾個結(jié)論：①若ZE=2,CF=3,則瓦7=4；②NEFN+NEMN=18。。；③若

MN

AM=2,CN=3,則MN=4：④若——=2,BE=3,則EE=4.其中正確結(jié)論的序號為

AM

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2L（2022河北）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個釘點(diǎn)是邊長為1個單位長的小正方形頂點(diǎn)，釘

點(diǎn)4，8的連線與釘點(diǎn)C,。的連線交于點(diǎn)E,則

（1）4B與CD是否垂直？_____（填“是”或“否”）；

（2）AE=.

22.（2022哈爾濱）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1,△NBC的頂點(diǎn)和線段E尸的端

點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上.

（1）在方格紙中面出AZOC,使AZDC與ANBC關(guān)于直線/C對稱（點(diǎn)。在小正方形的頂

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點(diǎn)上）；

（2）在方格紙中畫出以線段E尸為一邊的平行四邊形EFG"（點(diǎn)G,點(diǎn)〃均在小正方形的頂

點(diǎn)上），且平行四邊形EFG”的面積為4.連接請直接寫出線段?！ǖ拈L.

23.（2022龍東地區(qū)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平

面直角坐標(biāo)系中，A/BC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為工。,一1）,8（2,-5）,C（5,-4）.

（1）將先向左平移6個單位，再向上平移4個單位，得到用G，畫出兩次平移后的

△4片G，并寫出點(diǎn)吊的坐標(biāo)；

（2）畫出△4AG繞點(diǎn)G順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△N/zG，并寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)4的過程中所的路徑長（結(jié)果保留兀）.

24.（2022貴陽）如圖，在正方形中，E為AD上一點(diǎn)"連接BE,8E的垂直平分線交

AB于點(diǎn)M,交于點(diǎn)N,垂足為。，點(diǎn)E在。。上，且A/E〃4D.

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(1)求證：AABE冬AFMN；

(2)若45=8,AE—6,求ON的長.

25.（2022銅仁）如圖，。是以為直徑的。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)。的切線。E交45的延長線于

點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BCLLQE交力。的延長線于點(diǎn)C,垂足為點(diǎn)兄

26.（2022遵義）將正方形Z8C0和菱形EPG”按照如圖所示擺放，頂點(diǎn)。與頂點(diǎn)〃重合,

菱形EFGH的對角線HF點(diǎn)、B,點(diǎn)、E,G分別在BC上.

(1)求證："DEACDG；

⑵若AE=BE=2,求8廠的長.

27.（2022大慶）如圖，已知8c是A/BC外接圓。。的直徑，8。=16.點(diǎn)。為。。外的一

點(diǎn)，NACD=NB.點(diǎn)E為ZC中點(diǎn)，弦尸G過點(diǎn)E.EF=2EG.連接OE.

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D

(1)求證：CD是0。的切線；

(2)求證：(0C+OE)(OC-OE)=EG?EF；

(3)當(dāng)/G||8C時，求弦尸G的長.

28.(2022黔東南)(1)請?jiān)趫D中作出△ZBC的外接圓。。(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，沒有

寫作法)；

(2)如圖，0。是A45C的外接圓，NE是0。的直徑，點(diǎn)8是無的中點(diǎn)，過點(diǎn)8的切線與

/C的延長線交于點(diǎn)。.

①求證：BDA.AD；

3

②若ZC=6,tan/Z8C=-,求。。的半徑.

4

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29.(2022河北)如圖，某水渠的橫斷面是以為直徑的半圓O,其中水面截線MN〃/8.嘉

琪在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14。，點(diǎn)M的俯角為7°.已知爸爸的身高

為1.7m.

(1)求NC的大小及的長；

(2)請?jiān)趫D中畫出線段。H,用其長度表示水深(沒有說理由)，并求水深約為多少米(結(jié)果

保留小數(shù)點(diǎn)后一位).(參考數(shù)據(jù)：tan760取4,而■取4.1)

30.(2022貴陽)小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對稱的，對線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.

AT)

如圖，在□ABCD中,NN為8C邊上的高，一=〃?，點(diǎn)/在邊上，且反4=BAf,

AN

點(diǎn)E是線段上任意一點(diǎn)，連接BE,將八43七沿BE翻折得

(1)問題解決:

如圖①，當(dāng)N8/1D=6O。，將沿5E翻折后，使點(diǎn)尸與點(diǎn)M重合，則把=；

AN--------

(2)問題探究：

如圖②，當(dāng)/氏4。=45。，將△Z8E沿BE翻折后，使EF〃BM，求N48E的度數(shù)，并求

出此時機(jī)的最小值；

(3)拓展延伸：

當(dāng)N8/O=30。，將△Z8E沿BE翻折后，若EF工AD,且4E=MD,根據(jù)題意在備用圖中

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畫出圖形，并求出加的值.

31.(2022哈爾濱)已知CH是。。的直徑，點(diǎn)“，點(diǎn)5是0。上的兩個點(diǎn)，連接。點(diǎn)

。，點(diǎn)E分別是半徑。4。8的中點(diǎn)，連接CD,CE,BH,且NZOC=2NC"5.

(1)如圖1,求證:ZODC=NOEC；

(2)如圖2,延長CE交BH于點(diǎn)F,若CDJ_Q4,求證：FC=FH；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)G是麗上一點(diǎn)，連接ZG,8G,〃G,0b，若/G:8G=5:3,

HG=2,求。尸的長.

32.(2022黔東南)閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，楊老師給他這樣一個幾何問題:

如圖，△NBC和ABOE都是等邊三角形，點(diǎn)A在。E上.

求證：以/E、AD、NC為邊的三角形是鈍角三角形.

(1)【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接。C,根據(jù)已知條件，可以證明。。=ZE,

ZADC=\20°,從而得出△/DC為鈍角三角形，故以/E、AD、/C為邊的三角形是鈍角三

角形.

請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程.

(2)【拓展遷移】如圖，四邊形4BCD和四邊形8GEE都是正方形，點(diǎn)A在EG上.

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①試猜想：以/E、AG,NC為邊的三角形的形狀，并說明理由.

②若/E2+/G2=10,試求出正方形Z8CD的面積.

33.（2022河北）如圖，四邊形｛8C。中，AD//BC,N/BC=90°,NC=30°,/O=3,AB=2K，

DH1.BC于點(diǎn)、H.將△PQAf與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)P與/重合，點(diǎn)8

在尸M上，其中N0=9O。，ZQPM=30°,PM=473.

（1）求證：IXPQM烏XCHD；

（2）△P0M從圖1的位置出發(fā)，先沿著8c方向向右平移（圖2）,當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)。后立刻繞

點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)（圖3）,當(dāng)邊尸也旋轉(zhuǎn)50。時停止.

①邊P0從平移開始，到繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)結(jié)束，求邊尸。掃過的面積；

②如圖2,點(diǎn)K在84上，且8K=9-4百.若△P0M右移的速度為每秒1個單位長，繞點(diǎn)。

旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5。，求點(diǎn)K在△PQM區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時長；

③如圖3.在△尸0〃旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)尸。，分別交5c于點(diǎn)E,F,若BE=d,直接寫出C尸

的長（用含d的式子表示）.

34.（2022河南）綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué).

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(1)操作判斷

操作一：對折矩形紙片N8C。，使與8c重合，得到折痕EF,把紙片展平；

操作二：在/。上選一點(diǎn)P,沿8P折疊，使點(diǎn)/落在矩形內(nèi)部點(diǎn)加處，把紙片展平，連接RW,

BM.

根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)”在EF上時，寫出圖1中一個30。的角：.

(2)遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片Z88按照(1)中的方式操作，并延長尸加交C。于點(diǎn)。，連接8。.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在EF上時，ZMBQ=°,ZCBQ=°；

②改變點(diǎn)尸在49上的位置(點(diǎn)「沒有與點(diǎn)X,。重合)，如圖3,判斷/"8。與NCB0的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由.

(3)拓展應(yīng)用

在(2)的探究中，已知正方形紙片/8CD的邊長為8cm,當(dāng)尸0=lcm時，直接寫出/尸的長.

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2022年中考數(shù)學(xué)真題匯編：勾股定理參考答案

1.（2022大慶）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A/在y軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動，滿足

?！?。義=8.點(diǎn)0為線段加乂的中點(diǎn)，則點(diǎn)0運(yùn)動路徑的長為（）

A.4萬B.8&C.8萬D.1672

（nm

【答案】解：設(shè)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（0,用），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（小0）,則點(diǎn)0的坐標(biāo)為（5，,卜

OM+ON=8,

二|〃|+（一加）=8,（-8<?<8,-8<w<0）,

,當(dāng)一84〃（0時，同+（-〃?）=一〃-m=8,

...此時點(diǎn)0在一條線段上運(yùn)動，線段的一個端點(diǎn)在x釉的負(fù)半軸上，坐標(biāo)為（-4,0）,另一端

在y軸的負(fù)半軸上，坐標(biāo)為（0,-4）,

此時點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑長為J（-4『+（—4）2=472:

：,當(dāng)04〃?8時，同+（-〃?）="一〃？=8,

此時點(diǎn)。在一條線段上運(yùn)動，線段的一個端點(diǎn)在x軸的正半軸上，坐標(biāo)為（4,0）,另一端

在y軸的負(fù)半軸上，坐標(biāo)為（0,-4）,

此時點(diǎn)。的運(yùn)動路徑長為j4?+（-4）2=46:

綜上分析可知，點(diǎn)。運(yùn)動路徑的長為40+4后=8后，故B正確.

故選：B.

2.（2022河北）題目：“如圖，ZB=45°,BC=2,在射線BA/上取一點(diǎn)/,設(shè)4C=d,若對于

d的一個數(shù)值，只能作出一個△48C,求d的取值范圍.”對于其答案，甲答：d>2,乙答：d

=1.6,丙答：d=6,則正確的是（）

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M

A.只有甲答的對B.甲、丙答案合在一起才完整

C.甲、乙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才完整

［答案］過點(diǎn)C作CH，8M■于4,在A'M上取A"A"=BA'

VZB=45°,BC=2,CA'1BM

歷rc是等腰直角三角形

/.A'C=BA'——（=-=>J2

V2

VA'A"=BA'

A"C=ylA'A"2+CA'2=2

若對于d的一個數(shù)值，只能作出一個△48C

通過觀察得知：

點(diǎn)4在H點(diǎn)時，只能作出一個△/8C（點(diǎn)4在對稱軸上），此時d=J5，即丙的答案；

點(diǎn)力在H'N射線上時，只能作出一個△/BC（關(guān)于4c對稱的4c沒有存在），此時122,

即甲的答案，

點(diǎn)4在區(qū)4"線段（沒有包括H點(diǎn)和不點(diǎn)）上時，有兩個△Z8C（二者的ZC邊關(guān)于HC對稱）;

故選：B

3.（2022大慶）已知圓錐的底面半徑為5,高為12,則它的側(cè)面展開圖的面積是（）

A.607rB.65KC.90兀D.120兀

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【答案】解：由題意知，圓錐側(cè)面展開圖的半徑即圓錐的母線長/為巧刀=13，

，圓錐側(cè)面展開圖的面積為S=兀〃=兀x5xl3=65乃，

故選B.

4.（2022黔東南）如圖，PA、P8分別與。。相切于點(diǎn)A、B,連接PO并延長與交于

點(diǎn)、C、D,若CD=12,PA=8,則sin/力。8的值為（）

【答案】解：連結(jié)0/

?：PA、P8分別與。。相切于點(diǎn)小B,

:.PA=PB,O尸平分OPLAP,

???/APD=NBPD,

在&4PD和ABPD中，

AP=BP

<4PD=/BPD,

AD=AD

：.LAPD^LBPD(SAS)

???NADP=/BDP,

?：OA=OD=6,

：.ZOAD=ZADP=ZBDP,

/AOP=NADP+/OAD=/ADP+/BDP=NADB,

在放ZU。尸中，OP=NOA2+AP2=10,

"84

sinZADB==—=—.

OP105

故選A.

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5.（2022龍東地區(qū)）如圖，△N8C中，AB=AC,4〃平分N8/C與寬相交于點(diǎn)。，點(diǎn)￡是

初的中點(diǎn)，點(diǎn)/是OC的中點(diǎn)，連接斯交4。于點(diǎn)尺若A45c的面積是24,PD=L5,則比

A.2.5B.2C.3.5D.3

【答案】解：如圖，連接應(yīng)1,取4。的中點(diǎn)G,連接面,

"：AB=AC,力〃平分NB4C與小相交于點(diǎn)〃,

J.ADVBC,BD=CD,

1o1c”

—2SA"A^BDVC-=—2X24=12,

,￡是四的中點(diǎn),

詼gSiso=gxl2=6,

?G是4〃的中點(diǎn),

,S△的尸51sc“E0=21x6,=3

?￡是48的中點(diǎn)，G是4〃的中點(diǎn),

.EG//BC,EG=^BD=^CD,

.NEGP=NFDP=90°,

,尸是口的中點(diǎn),

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:?D*CD,

:.E仁DF,

?：2EPG^/FPD,

:.△EGP^XFDP(AAS),

.??G4Pg.5,

：.公3,

?'S△癡=—GZ),EG二3,即一EGx3=3,

22

:?E12,

在打△Z?G尸中，由勾股定理，得

ppNEG?+GP?=V22+I.52=2.5,

故選：A.

6.（2022遵義）如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）會徽，在其主體圖案中選擇兩個相

鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形CU8C.若Z8=8C=1,NAOB=30°,

則點(diǎn)8到OC的距離為（）

圖1圖2

A.—B.—C.1D.2

55

【答案】解：在RtA/80,RtA80C中，

?J4OB=30°,AB=BC=1,

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（95=2,

OC=y/OB2+BC2=V?，

設(shè)8到OC的距離為〃，

:.-OCh=-BCBO,

22

,1x2275

h==--，

V55

故選B.

7.（2022牡丹江、雞西）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30。，小明在坡比為5：12的山坡

上走1300米，此時小明看山頂?shù)慕嵌葹?0。，求山高（）

A.（600—250百）米B.（600百一250）米

C.（350+350JJ）米D.500石米

【答案】解:如答圖，VBE：AE=5：12,二可設(shè)BE=5k,AE=12k,

：AB=1300米，

...在RtzlXABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2,

即（12左）2+（54）2=130（）2,解得k=100.

；.AE=1200米，BE=500米.

設(shè)EC=x米，

VZDBF=60°,，DF=6x米.

又：NDAC=30°,.-.AC=V3CD.

A1200+x=V3（500+V3X）,解得x=600-250石.

.,.DF=0x=6OO石-750.

.?.CD=DF+CF=600G-250（米）.

二山高CD為（60073-250）米.

故選B.

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D

8.（2022牡丹江、雞西）已知圓錐的高是12,底面圓的半徑為5,則這個圓錐的側(cè)面展開圖的

周長為________

【答案】???圓錐的底面半徑是5,高是12,

根據(jù)勾股定理得：圓錐的母線長為13,

.?.這個圓錐的側(cè)面展開圖的周長=2x13+2療5=26+10兀.

故答案為26+107r.

9.（2022牡丹江、雞西）在RtZ^ABC中，ZC=90°,AD平分NCAB,AC=6,BC=8,CD=_____.

【答案】如圖，過點(diǎn)D作DE±AB于E,

?*-AB=y]AC2+BC2=V62+82=10,

VAD平分NCAB,

；.CD=DE,

?■?SAABC=|AC?CD+yAB?DE=yAC?BC,

即yx6?CD+yX1O?CD=y*6x8,

解得CD=3.

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10.（2022齊齊哈爾）已知圓錐的母線長為5。加,高為4CTK,則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是

【答案】解：根據(jù)母線和高，用勾股定理可以算出圓錐底面圓的半徑尸="彳=3，

則展開之后扇形的弧長就等于底面圓的周長C=2萬廠=6萬，

再根據(jù)弧長公式/=’nj」iR，得到6%=5^乃—，7,算出“=216。.

180°180°

故答案是：216°.

11.（2022齊齊哈爾）在△/BC中,AB=3娓，AC=6,NB=45°，則8C=

【答案】解：情況一：當(dāng)△ABC為銳角三角形時，如圖1所示：

過A點(diǎn)作AHYBC于H,

VZS=45",

...△N8H為等腰直角三角形,

/?/〃=8"=半=半=3技

V2V2

在Rt△力C”中，由勾股定理可知：C"=J^了二7^'==3，

BC=BH+CH=303.

情況二：當(dāng)△NBC為鈍角三角形時，如圖2所示：

由情況一知：AH=BH=緇=^^=，CH=飛AC?-AH?=，36-27=3,

；?BC=BH-CH=36-3.

故答案為：3石+3或3百—3.

12.（2022貴陽）如圖，在四邊形中，對角線NC,8D相交于點(diǎn)E,NC=8C=6cm,

NACB=N4DB=90°.若BE=2AD，則△N8E的面積是.cm2,ZAEB=

度.

第21頁/總63頁

D

?.?ZACB=ZADB=90°,NAED=ZBEC,

:ADE~?BCE,

AD_AE

???BC=AC=6,BE=2AD,

設(shè)AD-m,BE-2m,

mAE

...一=-----,

62m

AE=—?

3

.\CE=6--,

3

在RtVBCE中,由勾股定理得5。2+。E2=6七2,

62+(6--y)2=(2m)2,

解得加2=36-18&或*=36+18a，

???對角線NC,80相交于點(diǎn)E，

第22頁/總63頁

m2=36-18夜，

AE=12-6五，

:.CE=6及-6,

：.S=--^-BC=-x(12-6>/2)x6=36-18V2cm2,

A/iittz2J2'j

過點(diǎn)E作垂足為E

■：^ACB=90°,AC=BC,

ABAC=ZABC=45。=NAEF，

AE=AF=旦AE=6近-6=CE，

2

BE=BE,

Rt^BCE=Rt^BFE(HL),

ZEBF=NEBC=-ZABC=22.5°,

2

ZAEB=ZACB+NEBC=112.5°,

故答案為：36-1872-ii2-5.

13.(2022龍東地區(qū))如圖，在0。中，4?是OO的弦，0O的半徑為3cm,C為。。上一點(diǎn),

ZACB=60°，則AB的長為_______cm.

【答案】解：連接OA,OB,過點(diǎn)。作ODLAB于點(diǎn)D,

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B

D

：.AD=BD==AB,ZODA=90a,

2

???4C8=60。，

.?.408=120°,

vOA=OB,

：.ZOAB=ZOBA=30°,

?/OA-3cm,

3

OD=-cm,

2

AD=doA?-OD?=^cm，

2

/.AB=3V3cm，

故答案為：3也.

14.（2022黔東南）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片/8GD,折痕是，點(diǎn)C落在點(diǎn)E

處，分別延長小、DE交4B于煎F、G,若點(diǎn)M是8c邊的中點(diǎn)，則RG=cm.

【答案】解：連接?？?如圖,

第24頁/總63頁

:四邊形是正方形，

/.AB=BC=CD=D4=4,ZA=NB=NC=ZCDA=90°.

;點(diǎn)M為8C的中點(diǎn)，

Z.BM=CM=-BC」x4=2

22

由折疊得，ME=CM=2,DE=DC=4,/DEM=ZC=90°,

：.NDEF=96，NFEG=90°,

設(shè)FE=x,則有DF2=DE2+EF2

???DF2^42+X2

又在中，F(xiàn)M=2+x,BM=2,

''FM2^FB-+BM2

???FB=^FM2-BM2=7（2+x）2-22

AF=AB-FB=4-y］（2+x）2-22

在RfADZ/中，D^+AF^DF2,

；?42+（4-7（2+X）2-22）=42+X2,

4

解得，/=5戶2=一8（舍去）

：.FE=~,

3

410

：.FM=FE+ME=-+2=—

33

第25頁/總63頁

???日?2+爭一23

VZDEM=90°

ZFEG=90°

/.ZFEG=NB,

又NGFE=NMFB.

:AFEG?江BM

4

.FGFEnrlFG3

FMFB108

33

：.FG=-,

3

故答案為：-f-

3

15.（2022龍東地區(qū)）如圖，菱形力8徵中，對角線4C,初相交于點(diǎn)。，ABAD=60°,AD=3,

是Z8/C的平分線，CE，/”于點(diǎn)反點(diǎn)尸是直線4?上的一個動點(diǎn)，則OP+PE的最小

值是.

【答案】解：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于48的對稱點(diǎn)凡連接在交45于G,連接房交直線48于尸,

連接尸0,貝UP/外，此時，P8PE最小,最小值=%

第26頁/總63頁

?菱形ABCD,

:.AC1BD,OA=OC,WOD,AAAF3,

TN仍廬60°,

???△力8〃是等邊三角形，

:?B2AF3,N助0=30°,

3

：.0斤一，

2

OA——5/3,

2

??.點(diǎn)。關(guān)于四的對稱點(diǎn)E

AOFLAB,0六20G=0歸）也，

2

???//妗60°,

■:CEU”于E,0花03

：?OE=000歸一6,

2

YAH平分/BAC,

：.ZCAB=15°,

：.ZAEC=ZCAB=15°,

AZDO^ZAEaZCAB=30°,

:?/DOE+/AOG=3。。+60°=90°,

???/月密90°,

第27頁/總63頁

...由勾股定理，得旌Jo廠2+。62=3述

~T~

；./小/最小值.

2

故答案為：巫.

2

16.（2022河南）如圖，在RtZ\/8C中，ZACB=90°,AC=BC=2也，點(diǎn)。為的中點(diǎn),

點(diǎn)尸在4C上，且CP=1,將CP繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)尸的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)°,連接力0,DQ.當(dāng)

N/1Q0=9O。時，40的長為_____.

【答案】如圖，連接C。,

??,在RtZXNBC中，ZACB=90°,AC=BC=2五,

AB=4,CD1AD,

:.CD==AB=2,

2

根據(jù)題意可得，當(dāng)/NQ0=9O。時，。點(diǎn)在C。上，且CQ=CP=1,

DQ=CD-CQ=2-l=l,

在RtZVl。。中，AQ=ylAD2+DQ2=722+12=75.

故答案為：V5.

17.（2022銅仁）如圖，在邊長為2的正方形中，點(diǎn)E為力。的中點(diǎn)，將ACOE沿CE翻

第28頁/總63頁

折得ACME,點(diǎn)M落在四邊形4BCE內(nèi).點(diǎn)N為線段CE上的動點(diǎn)，過點(diǎn)、N忤NPHEM交.MC

于點(diǎn)尸，則MV+NP的最小值為_.

由折疊的性質(zhì)知CE是NDCM的平分線，

.?.點(diǎn)?在CO上，

過點(diǎn)M作MFVCD于R交CE于點(diǎn)G,

VMN+NP=MN+NP'<MF,

：.MN+NP的最小值為MF的長，

連接OG,DM,

由折疊的性質(zhì)知CE為線段。歷的垂直平分線,

；4D=CD=2,DE=1,

；.CE7E—=B

11

■:一CExDO=-CDxDE,

22

：.DO=^-,

5

：.EO=-,

5

VMF±CD.ZEDC=90°,

第29頁/總63頁

:.DE//MF,

:./EDO=/GMO,

?：CE為線段DM的垂直平分線，

：.DO=OM,NDOE=NMOG=90。,

：?4DOE學(xué)叢MOG,

:,DE=GM,

???四邊形DEMG為平行四邊形，

???ZWG=90°,

???四邊形OEMG為菱形，

2亞

：.EG=2OE=^—~,GM=DE=1,

”_36

??C---------,

5

,:DE〃MF,BPDE//GF,

:?△CFGsRCDE,

：.MF=\+-=-

55

8

:.MN+NP的最小值為一.

5

Q

故答案為：—.

28.（2022遵義）如圖，在等腰直角三角形N6C中，/歷IC=90。，點(diǎn)M,N分別為8C,AC

上的動點(diǎn)，且/W=CM,AB=?.當(dāng)4I/+8N的值最小時，CW的長為.

第30頁/總63頁

A

【答案】如圖，過點(diǎn)A作/O〃8C,且ZZ)=ZC,連接ON,如圖1所示,

ZDAN=NACM,

又AN=CM,

:AAND%CMA,

AM=DN,

BN+AM=BN+DNNBD,

當(dāng)民N,。三點(diǎn)共線時，8N+/M取得最小值，

此時如圖2所示，

?.?在等腰直角三角形Z8C中，ABAC=90°,AB=6

：.BC=6AB=2，

/\ANDm人CMA，

??.ZADN=ZCAM,

???AD=AC=AB,

??.ZADN=ZABN，

vAD//BC,

??.ZADN=ZMBN,

??.ZABN=4MBN,

設(shè)NM/C=a,

??./BAM=ZBAC-a=90。一二，

/ABM=ZABN+ZNBM=2a=45°，

a=22.5°，

???ZAMB=180°-/BAM-ZABM=180°-90°+a—45°=67.5°,

NBAM=90°-22.5°=67.5°,

第31頁/總63頁

:.AB=BM=6,

:.CM=BC-BM=2-6，

即BN+AM取得最小值為2-JI，

故答案為：2-日

19.（2022哈爾濱）如圖，菱形Z8CD的對角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在。8上，連接/E,

點(diǎn)尸為CD的中點(diǎn)，連接。尸，若工￡=BE,OE=3,0/=4,則線段。尸的長為.

【答案】已知菱形458,對角線互相垂直平分,

：.AC±BD,在放△4OE中，

?：OE=3,04=4,

???根據(jù)勾股定理得AE3+4?=5，

，：AE=BE,

OB=AE+0E-8,

在RtAAOB中AB=V42+82=475，

即菱形的邊長為4布，

???點(diǎn)/為的中點(diǎn)，點(diǎn)。為。8中點(diǎn)，

:.OF=LBC=2下.

2

故答案為2店

第32頁/總63頁

20.（2022大慶）如圖，正方形4BCD中，點(diǎn)E,尸分別是邊/氏8。上的兩個動點(diǎn)，且正方形

/8C。的周長是周長的2倍，連接。瓦。口分別與對角線NC交于點(diǎn)M,N.給出如下

幾個結(jié)論：①若ZE=2,CR=3,則EF=4；②NEFN+NEMN=180°；③若

MN

AM=2,CN=3,則MN=4；④若——=2,BE=3,則EE=4.其中正確結(jié)論的序號為

AM

AD

BFC

【答案】解：???正方形/BCD的周長是ABER周長的2倍,

BE+BF+EF=AB+BC,

EF=AE+FC,

①若AE=2,CF=3,則EF=5,故①沒有正確；

如圖，在助的延長線上取點(diǎn)4,使得=C廠，

第33頁/總63頁

四邊形/BCD是正方形，

:.NDAH=NDAE=NDCF=90°,AD^CD,

:AADH^^ACDF,

ZCDF=ZADH,HD=DF,Z.H=ZDFC,

EF-AE+CF—AE+AH-EH，DE-DE，

:ADHE知DFE(SSS),

:.NHDE=NFDE，AH=4EFD，NHED=NFED，

ZCDF+NADF=NADH+NADF=ZHDF=90°,

NEDF=NHDE=45。,

■■■ZH=NDFC=NDFE，

---ZEMN=ZHED+ZEAM=45°+ZDEF,

ZEFN+ZEMN=ZDFC+45°+ZDEF=ZDFC+ZEDF+ZDEF=180°

即NEFN+NEMN=180°,故②正確；

如圖，作。GJ_EF于點(diǎn)G,連接G",GN,

則/DGE=ND4E=90。，

?:NAED=NGED,DE=DE,

:."ED知GED,

同理可得&GDF%CDF,

:.AG=DG=CF,NADE=NGDE/GDF=ZCDF,

??.4G關(guān)于DE對稱軸，C,G關(guān)于。尸對稱，

:.GM=AM,GN=CN,

ZEGM=ZEAM=45°,ZNGF=ZNCF=45°,

第34頁/總63頁

/.4MGN=180°-45°-45°=90°,

.'.^GMN是直角三角形，

③若AM=2,CN=3,

GM=2,GN=3,

MN=1MG?+GN?=JI5n4，故③沒有正確，

???MG=AM,

若嶇

=2,BE=3,

AM

即sinZMNG=^-=~,

MN2

ZMNG=30°,

■■■NEFN+ZEMN=180°,ZEMN+NAME=180。，

又ACFN=Z.EFN,

/.NAME=ZCFN,

2NAEM=2ZCFN,

即ZAMG=Z.CFG,

/.4GMN=4BFE,

NBEF=NMNG=30°,

cosNBEF=—=cosNGNM=cos30°=—>

EF2

BE=3,

.2BEA

EF=-k-=273,

6

故④沒有正確.

故答案為：②.

21.(2022河北)如圖是釘板示意圖，每相鄰4個釘點(diǎn)是邊長為1個單位長的小正方形頂點(diǎn)，釘

點(diǎn)，，B的連線與釘點(diǎn)C,D的連線交于點(diǎn)E,則

(1)AB與CD是否垂直？(填“是”或“否”)；

(2)AE=

第35頁/總63頁

E

BD

【答案】解：（1）如圖：AC=CF=2,CG=DF=\,ZACG=ZCFD=90°,

：."CG"ACFD,

：./CAG=/FCD,

?；ZACE+ZFCD=90°,

：.ZACE+ZCAG=90°,

：.NCE4=90°,

...ZB與CD是垂直的，

故答案為：是；

22

（2）AB=yJ2+4=275,

'：AC//BD,

"ECSABED,

.ACAE2AE

??=，艮nnI」=，

BDBE3BE

AE2

???_=一，

BE5

?>7245/5

??AAE=—BE=------

55

故答案為：生5.

5

22.（2022哈爾濱）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1,A/BC的頂點(diǎn)和線段E戶的端

第36頁/總63頁

點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上.

(1)在方格紙中而出AZQC,使AZZJC與△Z3C關(guān)于直線4C對稱(點(diǎn)。在小正方形的頂

點(diǎn)上)；

(2)在方格紙中畫出以線段EF為一邊的平行四邊形EFG”(點(diǎn)G,點(diǎn)〃均在小正方形的頂

點(diǎn)上)，且平行四邊形EFG”的面積為4.連接請直接寫出線段的長.

【答案】

(1)如圖

(2)如圖，DH=五+4<=5

23.(2022龍東地區(qū))如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平

面直角坐標(biāo)系中，A/BC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為工。,一1),5(2,-5),C(5,-4).

第37頁/總63頁

(1)將△Z8C先向左平移6個單位，再向上平移4個單位，得到△4^G，畫出兩次平移后的

△4AG，并寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(2)畫出△4片￡繞點(diǎn)G順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△H&G，并寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，求點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)4的過程中所的路徑長(結(jié)果保留兀).

【答案】

(1)解：如圖所示△44。即為所求，

4(-5,3)；

(2)如圖所示△4區(qū)乙即為所求，4(2,4)；

22

⑶VAycx=73+4=5

第38頁/總63頁

...點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)4所的路徑長為絲一=-71.

1802

24.（2022貴陽）如圖，在正方形45C。中，E為AD上一點(diǎn)、,連接BE,8E的垂直平分線交

4B于點(diǎn)M,交C。于點(diǎn)N,垂足為。，點(diǎn)尸在。。上，且Afb〃力D.

(1)求證：A