線性代數(shù)課件第5章：二次型及其標準形

第一節(jié)二次型及其標準形第五章二、二次型的表示方法一、二次型及其標準形的概念三、化二次型為標準形一、二次型及其標準形的概念稱為二次型.只含有平方項的二次型稱為二次型的標準形（或法式）．若標準形的系數(shù)只取1，-1或0，即稱為二次型的規(guī)范形．1．用和號表示對二次型二、二次型的表示方法2．用矩陣表示在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系．解例１設(shè)三、化二次型為標準形對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標準形．則矩陣的合同是一種等價關(guān)系，具有性質(zhì)：說明用正交變換化二次型為標準形的具體步驟解1．寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例2從而得特征值2.求特征向量即得正交向量組對于實對稱陣不同特征值的特征向量正交，3．將正交向量組單位化于是所求正交變換為解例3

1.若二次型含有的平方項，則先把含有的乘積項集中，進行配方，使得配方后的項中不再含有這個變量，再對其余的變量同樣進行，直到都配成平方項為止，經(jīng)過這樣的非退化線性變換，就得到標準形;拉格朗日配方法，步驟如下：

2.若二次型中不含有平方項，但是則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項的二次型，然后再按1中方法配方.化二次型為標準形，若不限于正交變換，則可用解例1含有平方項去掉配方后多出來的項所用變換矩陣為解例2由于所給二次型中無平方項，所以再配方，得所用變換矩陣為說明：用不同的可逆線性變換把同一個二次型化為標準形時，二次型的標準形不是唯一的，但規(guī)范性是唯一的.五、小結(jié)1.二次型及其標準形的概念3.二次型化為標準形的方法：2.二次型的矩陣、二次型的秩、矩陣合同拉格朗日配方法正交變換法（標準形中的系數(shù)為其特征值）第三節(jié)正定二次型第五章二、正（負）定二次型的概念一、慣性定理三、正（負）定二次型的判別四、小結(jié)一、慣性定理

一個實二次型，既可以通過正交變換化為標準形，也可通過拉格朗日配方法化為標準形，顯然，其標準形一般來說是不唯一的，但標準形中所含有的項數(shù)是確定的，項數(shù)等于二次型的秩．下面限定所用變換為實變換，來研究二次型的標準形所具有的性質(zhì)．

二次型的標準形中正系數(shù)的項數(shù)稱為二次型的正慣性指數(shù)，負系數(shù)的項數(shù)稱為二次型的負慣性指數(shù).二、正(負)定二次型的概念證明充分性故三、正(負)定二次型的判別必要性故推論對稱矩陣為正定的充分必要條件是：的特征值全為正．這個定理稱為霍爾維茨定理．定理3對稱矩陣為正定的充分必要條件是：的各階順序主子式都為正，即對稱矩陣為負定的充分必要條件是：奇數(shù)階順序主子式為負，而偶數(shù)階順序主子式為正，即正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì)注意：正定矩陣必須為實對稱矩陣提示對稱矩陣為正定的充分必要條件是：的特征值全為正．提示利用正定矩陣的定義逆否命題：若矩陣主對角線上的某個元素小于或等于0，則此矩陣一定不為正定矩陣．例1

判別二次型是否正定.解它的順序主子式故上述二次型是正定的.例2

判別二次型是否正定.解二次型的矩陣為用特征值判別法.故此二次型為正定二次型.即知是正定矩陣，例3

判別二次型的正定性.解2.

正定二次型（正定矩陣）的判別方法：(1)定義法；(2)順次主子式判別法；(3)特征值判別法.四、小結(jié)1.正定二次型的概念，正定二次型