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17二月20231第四節(jié)無窮小量與無窮大量

第一章到目前為止，我們已經(jīng)闡明了數(shù)列與函數(shù)的極限．下面我們再來研究一類比較簡單但十分重要的函數(shù)，即所謂的無窮小量．二、無窮大量（InfinitelyLargeQuantity）一、無窮小量（InfinitelySmallQuantity）17二月20232一、無窮小量當(dāng)定義1

若時,函數(shù)則稱函數(shù)例如:函數(shù)當(dāng)時為無窮小;函數(shù)時為無窮小;為時的無窮小

.需要指出的是，

（1）不要認(rèn)為無窮小量是一個很小很小的數(shù)；（2）除0以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小

!（3）一個函數(shù)是無窮小量，必須指明自變量的變化趨勢17二月20233其中為時的無窮小量.證:當(dāng)時,有注：對自變量的其它變化過程類似可證.定理1(無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)例如：有其中17二月20234二、無窮大量定義2

若任給

M>0,一切滿足不等式的

x,總有則稱函數(shù)當(dāng)時為無窮大,

使對若在定義中將①式改為①則記作(正數(shù)X),記作總存在17二月20235注意:1.按函數(shù)極限定義來說，

無窮大的函數(shù)f(x)的極限是不存在的.但為方便起見，我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”

.2.無窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).3.函數(shù)為無窮大,必定無界.但反之不真!例如,

函數(shù)當(dāng)?shù)詴r,不是無窮大!17二月20236證:

任給正數(shù)

M

,要使即只要取則對滿足的一切x,有所以例1證明思考題證明（習(xí)題1－41（3））提示：要使即就要即只要?。ㄆ渲蠱>3）17二月20237定理2（無窮小與無窮大的關(guān)系）若為無窮大,為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.則(自學(xué))據(jù)此定理,關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為無窮小來討論.在自變量的同一變化過程中,說明:17二月20238內(nèi)容小結(jié)1、主要內(nèi)容:兩個定義;兩個定理.2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個無窮小的代

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