第三章一維穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

第三章一維穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第一頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（1）概述研究?jī)?nèi)容：研究固體中的導(dǎo)熱問(wèn)題，重點(diǎn)是確定物體中的溫度場(chǎng)和通過(guò)物體的導(dǎo)熱速率。求解思路:一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于固體因此，分析導(dǎo)熱，先用導(dǎo)熱微分方程求得溫度場(chǎng)，然后利于傅立葉定律求得導(dǎo)熱速率溫度場(chǎng)固體中溫度場(chǎng)導(dǎo)熱速率熱量傳輸微分方程固體導(dǎo)熱微分方程傅立葉定律第二頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（1）概述求解方法：通過(guò)導(dǎo)熱微分方程求解直角坐標(biāo)系：柱坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系：求解導(dǎo)熱微分方程的方法：（1）分析解法；（2）數(shù)值解法。第三頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（2）單層平壁的導(dǎo)熱幾何條件：?jiǎn)螌悠桨?；；物理?xiàng)l件：、c、；時(shí)間條件：穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，?t/?τ=0；邊界條件：第一類。且已知；無(wú)內(nèi)熱源。由此可得：直接積分：第一類邊界條件：ot1tt2控制方程邊界條件第四頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（2）單層平壁的導(dǎo)熱將邊界條件帶入控制方程可得：將結(jié)果帶入微分方程，可以得到下面的單層平壁的導(dǎo)熱方程式。熱阻分析法適用于一維、穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源的情況第五頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（3）多層平壁的導(dǎo)熱多層平壁：由幾層不同材料組成，房屋的墻壁－白灰內(nèi)層、水泥沙漿層、紅磚(青磚)主體層等組成；假設(shè)各層之間接觸良好，可以近似地認(rèn)為接合面上各處的溫度相等；t1t2t3t4t1t2t3t4三層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱邊界條件：熱阻：第六頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（3）多層平壁的導(dǎo)熱問(wèn)：如已經(jīng)知道了q，如何計(jì)算其中第i層的右側(cè)壁溫？

t1t2t3t4t1t2t3t4三層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱由熱阻分析法得：多層、第三類邊條件：第七頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（4）關(guān)于平壁的例題例題3：圖為具有內(nèi)熱源并均勻分布的平壁，壁厚為2s。假定平壁的長(zhǎng)寬遠(yuǎn)大于壁厚，平壁兩表面溫度為恒溫tw，內(nèi)熱源強(qiáng)度為qv，平壁材料的導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)。試求穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)，平壁內(nèi)的溫度分布和中心溫度。

解：因平壁的長(zhǎng)、寬遠(yuǎn)大于厚度，故此平壁的導(dǎo)熱可認(rèn)為是一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，這時(shí)導(dǎo)熱微分方程式可簡(jiǎn)化為：相應(yīng)的邊界條件為：x=s時(shí)，t=twx=-s時(shí)，t=tw

第八頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日可見，該條件下平壁內(nèi)溫度是按拋物線規(guī)律分布。令溫度分布關(guān)系式中的x=0，則得平壁中心溫度為：求解上述微分方程，得：式中積分常數(shù)C1和C2可由邊界條件確定，它們分別為：所以，平壁內(nèi)溫度分布為：1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（4）關(guān)于平壁的例題第九頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（4）關(guān)于平壁的例題例題4：爐墻內(nèi)層為粘土磚，外層為硅藻土磚，它們的厚度分別為s1=460mm；s2=230mm，導(dǎo)熱系數(shù)分別為：λ1=0.7+0.64×10-3tW/m℃；λ2=0.14+0.12×10-3tW/m℃。爐墻兩側(cè)表面溫度各為t1=1400℃；t3=100℃，求穩(wěn)態(tài)時(shí)通過(guò)爐墻的導(dǎo)熱通量和兩層磚交界處的溫度。解：按試算法，假定交界面溫度為t2=900℃，計(jì)算每層磚的導(dǎo)熱系數(shù)

第十頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日計(jì)算通過(guò)爐墻的熱通量和界面溫度分別為：將求出的t2與原假設(shè)的t2相比較，若兩者相差甚大，需重新計(jì)算。重設(shè)t2=1120℃，計(jì)算的方法同上，中間過(guò)程略去，可以得到：t2與第二次假設(shè)的溫度值很相近，故第二次求得的q和t2即為所求的計(jì)算結(jié)果。1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（4）關(guān)于平壁的例題第十一頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日計(jì)算假設(shè)單管長(zhǎng)度為l，圓筒壁的外半徑小于長(zhǎng)度的1/10。圓柱坐標(biāo)系：

一維、穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性，可得下面的方程，考慮第一類邊界條件：1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（5）單層圓筒壁的導(dǎo)熱第一類邊界條件：可得方程：第十二頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（5）單層圓筒壁的導(dǎo)熱應(yīng)用邊界條件：對(duì)該方程積分兩次得：求得系數(shù)：帶入第二次積分結(jié)果得圓筒壁內(nèi)溫度分布：第十三頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)A筒壁內(nèi)溫度分布曲線的形狀：圓筒壁內(nèi)部的熱流密度和熱流分布情況：1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（5）單層圓筒壁的導(dǎo)熱第十四頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日雖然穩(wěn)態(tài)情況，但熱流密度q與半徑r成反比！長(zhǎng)度為l的圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻：1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（5）單層圓筒壁的導(dǎo)熱第十五頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（6）N層圓筒壁的導(dǎo)熱不同材料構(gòu)成的多層圓筒壁，其導(dǎo)熱熱流量可按總溫差和總熱阻計(jì)算通過(guò)單位長(zhǎng)度圓筒壁的熱流量第十六頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日分別考慮單層圓筒壁，第三類邊界條件，穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，單位長(zhǎng)度熱阻1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（6）N層圓筒壁的導(dǎo)熱由單層圓筒壁考慮多層圓筒壁，見左公式第十七頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于平壁在平壁上敷上絕熱層后，熱阻:對(duì)于圓筒壁在管道外敷上絕熱層后，熱阻：討論：

(1)對(duì)于平壁，敷上絕熱層后，熱阻增加，散熱量減少；

(2)對(duì)于圓筒壁，當(dāng)管道和絕熱材料選定后，RL僅是dx（絕熱層外徑）的函數(shù)。當(dāng)dx增大時(shí)，增大，減小，總熱阻的情況比較復(fù)雜。1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（7）臨界絕熱層直徑第十八頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)管道和絕熱材料選定后，RL僅是dx（絕熱層外徑）的函數(shù)。求極值：

將RL對(duì)dx求導(dǎo)，并令其等于0。1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（7）臨界絕熱層直徑第十九頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（7）臨界絕熱層直徑繼續(xù)求RL對(duì)dx的二階導(dǎo)數(shù)，可得:說(shuō)明dc為是總熱阻的極小值，即此時(shí)熱損失最大。說(shuō)明：(1)管道外徑d2<dc時(shí)，外加絕熱層,熱損失在增大，直到d=dc；繼續(xù)增加絕熱層，熱損失在降低，但還是高于初始熱損失；當(dāng)d=d3時(shí)，增加絕熱層，才會(huì)真正減少熱損失。(2)若管道外徑d2>dc，則增加絕熱層，可以減小熱損失。第二十頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（8）關(guān)于圓筒壁的例題例題5：有一半徑為R，具有均勻內(nèi)熱源、導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)的長(zhǎng)圓柱體。假定圓柱體表面溫度為tw，內(nèi)熱源強(qiáng)度為qv，圓柱體足夠長(zhǎng)，可以認(rèn)為溫度僅沿徑向變化，試求穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)圓柱體內(nèi)溫度分布。解：對(duì)于一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，柱坐標(biāo)系的導(dǎo)熱微分方程簡(jiǎn)化得到，即:第二十一頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日兩個(gè)邊界條件中：一個(gè)為r=R時(shí)，t=tw，由于內(nèi)熱源均勻分布，圓柱體表面溫度均為tw，圓柱體內(nèi)溫度分布對(duì)稱于中心線，另一個(gè)邊界條件可表示為r=0時(shí)，dt/dr=0。將微分方程分離變量后兩次積分，結(jié)果為根據(jù)邊界條件，在r=0時(shí)，dt/dr=0。可得C1=0；利用另一個(gè)邊界條件，在r=R時(shí)，t=tw，可得1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（8）關(guān)于圓筒壁的例題圓柱體內(nèi)溫度分布第二十二頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（8）關(guān)于圓筒壁的例題例題6：高爐熱風(fēng)管道由四層組成：最內(nèi)層為粘土磚，中間依次為硅藻土磚和石棉板，最外層為鋼板。厚度分別為(mm)：s1=115；s2=230；s3=10；s4=10，導(dǎo)熱系數(shù)分別為(W/m℃)：λ1=1.3；λ2=0.18；λ3=0.22；λ4=52。熱風(fēng)管道內(nèi)徑d1=1m，熱風(fēng)平均溫度為1000℃，與內(nèi)壁的給熱系數(shù)α1=31W/m2℃，周圍空氣溫度為20℃，與風(fēng)管外表面間的給熱系數(shù)為10.5W/m2℃，試求每米熱風(fēng)管長(zhǎng)的熱損失。第二十三頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（8）關(guān)于圓筒壁的例題解：已知d1=1m；d2=d1+2s1=1+0.23=1.23m；d3=d2+2s2=1.23+0.46=1.69m；d4=d3+2s3=1.69+0.02=1.71m；d5=d4+2s4=1.71+0.02=1.73m。tf1=1000℃；tf2=20℃可求出每米管長(zhǎng)的熱損失為：第二十四頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（8）關(guān)于圓筒壁的例題例題7：熱介質(zhì)在外徑為d2=25mm的管內(nèi)流動(dòng)，為減少熱損失，在管外敷設(shè)絕熱層，試問(wèn)下列二種絕熱材料中選用哪一種合適：(1)石棉制品，λ=0.14W/m℃；(2)礦渣棉，λ=0.058W/m℃。假定絕熱層外表面與周圍空氣之間的給熱系數(shù)α2=9W/m2℃。解：計(jì)算石棉制品和礦渣棉臨界絕熱層直徑分別為上述條件下用石棉制品作絕熱層時(shí)，因d石棉>d礦熱棉，敷設(shè)絕熱層，熱損失將增加，故不合適。而用礦渣棉作絕熱層時(shí)，d石棉<d礦熱棉，所以是合適的。

第二十五頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日小結(jié)導(dǎo)熱微分方程、傅立葉定律在求解一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的應(yīng)用。對(duì)于沒有內(nèi)熱源的情況：對(duì)于一維平壁：

單層：溫度分布；熱通量；單位面積熱阻：（1）導(dǎo)熱熱阻S/λ;

（2）對(duì)流給熱熱阻1/α

多層：溫度分布；熱通量；界面溫度的求解；單位面積熱阻:（1）導(dǎo)熱熱阻（2）對(duì)流給熱熱阻1/α第二十六頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日小結(jié)對(duì)于一維圓筒壁：?jiǎn)螌樱簻囟确植?；熱流量；單位長(zhǎng)度熱阻:（1）導(dǎo)熱熱阻（2）對(duì)流給熱熱阻多層：溫度分布；熱流量；界面溫度的求解；單位長(zhǎng)度熱阻:（1）導(dǎo)熱熱阻（2）對(duì)流給熱熱阻對(duì)于有內(nèi)熱源的情況：溫度分布，熱通量或熱流量均不為常數(shù)熱阻分析法的適用范圍：一維、穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源的情況。臨界絕熱層：第二十七頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日內(nèi)容結(jié)構(gòu)2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（1）定義及分類（2）溫度變化的不同階段（3）溫度分布和熱量變化（4）學(xué)習(xí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的目的（5）兩個(gè)相似準(zhǔn)數(shù)3薄材的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（1）定義（2）溫度分布（3）熱流量（4）集總參數(shù)法的應(yīng)用條件（5）例題4半無(wú)限大的物體

（1）求解（2）查圖（3）例題1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

（1）概述（2）單層平壁的導(dǎo)熱（3）多層平壁的導(dǎo)熱（4）關(guān)于平壁的例題（5）單層圓筒壁的導(dǎo)熱（6）N層圓筒壁的導(dǎo)熱（7）關(guān)于圓筒壁的例題（1）概念（2）求解過(guò)程（3）例題5

有限厚物體的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

第二十八頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（1）定義及分類非穩(wěn)態(tài)：t=f(r,τ)非穩(wěn)態(tài)的分類：周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，即物體的溫度隨時(shí)間而作周期性的變化；瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，物體的溫度隨時(shí)間的推移逐漸趨近于恒定的值。著重討論瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。第二十九頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（2）溫度變化和不同階段溫度變化：隨時(shí)間變化。兩個(gè)不同的階段：非正規(guī)狀況階段(不規(guī)則情況階段)→溫度分布主要受初始溫度分布控制；正規(guī)狀況階段(正常情況階段)→溫度分布主要取決于邊界條件及物性。導(dǎo)熱過(guò)程的三個(gè)階段：非正規(guī)狀況階段(起始階段)、正規(guī)狀況階段、新的穩(wěn)態(tài)。第三十頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（3）溫度分布和熱量變化

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度分布非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的熱量變化Φ1－－板左側(cè)導(dǎo)入的熱流量Φ2－－板右側(cè)導(dǎo)出的熱流量第三十一頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（4）學(xué)習(xí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的目的溫度分布和熱流量分布隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的導(dǎo)熱微分方程式求解方法：分析解法、近似分析法、數(shù)值解法分析解法：分離變量法、積分變換、拉普拉斯變換；

近似分析法：集總參數(shù)法、積分法；

數(shù)值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子動(dòng)力學(xué)模擬；第三十二頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（5）兩個(gè)相似準(zhǔn)數(shù)影響物體溫度變化速度的熱物性參數(shù)有λ、ρ、cp、a等。主要的準(zhǔn)數(shù)有：傅立葉準(zhǔn)數(shù)和畢渥準(zhǔn)數(shù)。傅立葉數(shù)：分母表示邊界上發(fā)生的熱擾動(dòng)擴(kuò)散到s2面積上所需的時(shí)間。Fo越大，熱擾動(dòng)就能越深入地傳播到物體內(nèi)部，因而，物體各點(diǎn)的溫度就越接近周圍介質(zhì)的溫度。傅立葉數(shù)反映了無(wú)量綱的時(shí)間對(duì)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的影響。對(duì)于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，F(xiàn)o沒有意義。第三十三頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（5）兩個(gè)相似準(zhǔn)數(shù)tfhtfhxt0畢渥準(zhǔn)數(shù)是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱中另外一個(gè)非常重要的準(zhǔn)數(shù)。問(wèn)題的分析(以第三類邊界條件為重點(diǎn))

如圖所示，存在兩個(gè)換熱環(huán)節(jié):a.流體與物體表面的對(duì)流換熱環(huán)節(jié)，rh=1/h；b.物體內(nèi)部的導(dǎo)熱rλ=δ/λ；畢渥數(shù)的定義：Bi數(shù)對(duì)溫度分布的影響：當(dāng)Bi→∞時(shí)，rλ>>rh，因此，可以忽略對(duì)流換熱熱阻；當(dāng)Bi→0時(shí)，rλ<<rh，因此，可以忽略導(dǎo)熱熱阻。第三十四頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日Bi準(zhǔn)數(shù)對(duì)無(wú)限大平壁溫度分布的影響

由于面積熱阻與導(dǎo)熱熱阻的相對(duì)大小的不同，平板中溫度場(chǎng)的變化會(huì)出現(xiàn)以下三種情形：2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（5）兩個(gè)相似準(zhǔn)數(shù)第三十五頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)1/h<<δ/λ,Bi→∞，這時(shí)，由于表面對(duì)流換熱熱阻1/h幾乎可以忽略，因而過(guò)程一開始平板的表面溫度就被冷卻到t∞。并隨著時(shí)間的推移，整體地下降，逐漸趨近于t∞

。

當(dāng)δ/λ<<1/h，Bi→0，這時(shí)，平板內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻δ/λ幾乎可以忽略，因而任一時(shí)刻平板中各點(diǎn)的溫度接近均勻，并隨著時(shí)間的推移，整體地下降，逐漸趨近于t∞。2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（5）兩個(gè)相似準(zhǔn)數(shù)第三十六頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日δ/λ與1/h的數(shù)值比較接近,

這時(shí)，平板中不同時(shí)刻的溫度分布介于上述兩種極端情況之間。

由此可見，上述兩個(gè)熱阻的相對(duì)大小對(duì)于物體中非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度場(chǎng)的變化具有重要影響。為此，我們引入表征這兩個(gè)熱阻比值的無(wú)量綱數(shù)畢渥數(shù)。2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（5）兩個(gè)相似準(zhǔn)數(shù)第三十七頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日內(nèi)容結(jié)構(gòu)2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（1）定義及分類（2）溫度變化的不同階段（3）溫度分布和熱量變化（4）學(xué)習(xí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的目的（5）兩個(gè)相似準(zhǔn)數(shù)3薄材的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（1）定義（2）溫度分布（3）熱流量（4）集總參數(shù)法的應(yīng)用條件（5）例題4半無(wú)限大的物體

（1）求解（2）查圖（3）例題1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

（1）概述（2）單層平壁的導(dǎo)熱（3）多層平壁的導(dǎo)熱（4）關(guān)于平壁的例題（5）單層圓筒壁的導(dǎo)熱（6）N層圓筒壁的導(dǎo)熱（7）關(guān)于圓筒壁的例題（1）概念（2）求解過(guò)程（3）例題5

有限厚物體的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

第三十八頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日3薄材的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（1）定義薄材的內(nèi)部熱阻可忽略，其溫度場(chǎng)與空間坐標(biāo)無(wú)關(guān)，只是時(shí)間的函數(shù)，即t=f(τ)，因此也稱為零維問(wèn)題。薄材不是一個(gè)純幾何概念，判斷物體是否為薄材的標(biāo)準(zhǔn)是Bi。例：粘土磚和鋼板分別厚2cm和20cm，λ分別為1.3W/m·℃和52W/m·℃，與空氣的換熱系數(shù)α分別為31W/m2·℃和10.5W/m2·℃，問(wèn)哪個(gè)是薄材？解：Bi粘土磚＝0.477，Bi鋼板＝0.004第三十九頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日3薄材的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（2）溫度分布設(shè)有一任意形狀，可忽略內(nèi)部熱阻的物體，其體積為V，表面積為F，初始溫度為t0=常數(shù)。突然將該物體置于溫度為tf的介質(zhì)中（設(shè)tf>t0），已知物體的熱物性參數(shù)均為常數(shù)，介質(zhì)與物體表面的換熱系數(shù)為α。則：微分方程為：初始條件為：τ=0，t=t0引入過(guò)余溫度：θ=t-tf第四十頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日3薄材的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（2）溫度分布由此可見，描述薄材導(dǎo)熱的微分方程是一常微分方程，它的求解要比偏微分方程的求解簡(jiǎn)單得多。為了便于分析，令θ=t-tf，并令，則有相應(yīng)的初始條件為τ=0，θ=t0-tf=θ0求解這一微分方程得θ=Ce-mτ根據(jù)初始條件很容易得到C=θ0第四十一頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日3薄材的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（2）溫度分布求解上面微分方程得：薄材在對(duì)流邊界條件下加熱（或冷卻）時(shí)，物體中溫度隨時(shí)間呈指數(shù)函數(shù)變化。溫度變化的快慢與物體的導(dǎo)熱系數(shù)無(wú)關(guān)，只隨物性參數(shù)c、ρ，表面換熱條件α和幾何特性（V/F）而改變。第四十二頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日3薄材的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（2）溫度分布則：式中，BiV和FoV準(zhǔn)數(shù)中的定型尺寸為V/F。方程中指數(shù)的量綱：第四十三頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日3薄材的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（2）溫度分布則有：上式表明：當(dāng)傳熱時(shí)間等于時(shí)，物體的過(guò)余溫度已經(jīng)達(dá)到了初始過(guò)余溫度的36.8％。稱為時(shí)間常數(shù)，用τc表示。第四十四頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日3薄材的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（2）溫度分布若導(dǎo)熱體的熱容量（cρV）小、換熱條件好（α大），即時(shí)間常數(shù)(cρV/αF)小，則導(dǎo)熱體的溫度變化快。對(duì)于測(cè)溫的熱電偶節(jié)點(diǎn)，時(shí)間常數(shù)越小，熱電偶對(duì)流體溫度變化的響應(yīng)越快。這是測(cè)溫技術(shù)所需要的。第四十五頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日3薄材的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（3）熱流量瞬態(tài)熱流量：導(dǎo)熱體在時(shí)間0-τ內(nèi)與周圍介質(zhì)交換的總熱量：導(dǎo)熱體被加熱和冷卻時(shí)，計(jì)算公式相同。（為什么？）第四十六頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日3薄材的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—式中，M是考慮BiV準(zhǔn)數(shù)中定型尺寸用V/F表示的一個(gè)系數(shù)。對(duì)于不同幾何形狀的物體，V/F和M的取值如下表：（4）集總參數(shù)法的應(yīng)用條件物體形狀V/F M無(wú)限大平板（厚2s）s1無(wú)限長(zhǎng)圓柱體（半徑R）R/21/2球體（半徑R）R/31/3第四十七頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日例題1

將初始溫度為80℃，直徑為20mm的銅棒突然置于溫度為20℃，流速為12m/s的風(fēng)道中，5min后銅棒溫度降到34℃。試計(jì)算氣體與銅棒的換熱系數(shù)α？已知銅棒的ρ=8954kg/m3，c=383.1J/kg·℃，λ=386W/m·℃。解：假定銅棒的冷卻過(guò)程可按薄材處理。由有：3薄材的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（5）例題第四十八頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日然后核算BiV：由此可見，按薄材處理是合理的。到目前為止，求解α的方法:(1)根據(jù)定義；

(2)根據(jù)薄材公式。3薄材的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—（5）例題第四十九頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日內(nèi)容結(jié)構(gòu)2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（1）定義及分類（2）溫度變化的不同階段（3）溫度分布和熱量變化（4）學(xué)習(xí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的目的（5）兩個(gè)相似準(zhǔn)數(shù)3薄材的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（1）定義（2）溫度分布（3）熱流量（4）集總參數(shù)法的應(yīng)用條件（5）例題4半無(wú)限大的物體

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有限厚物體的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

（1）求解（2）查圖（3）例題1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

（1）概述（2）單層平壁的導(dǎo)熱（3）多層平壁的導(dǎo)熱（4）關(guān)于平壁的例題（5）單層圓筒壁的導(dǎo)熱（6）N層圓筒壁的導(dǎo)熱（7）關(guān)于圓筒壁的例題（1）概念（2）求解過(guò)程（3）例題第五十頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日半無(wú)限大物體是指受熱面位于x=0處，而厚度為x=+∞的物體。在工程上，對(duì)一個(gè)有限厚的物體，當(dāng)界面上發(fā)生溫度變化，而在我們所考慮的時(shí)間范圍內(nèi)，其影響深度遠(yuǎn)小于物體本身厚度時(shí)，該物體可視為半無(wú)限大物體。即，所研究物體是否可以看做半無(wú)限大物體，受時(shí)間和坐標(biāo)兩個(gè)因素的影響。求解半無(wú)限大物體。有一初始溫度（t0）均勻，熱物性參數(shù)為常數(shù)，無(wú)內(nèi)熱源的半無(wú)限大物體，加熱開始時(shí)表面（x=0處）溫度突然升至tw，并保持不變，求物體內(nèi)的溫度分布。4半無(wú)限大的物體—（1）概念第五十一頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日微分方程：初始條件：τ=0，0≤x≤∞，t=t0邊界條件：τ>0，x=0，t=tw

τ>0，x=∞，t=t0

解得：三個(gè)量x、t、τ，已知其中任意兩個(gè)，便可求得第三個(gè)量。4半無(wú)限大的物體—（2）求解過(guò)程——稱為高斯誤差函數(shù)第五十二頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)時(shí)，即t=t0。表明在x處的溫度尚未變化，仍為初始溫度t0。

(1)確定經(jīng)過(guò)τ時(shí)間后壁內(nèi)溫度開始變化的距離；

(2)確定x處溫度開始變化所需的時(shí)間。τ時(shí)刻通過(guò)表面(x=0處)的導(dǎo)熱通量?！獞?yīng)用傅立葉定律。τ=0到τ=τ時(shí)間內(nèi)，在x=0處通過(guò)單位表面積的總熱量。4半無(wú)限大的物體—（2）求解過(guò)程第五十三頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日例題2

用熱電偶測(cè)得高爐基礎(chǔ)內(nèi)某點(diǎn)的溫度為350℃，測(cè)定時(shí)間離開爐120h，若爐缸底部表面溫度為1500℃，爐基材料的熱擴(kuò)散系數(shù)為0.002m2/h，爐基開始溫度為20℃，求爐缸底部表面到該測(cè)溫點(diǎn)的距離。解：高爐基礎(chǔ)可視為半無(wú)限大物體，界面(x=0處)為爐缸底部表面。因?yàn)橐阎砻鏈囟龋适堑谝活愡吔鐥l件的問(wèn)題。已知：t0=20℃；tw=1500℃；t=350℃，根據(jù)半無(wú)限大公式可以計(jì)算出高斯誤差函數(shù)：4半無(wú)限大的物體—（3）例題第五十四頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日首先計(jì)算Biv判斷熱電偶接點(diǎn)是否為薄材。由相關(guān)數(shù)據(jù)表可查得：當(dāng)4半無(wú)限大的物體—（3）例題第五十五頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日例題31650℃的鋼水很快注入一直徑為3m，高度為3.6m的鋼包，鋼包初始壁溫均勻?yàn)?50℃，包內(nèi)鋼水深度為2.4m。已知包壁材料的熱物性參數(shù)為：λ=1.04W/m·℃,ρ=2700kg/m3，cp=1.25kJ/kg·℃。試求在開始15min內(nèi)：(1)由于導(dǎo)熱傳入包壁的熱量；(2)包壁內(nèi)熱量傳遞的距離。解：假定鋼包壁可視作半無(wú)限大物體，在鋼水和包壁界面(x=0)處溫度不變，恒為鋼水溫度。一般來(lái)說(shuō)，包壁厚度與鋼包直徑相比很小，可按平壁處理。4半無(wú)限大的物體—（3）例題第五十六頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日由此可見，開始15min內(nèi)，熱量傳遞的距離比一般鋼包壁的耐火材料厚度小，故按半無(wú)限大物體計(jì)算是可以的。開始15min內(nèi)傳入包壁的熱量為：由熱量傳遞距離可計(jì)算得：4半無(wú)限大的物體—（3）例題第五十七頁(yè)，共六十七頁(yè)，2022年，8月28日內(nèi)容結(jié)構(gòu)2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（1）定義及分類（2）溫度變化的不同階段（3）溫度分布和熱量變化（4）學(xué)習(xí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的目的（5）兩個(gè)相似準(zhǔn)數(shù)3薄材的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（1）定義（2）溫度分布（3）熱流量（4）集總參數(shù)法的應(yīng)用條件（5）例題4半無(wú)限大的物體

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有限厚物體的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

（1）求解（2）查圖（3）例題1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

（1）概述（2）單層平壁的導(dǎo)熱（3）多層平壁的導(dǎo)熱（4）關(guān)于平壁的例題（5）單層圓筒壁的導(dǎo)熱（6）N層圓筒壁的導(dǎo)熱（7）關(guān)于圓筒壁的例題（1）概念