汕頭市2023年一模理科數(shù)學(xué)試題及答案

絕密★啟用前試卷類(lèi)型：A2023年汕頭市普通高考第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試題卷共5頁(yè)，23題〔含選考題〕。全卷總分值150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘?？记绊氈?．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。用2B鉛筆將答題卡上試卷類(lèi)型A后的方框涂黑。 2．選擇題的作答：每題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。 3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。 4．選考題的作答：先把所選題目的題號(hào)在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑。答案寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。5．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第一卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，總分值60分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。1．集合，，那么=A． B． C． D．2．假設(shè)實(shí)數(shù)滿足〔為虛數(shù)單位〕，那么A． B． C． D．3．甲、乙兩人參加“社會(huì)主義核心價(jià)值觀〞知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為和，且兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，那么兩人中恰有一個(gè)人獲得一等獎(jiǎng)的概率是A． B．C． D．4．假設(shè)SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的值為A． B． C． D．5．上海浦東新區(qū)2023年生產(chǎn)總值約3151億元人民幣，如果從此浦東新區(qū)生產(chǎn)總值的年增長(zhǎng)率為10.5%，求浦東新區(qū)最早哪一年的生產(chǎn)總值超過(guò)8000億元人民幣？某同學(xué)為解答這個(gè)問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)程序框圖，如圖1，但不慎將此框圖的一個(gè)處理框中的內(nèi)容污染而看不到了，那么此框圖中因被污染而看不到的內(nèi)容的數(shù)學(xué)運(yùn)算式應(yīng)是A． B． C． D．〔圖1〕〔圖2〕6．汽車(chē)的“燃油效率〞是指汽車(chē)每消耗1升汽油行駛的里程，如圖2，描述了甲、乙、丙三輛汽車(chē)在不同速度下的燃油效率情況．以下表達(dá)中正確的選項(xiàng)是A．消耗1升汽油，乙車(chē)最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車(chē)中，甲車(chē)消耗汽油最多C．甲車(chē)以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D．某城市機(jī)動(dòng)車(chē)最高限速80千米/小時(shí)，相同條件下，在該市用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油7．平行四邊形中，，，，點(diǎn)在邊上，那么的最大值為A．2B．C.0D．8．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，那么A． B．的周期為C．的最大值為4 D．9．三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，，假設(shè)三棱錐體積的最大值為2，那么球的外表積為A． B．C． D．10．雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過(guò)作的垂線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，過(guò)、分別作、的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，假設(shè)到直線的距離小于，那么雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是A．B．C．D．〔圖3〕〔圖3〕11．如圖3，畫(huà)出的是某四棱錐的三視圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么該幾何體的體積為A．15B．16C.D．12．、都是定義域?yàn)榈倪B續(xù)函數(shù)．：滿足：①當(dāng)時(shí)，恒成立；②都有．滿足：①都有；②當(dāng)時(shí)，．假設(shè)關(guān)于的不等式對(duì)恒成立，那么的取值范圍是A． B．C．D．第二卷本卷包括必考題和選考題兩局部。第13~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22~23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：此題共4小題，每題5分。13．的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，那么該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________．14．橢圓的左右焦點(diǎn)是、，設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，在上的投影的大小恰好為，且它們的夾角為，那么橢圓的離心率為_(kāi)_________．15．假設(shè)平面區(qū)域夾在兩條平行直線之間，那么當(dāng)這兩條平行直線間的距離最短時(shí)，它們的斜率是__________．16．在中，且，邊上的中線長(zhǎng)為，那么的面積是__________．三、解答題：解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．〔本小題總分值12分〕數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，．〔1〕求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．〔本小題總分值12分〕〔圖4〕如圖4，多面體中，面為正方形，，，，二面角的余弦值為，且．〔圖4〕〔1〕證明：平面平面；〔2〕求平面與平面所成銳二面角的余弦值．19．〔本小題總分值12分〕某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸x〔mm〕之間近似滿足關(guān)系式〔b、c為大于0的常數(shù)〕．按照某項(xiàng)指標(biāo)測(cè)定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品．現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：尺寸x〔mm〕384858687888質(zhì)量y(g)16.818.820.722.42425.5質(zhì)量與尺寸的比0.4420.3920.3570.3290.3080.290〔1〕現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，記為取到優(yōu)等品的件數(shù)，試求隨機(jī)變量的分布列和期望；〔2〕根據(jù)測(cè)得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：75.324.618.3101.4〔ⅰ〕根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量，求y關(guān)于x的回歸方程；〔ⅱ〕優(yōu)等品的收益〔單位：千元〕與的關(guān)系為，那么當(dāng)優(yōu)等品的尺寸x為何值時(shí)，收益的預(yù)報(bào)值最大？〔精確到0.1〕附：對(duì)于樣本，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，.20．〔本小題總分值12分〕拋物線的焦點(diǎn)為，直線交于兩點(diǎn)．〔1〕假設(shè)直線過(guò)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，求證：點(diǎn)的軌跡為的準(zhǔn)線；〔2〕假設(shè)直線的斜率為，是否存在拋物線，使得且的面積為，假設(shè)存在，求的方程；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.21．〔本小題總分值12分〕函數(shù)，其中．〔1〕設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，討論的單調(diào)性；〔2〕證明：存在，使得恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解．請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答．作答時(shí)一定要用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑(都沒(méi)涂黑的視為選做第22題)。22．〔本小題總分值10分〕選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．〔1〕求曲線的極坐標(biāo)方程；〔2〕射線與曲線，分別交于，兩點(diǎn)〔異于原點(diǎn)〕，定點(diǎn)，求的面積.23．〔本小題總分值10分〕選修4-5：不等式選講函數(shù)．〔1〕假設(shè)，求不等式的解集；〔2〕關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2023年汕頭市普通高考第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第一卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，總分值60分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。題號(hào)123456789101112答案ABDBBDACDBCD第二卷本卷包括必考題和選考題兩局部。第13~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22~23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：此題共4小題，每題5分。題號(hào)13141516答案或說(shuō)明：15題只答一個(gè)數(shù)不給分〔即得0分〕三、解答題：解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．〔本小題總分值12分〕〔1〕法一：∵，∴-----------------2分又∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列------------------------3分∴，即：---------------4分當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴，------------------6分法二：，即①故②②-①得：化簡(jiǎn)得：-----------------2分又由①可知，即是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，-----------------3分-----------------4分，-----------------5分是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列.-----------------6分〔2〕法一：解：由〔Ⅰ〕得：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么-----------7分記，數(shù)列的前項(xiàng)和為當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，∴---------------------11分∴----------------------12分法二：由〔1〕知設(shè)，①那么②-②得------------8分-----------------10分又，-----------------11分，-----------------12分法三：由〔1〕知：由〔1〕知-----------------8分-----------------10分又，-----------------11分-----------------12分18．〔本小題總分值12分〕〔1〕證明：∵，，，由勾股定理得：--------1分又正方形中，……2分且，∴面----3分∵面，∴平面平面----4分〔注：第〔1〕只有一種證明方法，必須前面兩個(gè)線線垂直和都出現(xiàn)，下面的3、4分才能給分，只寫(xiě)一個(gè)，此題只給1分。上面一個(gè)垂直各占1分?！场?〕解：由〔Ⅰ〕知是二面角的平面角……5分作于，那么，由平面平面，平面平面，面得：面------6分〔第6分給在OE=2上，如果后面E的坐標(biāo)寫(xiě)對(duì)，也可給這1分〕如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，那么、、、∴的一個(gè)方向向量---7分設(shè)面的一個(gè)法向量，那么，……8分取，得：-----9分〔注：其他法向量坐標(biāo)可按比例正確給，比方之類(lèi)，也是正確的〕又面一個(gè)法向量為：---10分∴----11分設(shè)面與面所成二面角為，由為銳角得：----12分〔注：最后需要根據(jù)條件作答案為“正值〞的說(shuō)明，只算法向量答案，不做文字說(shuō)明，扣1分。〕〔第〔2〕問(wèn)解法2〕∵∴〔〕……7分設(shè)面的一個(gè)法向量，那么……8分令，得，……9分〔后面步驟相同〕〔第〔2〕問(wèn)解法3〕以D點(diǎn)建系的解法，求出來(lái)的法向量與以上建系的坐標(biāo)一樣?！驳凇?〕問(wèn)解法4：幾何法〕連結(jié)BD，延長(zhǎng)CB至G，使得GB=BC=2，連結(jié)GA并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于H，連結(jié)EH過(guò)C作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，連結(jié)BK……5分∵B為CG中點(diǎn)，AB//CD∴A為GH中點(diǎn)，∴HD=CD=4∴BD//GH∴GH//EF，∴H、A、G、E、F共面……6分由〔1〕知∴又∵∴∴為所求二面角的一個(gè)平面角……8分∵而∴……9分∴……10分∴……11分GHK∵為銳角∴面與面GHK所成二面角的銳角余弦值為……12分19．〔本小題總分值12分〕〔1〕解：由，優(yōu)等品的質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)，即那么隨機(jī)抽取的6件合格產(chǎn)品中，有3件為優(yōu)等品，3件為非優(yōu)等品-----------1分現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，那么取到優(yōu)等品的件數(shù)--------2分，，(算對(duì)兩個(gè)給1分)，----------------------------3分的分布列為----------------------------4分----------------------------5分〔2〕解：對(duì)〔〕兩邊取自然對(duì)數(shù)得，令，得，且，----------------------------6分〔ⅰ〕根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量及最小二乘估計(jì)公式有，----------------------------7分，得，故----------------------8分所求y關(guān)于x的回歸方程為----------------------------9分〔ⅱ〕由〔ⅰ〕可知，，那么由優(yōu)等品質(zhì)量與尺寸的比，即----10分令，當(dāng)時(shí)，取最大值----------------------------12分即優(yōu)等品的尺寸〔mm〕，收益的預(yù)報(bào)值最大.20．〔1〕證明：依題意得，直線的斜率存在，過(guò)焦點(diǎn)，故設(shè)其方程為：，設(shè)點(diǎn),，由得：，那么---------------------------2分直線，直線----------------------------3分由得：，----------------------------4分又由直線的斜率存在，可得，故點(diǎn)的軌跡在的準(zhǔn)線上().----------------------------5分證法二：依題意得，直線的斜率存在，過(guò)焦點(diǎn)，故設(shè)其方程為：，設(shè)點(diǎn),，由得：，那么---------------------------2分過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，與的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，而直線，---------3分將代入直線方程得，即直線也過(guò)點(diǎn)，---------4分又由直線的斜率存在，可得，故點(diǎn)的軌跡在的準(zhǔn)線上().----------------------------5分〔注：因?yàn)轭}目是證明，故沒(méi)有說(shuō)明不扣分〕〔2〕解：由，設(shè)，設(shè)、，那么，由，得----------------------------6分由得：，那么，，------------7分∴由得：----------------------------8分∴---------------------------9分又點(diǎn)到直線的距離為----------------------------10分∴由得：----------------------------11分故存在拋物線滿足條件.----------------------------12分解法二：由，設(shè)，設(shè)、，那么，由，得----------------------------6分由得：，那么，，------------7分∴由得：----------------------------8分直線在軸上的縱截距為，∴由，---10分解得----------------------------11分故存在拋物線滿足條件.----------------------------12分21．〔本小題總分值12分〕〔1〕解：由，函數(shù)的定義域?yàn)椋?-----1分所以----------------------------2分當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減----------------------------3分當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增----------------------------4分〔2〕證明：由，解得---------------------5分令-------6分那么于是，存在，使得----------------------------7分令----------------------------8分由〔Ⅰ〕知：，即------------------9分當(dāng)時(shí)，有由〔Ⅰ〕知，在區(qū)間上單調(diào)遞增故：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，----------------------------10分又當(dāng)時(shí)，．所以，當(dāng)時(shí)，.----------------------------11分綜上述，存在，使得恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解--12分22．〔本小題總分值10分〕選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程〔1〕解：曲線的直角坐標(biāo)方程為：----------------------------------------2分(有轉(zhuǎn)化正確，但最終寫(xiě)錯(cuò)，可給1分)由，得：曲線的極坐標(biāo)方程為．-------------------------------4分〔沒(méi)有給