2022年八年級(jí)數(shù)學(xué)下《二次根式計(jì)算100題（培優(yōu)）》專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)題-帶解析

八年級(jí)數(shù)學(xué)下-專(zhuān)題:16.12二次根式計(jì)算100題（培優(yōu)篇）（專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)）

(3V12-6,1-+748)4-273

1.計(jì)算：V3

2.計(jì)算:

巫+糜

⑴6-4;

⑵(2-V2)2X(6+4>/2).

3&-2丫+5叵X娓-底

3.計(jì)算⑴A

⑵(2石-I)2+(石+2)(石-2)°_?T

4.⑴計(jì)算：2歷-3>/^+百

（向2_辰反+層\佟

（2）計(jì)算：V5V5

3屈+亞x2乙+0

5.（1）計(jì)算：V36.

⑵計(jì)算及6X癢分卷.

6,計(jì)算:伊+2）。2，（鳳2戶(hù)+取-6）

7.計(jì)算

2亞+2廊+4,；

(1)

（2）伊+奐-后＞a+2）+即-4卜（后-J

8.計(jì)算：

J--3>/40+1070J

⑴丫5；

(++卜一四一(7_2)。+戊

9.解下列各題

2>/18-7./-

計(jì)算：⑴V8.

78x7124-173

⑵2；

1

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(^--3)°+(-r'-V6xV3-|V2-2|

⑶3；

⑷(G+72)(73-0)-(若-1)2.

1__1_

10.已知x=3+2及，尸：3-2啦.

⑴求/+/+燈的值；

(2)若x的小數(shù)部分是勿,y的小數(shù)部分是〃，求("+〃)2—標(biāo)F的值.

11.閱讀材料:小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平

方.如3+2拉=。+及)［善于思考的小明進(jìn)行了以下探索,若設(shè)a+b

2

&=(機(jī)+〃歷=m+2/+2rme(其中，&&m,〃均為整數(shù))，則有a=^+2成6=2甌這

樣小明就找到一種把類(lèi)似界6貶的式子化為平方式的方法.請(qǐng)你依照小明的方法探索并解

決下列問(wèn)題：

⑴若敬心=⑺+〃幣)二當(dāng)a,b,m,n均為整數(shù)時(shí),用含網(wǎng)〃的式子分別表示a",得：

a=,b=.

⑵若界6百=(5+〃G/，當(dāng)&勿，〃均為正整數(shù)時(shí)，求a的值.

(3)化簡(jiǎn)：，_4百和V5+2A/6.

12.觀察下列規(guī)律：

7(V2+1)(V2-1)=2-1=1

[=&-i「廣1廣=V3—V2

V27TV3+V2

]

(1)VH+VFo=.

[

(2)dn+1+G=；

(3)利用上面的規(guī)律計(jì)算:

1111

(V2+1+V3+V2+A/4+V3++J2021+J2020)(J2021+1).

13.計(jì)算：

V20+V5.

⑴

厄+病

⑵6;

2

第2頁(yè)共84頁(yè)

心+血-應(yīng))

⑶

2712+3748.

(4)

J^+>/28-V700

⑸

A/32-3^1+V2

(6)

14.計(jì)算：

⑴3及x2白.

712x73-5.

⑵

(M；

⑶

(V13+3)(>/13-3)

⑷

屈一出X石

⑸

Vs+VFs

~12~.

(6)

15.計(jì)算：

冬島;⑵綜近⑶(1+司(2-灼；

⑴

(4)

3V3-V75.()V23)

⑺8

16.計(jì)算：

⑴

⑶

17.

⑴

同竺+鬧_而

⑵；⑷丫2

3

第3頁(yè)共84頁(yè)

V18-￡x瓜

(2)1.(4)2A/75+V8-V27

19.計(jì)算：

3a3b

(1)a-ha-b；

a2+6a+9a+3

1-

(2)a2-4。+2?

(3)\/12^+#-8+1A/3—21.

2V18+3J-+V27

(4)V3；

⑸(忘-0>+我x26;

x-3,I

------+1=-------

⑹解方程：》一22-x.

20.計(jì)算：

⑴5加亞-石心+2)

-48+-\/3—2^^x430—^>/2—V3)

理.1/立

(2一句r(2+⑹T-2

23

(3)

21.計(jì)算：

⑴>/32x72-5.

(2)(小+》)(6-卡)；

Vi2-A/oJ-;+而

(3)

VTs—『+11—"\/21

(4)J2

(5)(V3+V7)20+乂提-(1-6)2

]

-G(G+廂+次

22.計(jì)算：a+1

23.已知》=2-6，了=2+石求代數(shù)式/+2號(hào)+/的值.

4

第4頁(yè)共84頁(yè)

研V-7一73-一1-凡3

24.計(jì)算:

25.計(jì)算：

瓦+后

⑴出

⑵（6+應(yīng)W-&）

26.計(jì)算：

（2）（3血-有）（血+2百）.

27.像口^萬(wàn)，J疾-病…這樣的根式叫做復(fù)合二次根式.有一些復(fù)合二次根式可以

借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn),如：

="3-2百+1=V（V3）2-2XV3+12=1（G）?=G-1；再如：

出+2#="3+2卡+2=J（百＞+2x卡+（揚(yáng)2=J（石+物2=百+&請(qǐng)用上述方法

探索并解決下列問(wèn)題：-

（1）化簡(jiǎn):Jl]+,，246，1’;

⑵若a+6后=（m+6）[且&見(jiàn)〃為正整數(shù),求a的值.

28.計(jì)算下列算式：

（l）（n-3）o+|^3-2-（5-百）2；

V18+10J--78+-V45

⑵V53

29.閱讀下面式子&+1（員*&一1）凡&

_96）五1一以（右一2）_亞2

■處+2如2）一,"SR-仍+2如2y^-2田

ck1N1.根據(jù)以上解法,試求：

[

（1）而7+而（〃為正整數(shù)）的值；

11111

⑵1+/V2+V3G+V?V98+5/99+而的值.

30.閱讀題

5

第5頁(yè)共84頁(yè)

i_6-i_近-i_垃八_￡i

⑴觀察、發(fā)現(xiàn)：收+1（岳1）（岳1）（V2）2-12-1

]

①試化簡(jiǎn)：G+&;

1

②直接寫(xiě)出：舊斤+?:

][]1

③直接寫(xiě)出：及+1月+啦x/4+V3^lOO+Vw

（2）已知在心0力8c中，48=8,/C=6,8。=10.

如圖（一）力。，8。，求4）的長(zhǎng).可以運(yùn)用“等面積法”解答如下：

①如圖（二），在斜邊8C上有一點(diǎn)〃DE,4B,DF,4C；若DE=DF,求DE的長(zhǎng).

解:設(shè)OE=DF=x

②如圖（三），在R捫Z8C內(nèi)有一點(diǎn)口DE±AB,DF,/C,￡）G,8C,若。E=。尸=0G,求

DE的長(zhǎng).

解：設(shè)DE-DF—DG—h

6

第6頁(yè)共84頁(yè)

E

圖(H)

-^—=>/2-i廠1」廠=

31.觀察下列各式：。2+1；V3+V2；V4+V3

(1)請(qǐng)根據(jù)以上規(guī)律,寫(xiě)出第4個(gè)式子：；

(2)請(qǐng)根據(jù)以上規(guī)律,寫(xiě)出第〃個(gè)式子：；

1111

(3)根據(jù)以上規(guī)律計(jì)算：應(yīng)+1G+&4+6J2021+J2020的值.

32.計(jì)算

(5-3)。+1)-V6xV3-|V2-2|

⑵肅+(0-胡向到

―百(有一尚)+。-6)2

33.計(jì)算：12-1

1匕=I

34.己知6-86+應(yīng)，求4為+加的值.

V48->/3+J-x712-724

35.(1)丫2

⑵(73-2712-76)x273+572

卜7^7

1；

⑵計(jì)算:伊+用->◎.

37.我們將(行+6)，(后一6)稱(chēng)為一對(duì)“對(duì)偶式”，因?yàn)?/p>

(&+函-由=(&"加=a-b,所以構(gòu)造“對(duì)偶式”再將其相乘可以有效地將

(后+后)和(而一揚(yáng))中的“《”去掉.例如：

3+百=(3+揚(yáng)(3+@=(3+揚(yáng)2=3+6G=2+6

3-6(3-V3)(3+y/3)32-(百『6.像這樣，通過(guò)分子、分母同乘以

一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去,叫做分母有理化.根據(jù)以上材料,理解并運(yùn)用材料提供的方

7

第7頁(yè)共84頁(yè)

法,解答以下問(wèn)題.

B

6+1

(D分母有理化行-1的值為；

(2)如圖所示,數(shù)軸上表示1,叵的點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)6關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,設(shè)點(diǎn)C表示的

2

X4—

數(shù)為％求X的值.

38.計(jì)算：

I-V2|+^/=8+(2020-萬(wàn))°+(-

⑴3

(V12-2705)

⑵V8V3

(3)(>/2—J12)x(V48+J18).

⑷+y/b)2+(>/a—y/b)2

39.下面是小明同學(xué)進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算的過(guò)程,認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù):

^+V28-(V7-

^+728-(77-4=)

=，4V7…第一步

—+V28^-77-728^4=

23…第二步

—+2-728x77

2…第三步

9+2一匕.第四步

近72

2…第五步

7]

⑴二次根式V、而，曲，曲中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是；

⑵以上第一步的化簡(jiǎn)中由“以“化為“"”所依據(jù)的數(shù)學(xué)公式是

(3)第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤,寫(xiě)出該式的正確運(yùn)算過(guò)程和結(jié)果.

40.計(jì)算：&+(-3)-2+門(mén)一0-(“-2)0.

8

第8頁(yè)共84頁(yè)

41.如圖,一只螞蟻從點(diǎn)/沿?cái)?shù)軸向右爬行2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)6,點(diǎn)/所表示的數(shù)為-血，設(shè)

點(diǎn)6所表示的數(shù)為m.

??8?______Lj,

_2JK?-0|2

（1）求〃的值；

（2）求|）-11+（2-應(yīng)）（4-m）的值.

42.計(jì)算：

（I）'x/Ts+（2—萬(wàn)）?！?gt;/2~+11—

（2）（10748-6727+4712）4-76

43.計(jì)算：

⑴2axm->/24；

⑵>/48+6_'xV12+y/24.

44.（>/6->/3）2->/50

45.計(jì)算：

⑴s/27x\/504-5/6.

⑵V22V3.

46.閱讀下列解題過(guò)程,并解答問(wèn)題.

]=1x（6一揚(yáng)=也-叵=石_應(yīng)

①百+&-（6+&）（石-夜）-（6>—（&）2-一.

布_癡=舊一回=（而-9而+9）=]

②一1一以（而+而）-（Vn+Vio）

[

（1）直接寫(xiě)出結(jié)果而1+石=.

]+[+]++]

⑵化簡(jiǎn)：及+iG+&"+G…Jioo+>/99.

（3）比較大?。海?017-J2016與J2016-J2015

47.計(jì)算：

⑴（1+6）（2-6）;

（2）（^5+73）XV6；

9

第9頁(yè)共84頁(yè)

⑶商+36+

V18-V32

2712-6.-+3V48

⑴V3

⑵(2V5-V2)2

?2ab-b?

50.先化簡(jiǎn)，再求值：。a-a),其中a=2+,b=2-凡

51.計(jì)算」一2間+(4-%)°-舊+(-1產(chǎn).

52.計(jì)算

V18+V22

⑴

⑵動(dòng)+病一』

(3)(75-77)(75+77)+2

4(73+V7)0+J-xV8-(l-揚(yáng)2

(4)V2

53.計(jì)算：

瓦+歷

⑴G

(2)(6-痣)2

(3)(>/6-2>/21)x-6?2

⑷血-3

54.觀察下列等式：

172-1

=^2-1；

產(chǎn)?-（及+1）（夜7）

10

第10頁(yè)共84頁(yè)

1>/3->/2

=\/3-V2；

京忑飛+五城一⑸

②

1

_"一行_瓜_A

西于陽(yáng)灼心⑹

③

回答下列問(wèn)題:

]

(D利用你觀察到的規(guī)律，化簡(jiǎn)：而+石

(2)而1+孤.(〃為正整數(shù))

(3)利用上面所揭示的規(guī)律計(jì)算：

11111

------1---------1---------!-??,+--------------1--------------

1+7272+X/3A/3+V4V2016+V2017J2017+,2018

55.已知“百+及，夕=石-亞，求殷琦+孫的值.

56.計(jì)算或化簡(jiǎn):

——+727-(73-1)°(而-3同)+、口

⑴-1；⑵.

57.先觀察下列等式，再回答問(wèn)題

①VI22211+12.

②V223222+16.

③N324233+112

(1)請(qǐng)你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息,猜想

V+197+207

(2)請(qǐng)你按照上面各等式反映的規(guī)律,試寫(xiě)出用含n的式子表示的等式5為正整數(shù)).

58.計(jì)算與化簡(jiǎn)

⑴2014。一⑵嚀?'(-J)2V

2712+3^11-^51-|-748

(3)(a-2b)(a+2b)-(a-2b)2⑷

59.⑴(兀-6)。_(_五)-；(2)V12+78-^27

11

第11頁(yè)共84頁(yè)

60.已知x=G+l,y=K-l,求十+3中+/的值.

61.觀察與計(jì)算：

也x2-^3=6-

（百+1）51）=2；

377x（-1^/7）=

3；

（2A/5+72）（275-V2）=

象上面各式左邊兩因式而為無(wú)理數(shù),右邊結(jié)果為有理數(shù),我們把符合上述等式的左邊兩個(gè)因

式稱(chēng)為互為有理化因式.當(dāng)有些分母為帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)時(shí)，我們可以分子、分母同乘分母的

2_2732736635/23>/2

有理化因式進(jìn)行化簡(jiǎn).例如：百呵3；血2&（歷2.

2_2（73-1）回

V3+1-（>/3+1）（73-I）-

7

（應(yīng)用）⑴化簡(jiǎn):①萬(wàn)；②班+庭.

1111

H1--------F…H——=-====-

（2）化簡(jiǎn)，+-----A/6+y/4Vs+\/6------J2020+J2OI8

62.計(jì)算或化簡(jiǎn)下列各題

⑴V18-J32+^.

⑵亞xVs~_VTo|+（―1）2021

63.（閱讀材料）小明在學(xué)習(xí)二次根式后,發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方,如

3+2>/2-（1+72）2.善于思考的小明進(jìn)行了以下探索:若設(shè)/Z）&=（m〃收）

』蘇+2〃+2必（其中a、b、m、〃均為整數(shù)），則有@=/+2成6=2秋這樣小明就找到了

一種把類(lèi)似外點(diǎn)的式子化為平方式的方法.請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：

（問(wèn)題解決）

（1）若砒b乖=（研n#當(dāng)a、b、m、〃均為整數(shù)時(shí)，則a=,b=.（均用含必、〃的式子表

示）

⑵若戶(hù)46=（府〃6）2,且腔小、〃均為正整數(shù)，分別求出x、加、〃的值.

（拓展延伸）

（3）化簡(jiǎn)）5+2指=.

丫_V2-1，—+1x2-4xy+y2

64.已知五+1正-1,求x+y的值

12

第12頁(yè)共84頁(yè)

計(jì)算：(遍+百一

65.1)2xJ124-；

⑵炳

6

⑶如瓦

I——V50

(4)(3)18+5

⑸S+艮@_6_石+⑹

66.觀察下面的變形規(guī)律：

—j=----=>/2—1—j=-----r==y/3—V2—y=-----r==^4-^3~r=----『=^5?^4

V2+1，V3+V2，V4+V3，V5+V4

解答下面的問(wèn)題：

1

(1)若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想而【+0=;

(2)計(jì)算：(及+1+月+&+/+G+...+J2018+j2°17)x(J2018+1)

67.小明在解方程后不一回二=2時(shí)運(yùn)用了下面的方法：由

(724-x-y/^x^24-x+V87X)=(V24-x-(VsTx^=(24-x)-(8-x)=16又由

<24-x-屏7=2可得V24-X+爐7=8,將這兩式相加可得^24-x=5,將

后？=5兩邊平方可解得x=-1,經(jīng)檢驗(yàn)x=-1是原方程的解.

請(qǐng)你參考小明的方法,解下列方程：

⑴\jx2+42+Vx2+10=16;

22

⑵V4x+6x-5+V4x-2x-5=4x

x6-yGyG+x6

x6+y?yyfx-Xy/y

68.

276

計(jì)算：

69.V3+^2—y/S.

70.計(jì)算：

1111

----------1-----------------1----------------k…-I------------------------

2+V2372+2>/34百+34100799+99V100

X2H---1-

71.已知/-3x+l=0,求X?的值.

廠一4(〃+口+4

72.已知〃=43+1,求Ia)Ia)的值.

13

第13頁(yè)共84頁(yè)

5

73.閱讀下列材料,然后回答問(wèn)題:在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí),我們有時(shí)會(huì)碰上如￡,

[22

V3x/3+l

一樣的式子,其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：

22x(百7)2(百-1)=萬(wàn)]

y/3+l~(y/3+1)(73-1)-(V3)2-12-

以上這種化筒的步驟叫做分母有理化.

2_=1_

⑴化簡(jiǎn)：G；V5；石+石；

1111

⑵化簡(jiǎn)：G+1V5+V3近+石J2019+J2017；

Vs—A/3X[5+^3yx

⑶已知石+6,石-K,求x夕的值.

74.已知。=拒+1,求。3-。2-3。+2018的值.

75.閱讀下列解題過(guò)程：

11x(一-翡)亞一氏

2

V?+V4=(>/5+>/4)(\/5--J4)_(A/5)=石-"=6-2

1lx(>/6--75)布一亞

而+V?=(V6+V5)(V6-5y5)_(>/6)2=瓜_亞

請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

[

(1)觀察上面的解題過(guò)程，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果.&+g=.

(2)利用上面提供的信息請(qǐng)化簡(jiǎn)：

1_______1___]]

5/2+1+>/3+>/2+V4+V3+...+\12.007+J2008的

x-bx-aJx+l+Jx+1+G

76.已知。一b且。+6=2,請(qǐng)化簡(jiǎn)并求值：而T+&4TT-&

77.已知y=J5—X+,x―5+9,求卜_2司一。,2_2y+]

78.觀察下列各式：

14

第14頁(yè)共84頁(yè)

(1)第④個(gè)式子為;

⑵第n-1個(gè)式子為

(3)證明你所得的結(jié)論.

a-ba+b-2\[ab

79.計(jì)算：y[a-4b

80.先閱讀下列解答過(guò)程，然后再解答：

形如+2〃的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)正數(shù)”/，使a+b=叫加"，使得+(斯『=〃?,

4a+4b=4n那么便有：小"土2&=日土亞f=8上瓜a>b)

例如:化簡(jiǎn)g+46

解:首先把g+46化為47+2小，這里加=7,〃=12,由于4+3=7,4x3=12,即：

(">+(6)2=774x5/3=712

，，

所以J7+46=77+2712=(7(74+V3)2=2+6

問(wèn)題：

①填空."+2百=__________,的+4石=

②化簡(jiǎn)："19-4而(請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程)

百-16+]

81.已知：x二2，尸2，求下列各式的值：

(l)x2-xy+y2;

上+土+2

⑵xy

82.如果記“一二一/°),并且,3)表示當(dāng)X=抗時(shí)y的值,即/(叫合汽

/⑼表示當(dāng)苫=五時(shí)y的值,即；/D

表示當(dāng)'=《時(shí)'的值，即

15

第15頁(yè)共84頁(yè)

g_1

_=___=_____

2）鵬出

(1)計(jì)算下列各式的值:

(2)當(dāng)〃為正整數(shù)時(shí)，猜想7的結(jié)果并說(shuō)明理由;

⑶求"'A/"'圖＞/閨++"鬧"I局的值.

從二五運(yùn)土近三十36

83.如圖，五邊形HBCDE中，48=。,==90］且4+8

(1)求"-/1的平方根；

(2)請(qǐng)?jiān)贑。的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)G,使得四邊形"8CG的面積與五邊形/BCDE的面積相等;

(說(shuō)明找到G點(diǎn)的方法)

⑶已知點(diǎn)尸在/C上，"http:///B交8c于〃，若尸”=6,則8"=.

84.觀察下列等式：

2=2(6-1)=2(癢1)=2(6T)=61

V3+l-(V3+l)(V3-l)-(73)2-l2-3-1-

2=2電-拒)=2(石-揚(yáng)=2(6-揚(yáng)=6_百

75+73一(石+四)(石一6)一(V5)2-(V3)2--5^3~一一

回答下列問(wèn)題：

2

⑴利用你觀察到的規(guī)律,化簡(jiǎn)：療+石；

16

第16頁(yè)共84頁(yè)

2

(2)化簡(jiǎn)：J2〃+l+j2〃-l.

2222

⑶計(jì)算：石+1石+6V7+6...V75+V73.

85.仔細(xì)閱讀以下內(nèi)容解決問(wèn)題:第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，設(shè)兩條直角邊的邊長(zhǎng)為

—ab,,

b,則面積為2,四個(gè)直角三角形面積和小于正方形的面積得：a-+b->2ab,當(dāng)且僅當(dāng)

a=6時(shí)取等號(hào).在。中，若a>0,b>0,用G、揚(yáng)代替a,b得，。+6士2瘋,

竺也2金

即2(*),我們把(*)式稱(chēng)為基本不等式.利用基本不等式我們可以求函數(shù)的最大

x2+4

y=/

G+i的最小值”為例給同學(xué)們介紹.

%?+1+32~33

y=~/=7x+l-i—/「—/>0

解：由題矢口Vx2+i收+i/2+i>o,Vx2+i

y-yjx2+1+/:>2Mx2+1?/:=2G>Jx2+1=]:

J/+i7狀+i，當(dāng)且僅當(dāng)J/+1時(shí)取等號(hào)，即

當(dāng)x=±四時(shí),函數(shù)的最小值為2方.

“*'>\[ab(a>0,b>0)

總結(jié):利用基本不等式2求最值，若必為定值，則6有最小值.

請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)以上所學(xué)的知識(shí)求下列函數(shù)的最值,并求出取得最值時(shí)相應(yīng)x的取值.

c2

y=2xH—

(1)若x>0,求函數(shù)'x的最小值；

1

y=x+----

⑵若%>2,求‘1-2的最小值；

_x+4五+13

⑶若X20,求函數(shù),4+2的最小值.

86.先閱讀,再解答：由S+"X逐一")=(⑸一(⑸=2可以看出，兩個(gè)含有二次根式

17

第17頁(yè)共84頁(yè)

的代數(shù)式相乘,積不含有二次根式,我們稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式,在進(jìn)行二次根式計(jì)

算時(shí),利用有理化因式,有時(shí)可以化去分母中的根號(hào)，例如：

]

73+72(G+&W-&)，請(qǐng)完成下列問(wèn)題:

⑴亞-1的有理化因式是

3

(2)化去式子分母中的根號(hào)：3-而.(直接寫(xiě)結(jié)果)

(3)V2019-V2018V2018-V2017(填〉或<)

(4)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算下列式子的值:

（焉+/正+尋鏟…+j2018：j2017）（師+1）

1,2石2亞

87.閱讀理解:把分母中的根號(hào)化去叫做分母有理化，例如:①右=石?后=5:②

11x（應(yīng)+1）&+]

6-1=（V2-1）（72+1）=（V2）2-l2=6+1.等運(yùn)算都是分母有理化,根據(jù)上述材料,

3

⑴化簡(jiǎn)：石一④;

1_______1___]]

（2）V2+1+■\/3+yp2.+y[i+-\/3+…+,10+V9

88.（1）觀察下列各式的特點(diǎn)：

V2-l>V3-V2

V3-V2>2-^3

2-A/3>75-2

^-2>V6-V5

根據(jù)以上規(guī)律可知：而萬(wàn)一同記V2018-V2017(填或“=").

(2)觀察下列式子的化簡(jiǎn)過(guò)程:

1_72-1

A/2+1-（V2+1）（V2-1）

V3-V2

]=V3-V2

V3+V2（后+a網(wǎng)-逝）

18

第18頁(yè)共84頁(yè)

___i__鳳VJ

=V5—

V4+V3^\/4+-^3^\/4—>/3)

]

根據(jù)觀察,請(qǐng)寫(xiě)出式子分+而開(kāi)(〃22)的化簡(jiǎn)過(guò)程.

(3)根據(jù)上面(1)(2)得出的規(guī)律計(jì)算下面的算式：

1

++

V2+1V3+V2V3+V2-V4+V3+V4+A/3-75+741"V100+799-V10f+V100

89.計(jì)算：

I-1—/—(Vs-2V2+V5Y-f—Vs'Jx—?=■

(1)般+質(zhì)-母⑵、八八)五.

90.先閱讀材料，然后回答問(wèn)題.

(1)小張同學(xué)在研究二次根式的化簡(jiǎn)時(shí),遇到了一個(gè)問(wèn)題:化簡(jiǎn)行上百.

經(jīng)過(guò)思考，小張解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程如下：

75-276=72-272^3+3①

=J(揚(yáng)2_2后x肉(揚(yáng)2②

=7(V2-V3)2③

=夜-百④

在上述化簡(jiǎn)過(guò)程中，第步出現(xiàn)了錯(cuò)誤,化簡(jiǎn)的正確結(jié)果為；

(2)請(qǐng)根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡(jiǎn)①川3-2商.②或+46.

1__1_

91.已知：3=石+石，爐石-6,求〃的值.

92.計(jì)算：

V12-V27+J-

⑴丫3

(26-136+1>(1+GJ(1-6)

、乙)

V12+-3——4J--2+3

93.計(jì)算：6Tg

94.(1)若實(shí)數(shù)m、n滿(mǎn)足等式W-2|+J〃-4=0,求2m+3n的平方根；

⑵已知此24+J24-X-8,求毛-5了的值.

95.計(jì)算:

19

第19頁(yè)共84頁(yè)

(i)Q+百*-百)

(2嚴(yán)*

v7V3

(3)屈-次+口

(4)3右一與邈

v7V3

(5)3加+(而—明卜反

96.先閱讀下列解答過(guò)程，然后再解答:小芳同學(xué)在研究化簡(jiǎn)"X萬(wàn)中發(fā)現(xiàn):首先把

57+4石化為,7+2回,由于4+3=7,4x3=12,即：(>/4)2+(V3)2=7,=JU,所

以57+4萬(wàn)=77+2712=7(^4)2+2>/4^3+(V3)2=(J(V4+V3)2=2+石

問(wèn)題：

⑴填空：用跖=,5-2灰=

.，

(2)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn):形如4"±2瓜的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)正數(shù)a,b(a>b),使a+b=m.

”，即(及『+(的『=m,&乂斯=G,那么便有：dm±26=

(3)化簡(jiǎn):8一屈(請(qǐng)寫(xiě)出化簡(jiǎn)過(guò)程)

97.閱讀下列解題過(guò)程：

?一M小在)一

石+孤一(石+4)(回")一(國(guó)-(4)

I.IX心)3_R后

m+亞處+司(后-石廠(BY⑸

請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

(1)觀察上面的解答過(guò)程，請(qǐng)寫(xiě)出而+?______；

11111

⑵利用上面的解法,請(qǐng)化簡(jiǎn)：1+&及+66+">/2019+^/2020V2020+V202T

(3)Vi2-VTT和而一疝的值哪個(gè)較大,請(qǐng)說(shuō)明理由.

\/3—>/2>/3+>/2xy

x=-j=——廣y=~T——廣—+—

98.已知J3+J2,J3—J2,求//的值.

99.閱讀下列解題過(guò)程：

20

第20頁(yè)共84頁(yè)

1V2-I

V2+1^(V2+1)(V2-1)=V2-1;

[--亞

yfi+\[2—(V3+V2)(-^3—\/2)—\[3-y/2.

V4+V3=("+揚(yáng)(”-G)="_6=2-6

解答下列各題：

]

(1)V10+V9=.

]

(2)觀察下面的解題過(guò)程，請(qǐng)直接寫(xiě)出式子4一病斤=.

1_____1+__,____1___________1__2_____

(3)利用這一規(guī)律計(jì)算：(瓶+16+&"+百+…+/2021+J2020)X(，2021+]).

21/6一

，?o片x—^+6xd---F7

100.已知x=3+2V2,求：x2x的值.

參考答案

1.4

【分析】

先利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，然后根據(jù)二次根式的混合計(jì)算法則進(jìn)行求解即可.

【詳解】

(3V12-6J-+V48)-2A/3

解：V3

=《百-26+40>2百

=8癢2G

=4.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)和二次根式的混合計(jì)算,解題的關(guān)鍵在于能夠熟練

掌握相關(guān)計(jì)算法則.

2.(1)2;(2)4

【分析】

(1)根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；

(2)根據(jù)完全平方公式以及平方差公式計(jì)算即可.

【詳解】

2月+4」

解：⑴原式=石-4

21

第21頁(yè)共84頁(yè)

6百

_y/3-4

=6-4

=2;

⑵原式=（4-4夜+2）X（6+4夜）

=（6-4貶）X（6+4尤）

=36-32

=4.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算,乘法公式的運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解本

題的關(guān)鍵.

3（］）6+^3-4-^2.（2）23—4>/5

【分析】

（1）直接化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而計(jì)算得出答案；（2）直接利用乘法公式,零指數(shù)累以及二次根式的

混合運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.

【詳解】

37（-2）2+572x76-732-^^

解：⑴V2

=3x2+5V^?-J16x2-3x舊

=6+5x273-472-3x373=6+1073-472-973=6+73-472

⑵&石-J+（石+2）（石-2J一閨

=20-4石+1+^\/^+2>1-_23—4-75

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算;正確化簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵.

7丫2j_13

4.（1）2月；（2）4

【分析】

（1）先分別化簡(jiǎn)二次根式,再合并同類(lèi)二次根式即可得到答案；

（2）先計(jì)算乘方，同時(shí)化簡(jiǎn)二次根式,將除法化為乘法,計(jì)算乘除法,再化簡(jiǎn)結(jié)果.

【詳解】

解:⑴2A/75-3->/27+百

-10百-+6

=26;

22

第22頁(yè)共84頁(yè)

⑵(回一限夜+舟欄

3-2&x4向回拽

=55

而5

3-16+丁、而

縣一\3

_4

【點(diǎn)撥】此題考查二次根式的加減法計(jì)算法則，及混合運(yùn)算的計(jì)算法則，正確掌握二次根式

的加減法法則、混合運(yùn)算的法則、二次根式的化簡(jiǎn)方法是解題的關(guān)鍵.

5.(1)66；(2)3+百

【分析】

(1)根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可;

(2)先根據(jù)平方差公式計(jì)算，同時(shí)分母有理化,進(jìn)而根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可

【詳解】

=65/6

(后+灼心一百＞看

\^/

2（/3+1）

=5-3+=5—3+>/3+1=3+>/3

儂-1網(wǎng)+1）

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算,正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

6.26-7

【分析】

根據(jù)(癢2:癢2戶(hù)(癢2)可得

伊+2Jl2'（V3-2戶(hù)=［即+2-2'（上一2）

,然后利用平方差公式和有理數(shù)的乘

23

第23頁(yè)共84頁(yè)

方以及二次根式的混合計(jì)算法則進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解:原式=a+2片0-2廣a_2卜3頻一百)

=[m+2網(wǎng)-2).a-2>36-9

=(-1)他皎-2-3百-9

——^3+2+3>/3—9

=273-7

【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算,平方差公式,同底數(shù)基乘法的逆運(yùn)算,有理數(shù)

的乘方，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則.

7.(1)4;(2)0

【分析】

(1)先算括號(hào)里面的,再算括號(hào)外面的,利用二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可；

(2)根據(jù)平方差公式、零指數(shù)基和絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算即可；

【詳解】

2/十

4鳳G6+2百-96)=4百+0)=4

⑴

「)3+1為一血>伊+2)+沖一4卜伊一J

=1-2+1+4-273-(3-2>/3+1)=0

【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，結(jié)合平方差公式,零指數(shù)事,絕對(duì)值的性質(zhì),

完全平方公式計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

24%/10

8.(1)5;(2)-7+3應(yīng)

【分析】

(1)先把各二次根式化為最特意二次根式,再合并即可得到答案;

(2)分別根據(jù)平方差公式、負(fù)整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算法則,絕對(duì)值的代數(shù)意義,零指數(shù)基的運(yùn)算法

則以及二次根式的性質(zhì)代簡(jiǎn)各項(xiàng)后再合并即可得到答案.

【詳解】

J--3A/40+10V0J

解：⑴心

呼-6回+回

24M

-5-

24

第24頁(yè)共84頁(yè)

a-1網(wǎng)+1)-［一；)+|l-V2|-(^-2)°+^8

(2)

^5-1-9+72-1-1+272

=-7+3近

【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式的加減以及實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解答本

題的關(guān)鍵.

旦6

9.⑴4乂2)8&；(3)2+2也；⑷2右一5.

【分析】

(1)先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式,然后合并即可得到答案；

(2)原式從左向右依次計(jì)算即可得到答案；

(3)原式根據(jù)零指數(shù)累、負(fù)整數(shù)指數(shù)累、二次根式的乘法以及絕對(duì)值的意義代簡(jiǎn)各項(xiàng)后，再

外掛；

(4)原式利用平方差分工和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【詳解】

2-\ZT8—7./—

解：⑴V8

⑵2

廊」石

=2

=2j96+3

=2732

-872；

(^-3)°+(-r'-V6xV3-|V2-2|

(3)3

=1+3-3應(yīng)+播-2

=2+2立；

⑷(G+亞■)(也-近)-(亞-I)2

=3-2-(5-275+1)

25

第25頁(yè)共84頁(yè)

=3-2-6+2后

一2后-5.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則,運(yùn)算順序以及靈活運(yùn)用乘法

公式是解答本題的關(guān)鍵.

10.(