2022年八年級(jí)數(shù)學(xué)下《勾股定理（鞏固）1》專項(xiàng)練習(xí)題-帶解析

八年級(jí)數(shù)學(xué)下-專題:17.5勾股定理（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)1）

1、單選題

類型一、用勾股定理理解直角三角形

1.如圖,長(zhǎng)為8cm的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端A和B,然后把中點(diǎn)C垂直向上拉升

3cm到〃點(diǎn)，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了（）

2.如圖1,在口/8C中，/8=8C=2,4=120。，材是8C的中點(diǎn)，設(shè)，則表示實(shí)數(shù)a的

點(diǎn)落在數(shù)軸上（如圖2）所標(biāo)四段中的（）

圖1圖2

A.①段B.②段C.③段D,④段

類型二、兩點(diǎn)距離公式

3.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)"44）,點(diǎn)"（也叭心。），N（。，"）,且

9

AM=AN滿足.若加的面積為5,則療+/的值不可能為（）

A.18B.46C.82D.55

4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1,3）和點(diǎn)B（3,1）,點(diǎn)C、I）分別是x軸,y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則

四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小值為（）

A.5&B.6^2C.2M+2五D.8a

類型三、勾股數(shù)

5.在下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的一組數(shù)是（）

A.15,8,17B.6,8,10C.3,4,5D.3,5,7

6.如圖，在RAB8C中，4CB=90。，以口/3。的各邊為邊在口相。外作三個(gè)正方形，E,S,

‘3分別表示這三個(gè)正方形的面積,若y=3,$2=1。則邑=（）

1

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類型四、以直角三角形三邊長(zhǎng)的面積問(wèn)題

7.如圖，以應(yīng)△/scaaLM的三邊為邊，分別向外作正方形，它們的面積分別為6、$、必若

$+$+￡=12,則S的值是()

8.如圖,在RtZU%中，/ACA90°,分別以4氏AC,比■為斜邊作三個(gè)等腰直角△/做/\ACE,△

BCF,圖中陰影部分的面積分別記為$,$,甌&,若已知Rt△/a1的面積,則下列代數(shù)式中，

一定能求出確切值的代數(shù)式是()

$+￡+SiD.&+$-￡

類型五、勾股定理解決網(wǎng)格問(wèn)題

9.如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.點(diǎn)/、氏C都在格點(diǎn)上,若仍是I」力6c的高，則

加的長(zhǎng)為()

2

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A.1石36c,”

B.5D,石

10.如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)4，B，C,。均為格點(diǎn),以A為圓

心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，交網(wǎng)格線8于點(diǎn)￡,則CE兩點(diǎn)間的距離為()

c?…:愴工…，D

B,A

G+i

A.GB.3-Gc.FD.2

類型六、勾股定理與折疊問(wèn)題

11.如圖，四邊形4BCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片,將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的

點(diǎn)B'處，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)⑷，B'C=3,則AM的長(zhǎng)為()

A.1.8B.2C.2.3D.

12.如圖，在以△/a'中，AB=6,BC=B,4〃為/為C的平分線,將沿直線翻折得△

ADE,則然的長(zhǎng)為()

A.4B.5C.6D.7

類型七、用勾股定理與兩線段的平方和(差)

13.若直角三角形的一條直角邊和斜邊的比為1：3,另一條直角邊長(zhǎng)為20,則直角三角形

的斜邊長(zhǎng)為()

A.3B.6C.3&D.6夜

3

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14.在Rt4/8C中，//C8=90。，8c=5cm,"C=12cm,三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)尸，則點(diǎn)

P到的距離也為()

3060

A.1cmB.2cmC.13CmD.13cm

類型八、用勾股定理證明兩線段的平方關(guān)系

15.在中，Z4NB,NC所對(duì)的邊分別為a,b,c,且NC=1:1:2,則下列說(shuō)法

中，錯(cuò)誤的是()

A.NC=90°B.a=bC.c2=2a2D.a2=A2-c2

16.如圖，在中，N〃S=90°，"紹MW分別歷上的兩動(dòng)點(diǎn)，且/加滬45°，下列

結(jié)論:①48=JL1C:②右快-O2=A部胡-，監(jiān)?%;③4廬+8惘=網(wǎng)2；④龜以戶以破產(chǎn)壇納；其中正

確的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

類型九、勾股定理的證明

17.勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一,這是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系

起來(lái)的定理,其證明是論證幾何的發(fā)端.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是()

18.如圖，兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形恰好構(gòu)成一個(gè)梯形.甲說(shuō):梯形的

(&+4c2

------cibH---

面積可以表示為2，乙說(shuō):梯形的面積可以表示為2,則有()

4

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A.a2+b2+4ab=c2B.a2+b2=c2

C.a2+b2-2ab=c2D.?2+b2=2c2

類型十、以弦圖為背景的計(jì)算題

19.如圖是由4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形拼成的正方形圖案.己知大正方形面

積為25,小正方形面積為1,若用a、6表示直角三角形的兩直角邊（a>6）,則下列說(shuō)法：

①a2+Z>2=25,②a—左1,③。左12,④界爐7.正確的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.@@③④

20.把圖①中的菱形沿對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形,將這四個(gè)直角三角形分別拼成如

圖2,圖③所示的正方形,則圖①中菱形的面積為（）

D.14

類型十一、用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題

21.如圖，圓柱形玻璃板,高為12cm,底面周長(zhǎng)為18cm,在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)，處有一滴蜂

蜜,此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距

B.16cmC.17cmD.18cm

5

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BC=-CD

22.如圖,桌面上的長(zhǎng)方體長(zhǎng)為4,寬為3,高為2,4.一只螞蟻（看作一點(diǎn)）從力點(diǎn)

出發(fā)沿長(zhǎng)方體的表面到達(dá)6點(diǎn),則它運(yùn)動(dòng)的最短路程為（）

A.3B.3&C.2石D.^26

類型十二、勾股定理與無(wú)理數(shù)

23.如圖,在數(shù)軸上，點(diǎn)。對(duì)應(yīng)數(shù)字0,點(diǎn)/對(duì)應(yīng)數(shù)字2,過(guò)點(diǎn)/作垂直于數(shù)軸,且4左4,連

接0B,繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)0B,使點(diǎn)8落在數(shù)軸上的點(diǎn)，處,則點(diǎn)C所表示的數(shù)介于（）

A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間

24.已知。為數(shù)軸原點(diǎn)，如圖，（1）在數(shù)軸上截取線段（24=2;（2）過(guò)點(diǎn)/作直線/垂直于

物;（3）在直線/上截取線段48=3;（4）以。為圓心，龍的長(zhǎng)為半徑作弧,交數(shù)軸分別于點(diǎn)

C,D.根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形,有如下四個(gè)結(jié)論:①心5;②如=屈；③點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的

數(shù)是舊-2;④5<4X6.上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

2、填空題

類型一、用勾股定理理解直角三角形

25.如圖，乙4如=90°,按以下步驟作圖：

①以。為圓心,任意長(zhǎng)為半徑作弧,交力于C交加于〃；

-CD

②分別以C、〃為圓心，以大于2的同樣長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)P-,

③作射線OP.

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如圖，點(diǎn)物在射線加上，過(guò)M悴MHLOB干H,若MH=2,則

26.如凰口/BC和1DEC都是等邊三角形，連接初,以應(yīng)；NE8C=3O。.下列四個(gè)結(jié)論中:

①△ZCDg口8CE.@ZADC+ZBDE=180°；(g)BE2+BD2=BC1=90°,正確的

是(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)).

類型二、兩點(diǎn)距離公式

27.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)"(草)，8(4,3),點(diǎn)。是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則/什比的最

小值為_(kāi)__.

1‘▲

28.如圖,平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸(-4,3),過(guò)點(diǎn)尸作為，了軸于點(diǎn)A,/如的平分線交x

軸于點(diǎn)氏則點(diǎn)6的坐標(biāo)為.

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類型三、勾股數(shù)

29.勾股定理a2+b2=c2本身就是一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程,滿足這個(gè)方程的正整數(shù)解

(。八，)常叫做勾股數(shù)組.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了一個(gè)構(gòu)造勾股數(shù)組的公式,根據(jù)該公式可

以構(gòu)造出如下勾股數(shù)組：G，4,5),(5,12,13),(7,24,25),…，分析上面勾股數(shù)組可以發(fā)現(xiàn)，

4=1x(3+1),12=2x(5+1),24=3x(7+1),…分析上面規(guī)律，第6個(gè)勾股數(shù)組為.

30.如圖1,有一個(gè)面積為2的正方形,經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后,在它的左右肩上生出兩個(gè)小正

方形,如圖2,其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形,再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)后,變成圖

3:“生長(zhǎng)”10次后，如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去,它將變得更加“枝繁葉茂”.隨著不斷地“生

長(zhǎng)”，形成的圖形中所有正方形的面積和也隨之變化.若生長(zhǎng)〃次后，變成的圖中所有正方

圖1圖2圖3圖4

類型四、以直角三角形三邊長(zhǎng)的面積問(wèn)題

31.如圖RtXABC,/a90°,分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為

“希波克拉底月牙”：當(dāng)4c=6,BC=8時(shí),則陰影部分的面積為.

32.如圖，已知中，/ABC=90°,以的各邊為邊，在△[a1外作三個(gè)正方形,

耳分別表示這三個(gè)正方形的面積,若S=81,星=225,則BC=.

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類型五、勾股定理解決網(wǎng)格問(wèn)題

33.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)44CD,￡是網(wǎng)格線交點(diǎn),則NBAC-NDAE的度數(shù)

為.

34.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,A,B,C,〃是網(wǎng)格線交點(diǎn),則△48C與△加「面積的大小關(guān)

系為：S^ABC「（填="或.

類型六、勾股定理與折疊問(wèn)題

35.如圖，在心中，N8=90°,N4=60°,四=石，￡為"的中點(diǎn)，尸為四上一點(diǎn)，將

△4"沿"1折疊得到△儂;龍交比于點(diǎn)G,若/防9=30°,則CG=.

36.如圖所示,等腰Rt/XABC中,/4龍=90°,AC=Bg3,D點(diǎn)為47邊上一點(diǎn),E為48邊上

一動(dòng)點(diǎn)，將△/瓦1沿著應(yīng)折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A落在△/比■的邊上,若4=2,則線段4'C的

長(zhǎng)度為.

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類型七、用勾股定理與兩線段的平方和（差）

37.如圖，Rt△/a'中，NC=90°"5=5,a'=3,%垂直平分四交四于點(diǎn)七交〃■于點(diǎn)〃

則49的長(zhǎng)是.

38.如圖,等邊△/比1中,AB=&,BE平■令人ABC交/邊于點(diǎn)E,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)

單位的速度沿射線段,運(yùn)動(dòng)，當(dāng)跖為等腰三角形時(shí)，t的值為.

A

A

Bc類型八、用勾股定理證明兩線段的平方關(guān)系

39.如圖，在U力比'中，/4龍=90°,47=/點(diǎn)/＞在斜邊四上，以為直角邊作等腰直角

三角形PCQ,4PCQ=9Q：則PA'%，船三者之間的數(shù)量關(guān)系是,請(qǐng)說(shuō)明理由.（提示:連接

BQ）

上。

APB

40.設(shè)。，人是直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng),若該三角形的周長(zhǎng)為24,斜邊長(zhǎng)為10,則處的值

為.

類型九、勾股定理的證明

41.如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a,b,c的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊長(zhǎng)都是。的直角三角形拼

成如圖形狀用不同的方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積,可得關(guān)于a,b,c的一個(gè)等式是

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42.我國(guó)古代稱直角三角形為“勾股形”，并且直角邊中較短邊為勾，另一直角邊為股，斜邊

為弦.如圖1所示,數(shù)學(xué)家劉徽（約公元225年一公元295年）將勾股形分割成一個(gè)正方形和

兩對(duì)全等的直角三角形,后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖2所示的

長(zhǎng)方形，是由兩個(gè)完全相同的“勾股形”拼接而成，若。=3,%=1,則長(zhǎng)方形的面積為_(kāi)____.

類型十、以弦圖為背景的計(jì)算題

43.勾股定理有很多種證明方法，我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李銳運(yùn)用下圖證明了勾股定理.在應(yīng)△

49。中，己知AB=2BC,分別以BC,4c為邊,按如圖所示的方式作正方形ABDE,正方形BCFG,正

方形ACHI.其中〃/與做交于點(diǎn)N,設(shè)四邊形力創(chuàng)"的面積為6,△或，的面積為甌則

44.我國(guó)古代稱直角三角形為“勾股形”，并且直角邊中較短邊為勾，另一直角邊為股，斜邊

為弦如圖1所示,數(shù)學(xué)家劉徽（約公元225年-公元295年）將勾股形分割成一個(gè)正方形和兩

對(duì)全等的直角三角形,后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理如圖2所示的長(zhǎng)方

形,是由兩個(gè)完全相同的“勾股形”拼接而成，若a=2,b=3,則長(zhǎng)方形的面積為

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類型十一、用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題

45.在口相。中邊上的高為4,”=5,"=2內(nèi)，則8C=.

46.如圖，已知圓柱底面周長(zhǎng)是4dm,圓柱的高為3dm,在圓柱的側(cè)面上,過(guò)點(diǎn)1和點(diǎn)。嵌有

一圈金屬絲,則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為dm.

類型十二、勾股定理與無(wú)理數(shù)

47.如圖，己知匚ABC是腰長(zhǎng)為1的等腰三角形，以Rt匚ABC的斜邊AC為直角邊,畫(huà)第二個(gè)

等腰三角形RTAACD,再以RtOACD的斜邊AD為直角邊，畫(huà)第三個(gè)等腰三角形RtOADE,....

以此類推,則第2019個(gè)等腰三角形的斜邊長(zhǎng)是.

48.已知而與+e-5)2=0,那么以a、6為邊長(zhǎng)的直角三角形的第三邊長(zhǎng)為

三、解答題

49.如圖，口/8C中，ADLBC,EF垂直平分/C,交/C于點(diǎn)F,交3c于點(diǎn)&且花.

⑴求證：々=2"；

(2)若/C=10,力。=6,求口/8C的周長(zhǎng).

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50.如圖①是一個(gè)直角三角形紙片，NC=90°,4?=13cm,^=5cm,將其折疊，使點(diǎn)。落在斜

邊上的點(diǎn)O處，折痕為物（如圖②），求〃'和利的長(zhǎng).

51.一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動(dòng)，其截面如圖所示.正方形加也的邊長(zhǎng)為2米，坡角

/4=30°,/6=90°,比'=6米.當(dāng)正方形㈤7/運(yùn)動(dòng)到什么位置，即當(dāng)力￡為多少米時(shí)，有

DC2=AE2+BC\（提示：連接"）.

52.如圖,用硬紙板做成的四個(gè)全等的直角三角形,直角邊的長(zhǎng)分別為。和°,斜邊長(zhǎng)

為J可選取若干直角三角形紙板拼圖，并根據(jù)拼圖驗(yàn)證勾股定理.請(qǐng)畫(huà)出一種示意圖并寫(xiě)

出驗(yàn)證過(guò)程.

53.勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一,西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理.在我國(guó)

古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾

股定理創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖①），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.如圖①是用四

個(gè)能夠完全重合的直角三角形拼成的圖形,其中直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,用含

a,b,c的代數(shù)式表示：

（1）大正方形的面積為;小正方形的面積為;

（2）四個(gè)直角三角形的面積和為―,根據(jù)圖中面積關(guān)系,可列出a,6,c之間的關(guān)系式為

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(3)如圖②,以直角三角形的三邊為直徑,分別向外部作半圓，則工，S,53滿足的關(guān)系是

(4)如圖③直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為3、5,分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則

圖中兩個(gè)月形圖案(陰影部分)的面積和為.

參考答案

1.A

【分析】

根據(jù)勾股定理，可求出力〃長(zhǎng),再證明△心必△6ZT(SAS),可得力9初=5cm,求出46盼仍即

為橡皮筋拉長(zhǎng)的距離.

【詳解】

解:點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，

：.A(=2AB=4cm,

中，CD^'icnr,

根據(jù)勾股定理,得:/廬8'二5(。明);

9：CDLAB,

???N%4=戶90°,

在△力加和△應(yīng)《中，

DC=DC

<ZACD=/BCD

AC=BC

，△力比力△曲C(SAS),

，力分做=5cm,

：.AIABD-AB=2AD-AB=10-8=2cm;

???橡皮筋被拉長(zhǎng)了2M.

故選:A.

【點(diǎn)撥】

本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，?:角形全等判定與性質(zhì)，線段中點(diǎn)定義,解題的關(guān)鍵是勾股

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定理的應(yīng)用，三角形全等判定與性質(zhì)，線段中點(diǎn)定義,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

2.A

【分析】

過(guò)點(diǎn)A作加LBC交。延長(zhǎng)線于點(diǎn)//,可求/小6,〃以1,8滬1,在應(yīng)中，求得4滬近,

再估算出2.6<近<2.7,即可求解.

【詳解】

解:在口48。中，AB=BC=2,N8=120。，

???〃是芯的中點(diǎn),

:.B后3

過(guò)點(diǎn)力作4身，旗交延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃

???/力游60°,

:"46盼

:,卅2

在Rt/XAIIM中，A護(hù)^AH-+BM-=V3+4=V7,

,：2,6<近<2.7.

故選:4

【點(diǎn)撥】

本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸,熟練掌握勾股定理,通過(guò)構(gòu)造直角三角形求4〃的長(zhǎng)度，并作出正確的

估算是解題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】

先根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式和4M=AN可得一個(gè)關(guān)于孫〃的等式,再根據(jù)二角形的面積公

式可得同〃卜9,然后分〃>°和〃<°兩種情況,利用完全平方公式進(jìn)行變形運(yùn)算即可得.

【詳解】

解：由題意得：AM=獷+84)2=加+32,

AN=^/(0-4)2+(?-4)2=J〃2_8〃+32

???AM=AN

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J八2-8加+32=J〃2-8〃+32（j|jin2—Sm=/-8〃

（m-n）｛m〃）

+-8=0t

9

?.?朋1（"?,（））,N（0,〃）△MON的面積為5,

1??9

??洌加5,即帥卜9,

（1）當(dāng)，>o時(shí)，則加〃=9,

由（加一〃）（機(jī)+〃-8）=0得：相=〃或加+〃=8,

①當(dāng)用=〃時(shí)，則mn-nv=9,

此時(shí)加*+〃2=2m2=2x9=18；

②當(dāng)陽(yáng)+〃=8時(shí)，

此時(shí)蘇+〃2=（加+〃）2-2mn=82-2x9=46.

（2）當(dāng)〃<0時(shí)，則-mn=9m-n>0

所以由（加一〃）（利+〃-8）=°得：加+〃=8,

此時(shí)=（加+-2〃?〃=82+2x9=82.

綜上，/+〃2的所有可能的值為18,46,82,

故選:D.

【點(diǎn)撥】

本題考查了兩點(diǎn)之間的距離公式、因式分解、完全平方公式等知識(shí)點(diǎn),正確分兩種情況討論

是解題關(guān)犍.

4.B

【分析】

先作點(diǎn)?，3）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)@（T，3），點(diǎn)3（3,1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)是與'。一）,根

據(jù)對(duì)稱性可得AB+BC+CD+DA>AB+A'B't由勾股定理解得杷=2五,據(jù)此代入解題.

【詳解】

解:如圖，點(diǎn)"（L3）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)4（T，3）,

點(diǎn)43,1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)是*（3,-1）,

由對(duì)稱性可知4B+BC+CD+DA>AB+AB'

由勾股定理可求得AB=J（l-3）2+（3-1）2=2佟

所以,四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值是4B+A'B'="+干+2及=4及+2及=6近，

故選:B.

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第16頁(yè)共50頁(yè)

2022年八年級(jí)數(shù)學(xué)下《勾股定理(鞏固)1》專項(xiàng)練習(xí)題

本題考查軸對(duì)稱求最短路徑問(wèn)題,涉及勾股定理等知識(shí),正確畫(huà)出輔助線、掌握相關(guān)知識(shí)是

解題關(guān)鍵.

5.D

【分析】

利用勾股定理的逆定理,結(jié)合平方差公式判斷即可.

【詳解】

..172-82=(17+8)(17-8)=25x9=52x32=(5x3)2=152

?,

組是勾股數(shù),不符合題意；

??102-82=(10+8)(10-8)=36=62

?,

??.6組是勾股數(shù),不符合題意；

..52-42=(5+4)(5-4)=9=32

?,

.?.C組是勾股數(shù),不符合題意；

..72-52=(5+7)(7-5)=24^32

*,

...〃組不是勾股數(shù)，符合題意；

故選D.

【點(diǎn)撥】

本題考查了勾股定理的逆定理,平方差公式,熟練掌握定理,靈活變形運(yùn)用平方差公式簡(jiǎn)潔判

斷是解題的關(guān)鍵.

6.B

【分析】

根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】

17

第17頁(yè)共50頁(yè)

VZACB=90°,

:.AG+B（?=A",

$=小=10,S-3=A<?,

.?.￡=$-$=10-3=7,

故選:B.

【點(diǎn)撥】

本題考查的是勾股定理,如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么

a2+b2=c2,熟練掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

7.C

【分析】

根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合勾股定理就可發(fā)現(xiàn)大正方形的面積是兩個(gè)小正方形的面積和，即

可得出答案.

【詳解】

解：：由勾股定理得:AG+BG=A#,

???$+$+￡=12,

，2S=12,

.”=6,

故選:C

【點(diǎn)撥】

題考查了勾股定理和正方形面積的應(yīng)用，注意:分別以直角三角形的邊作相同的圖形,則兩個(gè)

小圖形的面積等于大圖形的面積.

8.A

【分析】

設(shè)/I小a,叱力由勾股定理分別求出4氏EC、CF、BF、AD、BD、ED、的值,再根據(jù)三角形

面積逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】

解:設(shè)AC=a,BC=b,

1______a&

臟巧I5。？，在等腰直角三角形中，4后小血2，小冊(cè)

BC^y/2hAB”+從

?2,AD=BD=6N2，在/中，

r—Ti—777屆+/y/2,6

y!AD--AE=J---------=—6一（。一6）

ED-V222,DOEOEA2,

18

第18頁(yè)共50頁(yè)

A:5：)=2AE-ED=2-2b,2a=4a左2?2a/F2?甑做，已知及△/比?的面積，可知以故包

能求出確切值；

B:設(shè)/C與劭交于點(diǎn)好

?I5/2y/2a2—ab

則￡+5XADM=S/\ADC=2?(7>力萬(wàn)=2x2(方力)x24g=4，又,.?6+以期用=必

?Ia2+b2a2~^~b2

ADB=2，人》=2*2=4,

〃2+62a2-ahb?+ab〃+]§

???(S+S2XADM)-(￡+&ADV)=S「W=4-4=4二彳十萬(wàn)".則S[后與。有關(guān)，

???求不出確切值：

11y/2>/2ab

C:設(shè)“交必于點(diǎn)"則以BFD二萬(wàn)小上萬(wàn)?2a?2爐4,

\旦旦L11也

??、以ADM+&二2?2(n°)?2爐4(4-a/?5^KM+￡=*SXBCD二2?CD*BP=2?2(廿

V2j_

ti)?2b=4(ab~

1工L匕匕

的，5以國(guó)[+5=/川用=4(4+㈤，^△[JCM+*5,I=5AABC?$=2B戶=2?2=4,$+￡+S[二S梯形,必：【書(shū)一以

ABD1&ABc+S],

?*?$+￡+&二S

???51無(wú)法確定,

無(wú)法確定C;

D:由8選項(xiàng)過(guò)程得S［即4，又?.?$=5?》優(yōu)得到:§+$-￡=5/>2+4且樂(lè)》〃+55^(:,

此時(shí)S+員-￡與。有關(guān)，無(wú)法求出確切值.故選:A.

【點(diǎn)撥】

本題主要考查勾股定理和直角三角形面積公式,關(guān)鍵是為知識(shí)的掌握和運(yùn)用.

9.C

19

第19頁(yè)共50頁(yè)

【分析】

根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出口力5。的面積和/C的長(zhǎng)，然后即可計(jì)算32。的長(zhǎng).

【詳解】

?！?x12x42x3“

SAABC=3x4----------------------=4

解：由題意可得：222,

2:

Q8D是口/BC的高，AC=V2+4=2>/5>

080x2石.

.S^ABC~~=4

故選:C.

【點(diǎn)撥】

本題考查勾股定理、三角形的面積,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用數(shù)形結(jié)合的思想解

答.

10.B

【分析】

如圖:連接AE,則/田2、1介1,由勾股定理可求出DE,然后運(yùn)用線段的和差即可解答.

【詳解】

解：如圖：連接AE,則心2,AD=\

口及VAE2—AD2=^22—I2=-\/3

：.CB=CD-l)E=3-^.

故選B.

【點(diǎn)撥】

本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及線段的和差，根據(jù)題意運(yùn)用勾股定理求得龐'是解答本

題的關(guān)鍵.

11.B

【分析】

連接做珈'，由于b=3,貝I」的'=6,在RtAABM和RtAMDB'中由勾股定理求得加/的

值.

【詳解】

解:連接陽(yáng)胸，

20

第20頁(yè)共50頁(yè)

在Rt/\ABM中,殍,

在?！鲀H次中，夕/=,物+如，2,

???折疊，

：.Aff+A^=2,

即92+/=(9-獷+(9-3)2,

解得產(chǎn)2,

即腑2,

故選:B.

【點(diǎn)撥】

本題考查了翻折的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊相等,利用了勾股定理建立方程求解.

12.B

【分析】

在放MBC中利用勾股定理求出4c長(zhǎng),利用折疊性質(zhì):得到△力莊。44。。，求出對(duì)應(yīng)相

等的邊,設(shè)DE=x,在Rt^DE中利用勾股定理,列出關(guān)于x的方程,求解方程即可得到答案.

【詳解】

解：BC=8,N4?C=90°,

/,=VAB~+BC2=<6。+8。=10

?.3〃為/仍C的平分線,將沿直線4〃翻折得△/!龐；

NADEWXADC,

.?"、B、E共線,AC=AE=1Q,DXDE,

：.BE=AE-46=10-6=4,

在Rt△應(yīng)后中，設(shè)DE=x,則BD=8-x,

■:B/+Bf?=D民

/.(8-?2+42=N,

解得不=5,

:,DE=3、

故選:B.

21

第21頁(yè)共50頁(yè)

【點(diǎn)撥】

本題主要是考查了直角三角形的勾股定理以及折疊中的三角形全等的性質(zhì)，熟練利用折疊得

到全等三角形,找到直角三角形中的各邊的關(guān)系,利用勾股定理列方程,并求解方程,這是解

決該類問(wèn)題的關(guān)鍵.

13.A

【分析】

設(shè)一條直角邊為x,斜邊為3x,根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】

解:設(shè)一條直角邊為x,斜邊為3x,依題意有

f+(2夜)2=(3x)2,

解得產(chǎn)±1(負(fù)值舍去)，

貝3尸3.

故選

【點(diǎn)撥】

本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，關(guān)鍵是熟悉直角三角形兩直角邊的平方和等

于斜邊的平方的知識(shí)點(diǎn).

14.B

【分析】

由勾股定理解得=13cm,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得

NCAP=NPAB/ABP=NCBP/ACP=NBCP過(guò)點(diǎn)p,分別作邊的垂線段,繼

而證明APMCwAPNC(4S4)QBHP=ABNP(4S4),由全等三角形

對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)得到PM=PH,PM=PN、PN=PH,即可證明PM=PH=PN,最后利用三角

形面積公式及等積法解題即可求得P”的值.

【詳解】

解：在中，N4CB=9Q°,8c=5cm,4c=12cm,

AB=y/AC2+BC2=>/52+122=13

??.p是Rt^/8C中三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，

NCAP=NPAB,N4BP=ZCBP,NACP=NBCP

過(guò)點(diǎn)P,分別作三邊的垂線段,如圖，

在Z\M4P與尸中，

'NCAP=NBAP

,:<AP=AP

ZAMP=ZAHP

AMAP=/\HAP(ASA)

22

第22頁(yè)共50頁(yè)

...PM=PH

同理得,APMC=/\PNC(ASA),「BHP=^BNP{ASA)

:.PM=PN,PN=PH

:.PM=PH=PN

S=-ACPM+-BCPN

zAtRdC222

=^(AC+AB+BC)PH

=；x(5+12+13)PH

=15PH

.?.15/77=30

PH=2

故選:B.

【點(diǎn)撥】

本題考查勾股定理、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式及等

積法等知識(shí),是重要考點(diǎn),難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

15.D

【分析】

由題意可得AABC為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到解答.

【詳解】

解:A、由NA:NB:/C=1:1:2及NA+NB+NC=180°可以得到：

/A=/B=45°,/C=90°,故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

B、由上可得NA=NB,所以a=b,故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、由上知4ABC是直角三角形,所以a2+b2=c2,又因?yàn)閍=b,所以c2=2a?,故本選項(xiàng)正確,不

符合題意；

D、由上知a2+b2=c2,故本選項(xiàng)不正確,符合題意；

23

第23頁(yè)共50頁(yè)

故選D.

【點(diǎn)撥】

本題考查三角形內(nèi)角和與比例的綜合應(yīng)用，根據(jù)三角形內(nèi)角和與角的比例求出三角形每個(gè)角

的度數(shù)，再結(jié)合特殊三角形的一些性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵.

16.C

【分析】

①由勾股定理即可得=；

②過(guò)點(diǎn)C作CD±AB于D,由等腰宜角三角形性質(zhì)可得AD=BD=CD,再由勾股定理即可得CM2-

CN2=NB?NA-MB?MA;

③過(guò)點(diǎn)B作BM'_LAB,使BM'=AM,連接CM',M'N,可證：△CBM'^ACAM,ANfCN絲△MCN,再

由勾股定理可得:M'B2+BN2=MfM即AM2+BN2=MM;

④由全等三角形面積相等可知：S&B\r=SACAM,S△CNM'=SAMCN,即可得SACAM+SACBNS^MCN-

【詳解】

解：①在中，ZACB=90°,CA=CB,

AB=VAC2+CB2=\l2AC2=V24g

故①正確；

②如圖1,過(guò)點(diǎn)C作必于D.

圖1

VZACB=^°,CA=CB,CDLAB,

：.AD-BD^CD

C快C格=3+DK

，。法--〃儼=(.糜〃同{MD-D2二楸MD-N加

'：NB*NA-MB*MA=NB*NA-MB{NA-，姍

=MB?M2NB?NA-MB'NA

NA(MB-NB)

=陽(yáng)MN-NA、MN

NA),

：.?？?C^=NB'NA-MB。MA

故②正確；

24

第24頁(yè)共50頁(yè)

③如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BM'J_AB,使BM'=AM,連接CM',汽N,則NABM'=90°

???N4廬90°、C/CB,

：.ZA=ZABC=45°,

JNCBM'=45°=ZA

在△必曠和中

CB=CA

?NCBM'=ZA

BM'=AM

△tar絲△a.〃（SAS）,

；.CM'=CMNBCM'=ZACM,

.?.NM'CN=/BCM'+ZBCN=ZACM+ZBCN=ZACB-ZMCN=90°-45°=45°=ZMCN

在△M'CW和△玳:“中

‘CM'=CM

,ZM'CN=ZMCN

CN=CN

>

.?.△M'a忸△加MSAS）,

.,.M,N=MN

在RtZ\M'氏V中，/M'8g90°,M'*心，

.,.4快+郵=廨

故③正確；

④如圖2.

VA(7?Mz絲△0也△M'C^/XMCN,

:?S&C隙■SXGWI'=SZICM

:共S&CB所$4?隨+SACBF$XC漱'+/&例'=叢,10*必即'>

故④錯(cuò)誤.

故選:C.

【點(diǎn)撥】

本題考查等腰宜角三角形性質(zhì)，勾股定理,全等三角形判定和性質(zhì)等,解題的關(guān)鍵是添加輔助

線構(gòu)造全等三角形.

25

第25頁(yè)共50頁(yè)

17.D

【分析】

利用兩個(gè)以a和6為直角邊三角形面積+一個(gè)直角邊為。的等腰直角三角形面積和=上底為

a,下第為b,高為（k。）的梯形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷A,利用以3與b為兩直角邊四個(gè)全

等三角形面積+邊長(zhǎng)為c的小正方形面積和=以的和為邊正方形面積推導(dǎo)勾股定理可判

斷氏利用以a與6為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積+邊長(zhǎng)為（Zra）的小正方形面積和=以c

為邊正方形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷C,利用四個(gè)小圖形面積和=大正方形面積推導(dǎo)完全平

方公式可判斷D.

【詳解】

解:4、：兩個(gè)以a和6為直角邊三角形面積+一個(gè)直角邊為c的等腰直角三角形面積和=上

底為a,下第為〃高為（濟(jì)⑸的梯形面積，

_L_L_L1

2a/2c2+2ab=2（＜g+6）（濟(jì)6）,

.?.整理得:即能證明勾股定理,故本選項(xiàng)不符合題意；

氏?.?以a與力為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積+邊長(zhǎng)為。的小正方形面積和=以/6的和為

邊正方形面積，

.,.4X2a卅（?=（介協(xié)工

整理得即能證明勾股定理,故本選項(xiàng)不符合題意；

C、???以a與8為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積+邊長(zhǎng)為（小a）的小正方形面積和=以c為邊

正方形面積，

.,.4X2a加（6-a）2=c2,

二整理得:#+〃=〃,即能證明勾股定理,故本選項(xiàng)不符合題意；

〃、?..四個(gè)小圖形面積和=大正方形面積，

St^+*+aH（K6）2,

...a2+2ab+決=（＞6）2,

根據(jù)圖形證明完全平方公式,不能證明勾股定理,故本選項(xiàng)符合題意；

故選:〃.

【點(diǎn)撥】

本題考查利用面積推導(dǎo)勾股定理與完全平方公式，掌握利用面積推導(dǎo)勾股定理與完全平方公

式是解題關(guān)鍵.

18.B

【分析】

根據(jù)梯形的面積的兩種求法，構(gòu)建關(guān)系式即可解決問(wèn)題.

【詳解】

26

第26頁(yè)共50頁(yè)

解:根據(jù)題意得，22；

；.a2+b2=c2,故選:B.

【點(diǎn)撥】

本題考查勾股定理的證明、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法解

決問(wèn)題，屬于中考常考題型.

19.D

【分析】

由大的正方形的邊長(zhǎng)為°，結(jié)合勾股定理可判斷①，由小的正方形的邊長(zhǎng)為“一瓦結(jié)合小正方

形的面積可判斷②,再利用02-2"+/=1，結(jié)合“2+b2=25,可判斷③,再由

/+2而+從=25+24,可判斷④,從而可得答案.

【詳解】

解：由題意得：大正方形的邊長(zhǎng)為G

/+"='=25,故①符合題意；

用a、6表示直角三角形的兩直角邊(a>6),則小正方形的邊長(zhǎng)為：°一4

??(”6>=1，則”6=1(負(fù)值不合題意舍去)故②符合題意；

,/{a-by=1,

a2-lab+〃=1,而/+〃=25,

25-lab=\,

???而=12,故③符合題意；

■：a2+b2=25,

a2+2ab+b2=25+24,

.?.(a+b)2=49,

:-a+b=7(負(fù)值不合題意舍去)故④符合題意；

故選D

【點(diǎn)撥】

本題考查的是以勾股定理為背景的幾何面積問(wèn)題，同時(shí)考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練的

應(yīng)用完全平方公式的變形求值是解本題的關(guān)鍵.

20.C

【分析】

設(shè)菱形的面積為S,直角三角形的斜邊長(zhǎng)為c,由圖2可得S+c，2=5?=25,由圖3可得

S+『=/,由此得到S+S+1=25,求解即可.

27

第27頁(yè)共50頁(yè)

【詳解】

解:設(shè)菱形的面積為S,直角三角形的斜邊長(zhǎng)為c,

由圖2可得S+<?=5?=25,

由圖3可得S+F=c\

;.S+S+1=25,

解得S=12,

故選:C.

【點(diǎn)撥】

此題考查以弦圖為背景的計(jì)算,正確理解圖形之間的關(guān)系，設(shè)菱形的面積為s直角三角形的

斜邊長(zhǎng)為C由此表示出各關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

21.A

【分析】

在側(cè)面展開(kāi)圖中,過(guò)，作CQLEF于Q作4關(guān)于"的對(duì)稱點(diǎn)〃，連接〃，交切于P,連接

AP,則4a+/個(gè)就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離,求出力'。國(guó)根據(jù)勾股定理求出A'C即可.

【詳解】

解:沿過(guò)4的圓柱的高剪開(kāi),得出矩形EFGH,過(guò)「作的D于。，作A關(guān)于掰的對(duì)稱點(diǎn)A',

連接力'C交EH千P,連接AP,則4葉小就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，

：.AP+PC=A/P+PC=AzC,

\_

CQ=2X18cm=9cm,Azgl2cm-4cm+4cm=12cm,

在位”中，由勾股定理得:力仁而197-15cm,

故選:A.

【點(diǎn)撥】

本題考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，同時(shí)也考查r學(xué)生的空間想象能力.將圖形側(cè)面展開(kāi),利

用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

22.B

28

第28頁(yè)共50頁(yè)

【分析】

根據(jù)題意畫(huà)出長(zhǎng)方形的側(cè)面展開(kāi)圖,連接AB,根據(jù)勾股定理求出力6的長(zhǎng)即可.

【詳解】

解:如圖1所示則/8=々+52=而,

如圖2所示，貝I]AB="+32=3>/2,

圖2

如圖3所示,則/8=/42+22=2石,

綜上的最短距離為30.

故選:反

【點(diǎn)撥】

本題主要考查的是平面展開(kāi)一最短路徑問(wèn)題,此類問(wèn)題應(yīng)先根據(jù)題意把立體圖形展開(kāi)成平面

圖形后,再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑,一般情況是兩點(diǎn)之間,線段最短.在平面圖形上構(gòu)造直

角三角形解決問(wèn)題.

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23.C

【分析】

因?yàn)椤魑?是一個(gè)直角三角形,且有OOOB,所以可求得仍的長(zhǎng)度即得C點(diǎn)所表示的數(shù)，可判

斷其大小.

【詳解】

解：?第L6M

在直角三角形如夕中有OAZ+A/=O必

....08=V22+42=V20

...4〈病<5

又,：0C=0B

???點(diǎn)「所表示的數(shù)介于4和5之間

故選:C

【點(diǎn)撥】

此題考查勾股定理,無(wú)理數(shù)的估算,重點(diǎn)就是由垂直而組成的直角三角形的性質(zhì)，從而解得答

案.

24.D

【分析】

由題意根據(jù)勾股定理可得0B,然后再結(jié)合數(shù)軸上點(diǎn)的表示及無(wú)理數(shù)的估算可進(jìn)行求解.

【詳解】

解：由題意得：N的生90°,而=2,1Q3,

OB=y/OA2+AB2=yfU=OD=OC故①錯(cuò)