補(bǔ)充自動(dòng)控制原理chapter

1第八章

非線性系統(tǒng)理論8.1引言8.2典型非線性特性的數(shù)學(xué)描述

及其對(duì)系統(tǒng)性能的影響8.3描述函數(shù)法8.4相平面法28.1引言

8.1.1非線性系統(tǒng)特點(diǎn)8.1.2研究非線性系統(tǒng)的意義與方法38.1.1非線性系統(tǒng)特點(diǎn)非線性系統(tǒng)與線性控制系統(tǒng)相比，具有一系列新的特點(diǎn)：

1.線性系統(tǒng)滿足疊加原理，非線性控制系統(tǒng)不滿足疊加原理。

帶濾波器的非線性系統(tǒng)

4

例：對(duì)由非線性微分方程

描述的非線性系統(tǒng)，有兩個(gè)平衡點(diǎn)，x1=0和x2=1。將上式改寫為2.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅取決于控制系統(tǒng)的固有結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而且與系統(tǒng)的初始條件以及外加輸入有關(guān)。5設(shè)t＝0時(shí)，系統(tǒng)的初態(tài)為x0。積分上式可得

一階非線性系統(tǒng)

x(t)t106

3.非線性系統(tǒng)可能存在自激振蕩現(xiàn)象4.非線性系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下，輸出存在極其復(fù)雜的情況：跳躍諧振與多值響應(yīng)(1)跳躍諧振和多值響應(yīng)

如圖所示為非線性彈簧輸出幅頻特性。

7(2)分頻振蕩和倍頻振蕩

非線性系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下，穩(wěn)態(tài)分量除產(chǎn)生同頻率振蕩外，可能產(chǎn)生倍頻振蕩和分頻振蕩。波形如圖所示：倍頻振蕩與分頻振蕩88.1.2研究非線性系統(tǒng)的

意義與方法

1.研究非線性系統(tǒng)的意義

1)實(shí)際控制系統(tǒng)，存在大量非線性因素。這些非線性因素的存在，使得我們用線性系統(tǒng)理論進(jìn)行分析時(shí)所得出的結(jié)論，與實(shí)際系統(tǒng)的控制效果不一致。線性系統(tǒng)理論無法解釋非線性因素所產(chǎn)生的影響。2)非線性特性的存在，并不總是對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生不良影響。9

1)相平面法用圖解方法分析一階，二階非線性系統(tǒng)。通過繪制控制系統(tǒng)相軌跡，分析非線性系統(tǒng)特性。

2)描述函數(shù)法是受線性系統(tǒng)頻率法啟發(fā)，而發(fā)展出的一種分析非線性系統(tǒng)的方法。它是一種諧波線性化的分析方法，是頻率法在非線性系統(tǒng)分析中的推廣。3)計(jì)算機(jī)求解法是利用計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力和高速度對(duì)非線性微分方程的一種數(shù)值解法。2.研究非線性系統(tǒng)的方法108.2

典型非線性特性的數(shù)學(xué)描述

及其對(duì)系統(tǒng)性能的影響8.2.1飽和特性

8.2.2死區(qū)特性

8.2.3間隙特性

8.2.4繼電特性118.2.1飽和特性電子放大器中常見一種非線性，如圖所示，飽和裝置輸入特性數(shù)學(xué)描述如下：

飽和特性

xekbe0-e0128.2.2死區(qū)特性

死區(qū)特性也稱為不靈敏區(qū)，如圖所示。其數(shù)學(xué)描述如下：

死區(qū)特性

X(t)e(t)e0-e0k138.2.3間隙特性

如圖所示，數(shù)學(xué)描述如下：間隙

e0-e0eb-bkkx148.2.4繼電特性

使用繼電特性時(shí)，有四種可供選擇的形態(tài)，如圖所示理想繼電特性理想的繼電特性15具死區(qū)的繼電特性具死區(qū)的繼電特性16具磁滯回環(huán)的繼電特性具滯環(huán)的繼電特性17具磁滯回環(huán)和死區(qū)的繼電特性

具磁滯回環(huán)和死區(qū)的繼電特性188.3描述函數(shù)法8.3.1描述函數(shù)的概念8.3.2典型非線性的描述函數(shù)8.3.3

多重非線性的描述函數(shù)8.3.4

用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)198.3.1描述函數(shù)的概念描述函數(shù)適用于具有以下特點(diǎn)的非線性系統(tǒng)。1.

系統(tǒng)線性部分和非線性環(huán)節(jié)可以分離。如圖所示，圖中NL為非線性環(huán)節(jié)，G為線性部分的傳遞函數(shù)。非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)202.非線性特性具奇對(duì)稱特性，且輸入輸出關(guān)系為靜特性。

3.線性部分應(yīng)具良好的低通濾波特性。滿足以上條件，描述函數(shù)可定義為非線性環(huán)節(jié)輸出基波分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比。假定，給非線性環(huán)節(jié)的輸入為正弦量

21一般情況下，輸出為周期函數(shù)，展開成傅立葉級(jí)數(shù)式中，非線性為奇對(duì)稱特性，所以A0＝022取基波分量，有則基波分量為23式中描述函數(shù)

描述函數(shù)是輸入振幅A的函數(shù)，是一個(gè)可變?cè)鲆娴姆糯笙禂?shù)。

248.3.2典型非線性的描述函數(shù)

1.

飽和特性飽和特性輸入

飽和特性及輸入輸出波形X(t)X(t)ttke(t)e(t)25當(dāng)A>a時(shí)，飽和特性輸出x(t)為式中輸出波形為奇函數(shù)

A1＝0,26飽和特性描述函數(shù)求得如下：

272.死區(qū)特性當(dāng)輸入時(shí)，非線性特性輸入輸出波形如圖所示。

死區(qū)特性及輸入輸出波形

X(t)X(t)e(t)e(t)ttk.-aa28輸出為奇函數(shù)，A1＝0

，

由圖所示，當(dāng)時(shí)，且A>a，式中,死區(qū)輸出為29死區(qū)描述函數(shù)30e(t)ta-akX(t)X(t)t間隙特性及輸入輸出波形

3.間隙31當(dāng)輸入時(shí)，由間隙數(shù)學(xué)描述可知，間隙輸出x(t)為32式中33B1可求得間隙的描述函數(shù)N(A)為

3435x(t)maabe(t)e(t)x(t)4.繼電特性具死區(qū)和磁滯回環(huán)繼電特性及輸入輸出波形

36假定輸入，繼電特性輸出為

式中,

37A1B1具死區(qū)和磁滯回環(huán)繼電特性的描述函數(shù)N(A)為

3839當(dāng)a

＝

0

時(shí)，如圖所示繼電特性的描述函數(shù)為

理想繼電特性40當(dāng)m＝1，a≠0

時(shí)，如圖所示具死區(qū)的繼電特性的描述函數(shù)為

具死區(qū)繼電特性41當(dāng)m＝－1時(shí)，如圖所示具滯環(huán)的繼電特性的描述函數(shù)為

具滯環(huán)繼電特性428.3.3多重非線性的描述函數(shù)1.串聯(lián)非線性如圖所示串聯(lián)非線性的描述函數(shù)絕不等于兩個(gè)非線性描述函數(shù)的乘積。

NL1NL2xyz串聯(lián)非線性43假定圖中NL1為死區(qū)非線性，NL2為飽和非線性，它們串聯(lián)后復(fù)合非線性如圖所示：XYZxyk1a1yzk2b1

(a)串聯(lián)非線性

（b）復(fù)合非線性

XZk1k2a1a1+zx442.并聯(lián)非線性并聯(lián)非線性特性如圖所示：

并聯(lián)非線性

N(A)=N1(A)+N2(A)

NL1NL2xy1y2y++45例8-1:求如圖所示非線性特性的描述函數(shù)。

多重非線性解：Y=X23X1X2X0Y++h-h顯然，46求N1

(A)：

∴

求N2(A)：輸入輸出為線性關(guān)系

N2

(A)=3h2求N3(A)：

47因此，多重非線性的描述函數(shù)為

求N4

(A)：488.3.4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)一非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，假定輸入為零，圖中N(A)為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，若,則

非線性系統(tǒng)G1N(A)G2HX1X2YR=0-49假定:如果等于X2(t)，意味著產(chǎn)生自激振蕩，即：式中:則：50系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩的條件為乃奎斯特判據(jù)推廣應(yīng)用于非線性系統(tǒng)，可判斷系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性：線性部分為最小相位系統(tǒng)，若軌線不包圍軌線，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，若軌線包圍軌線，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，若與相交，則意味著系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生自激振蕩，51交點(diǎn)處曲線所對(duì)應(yīng)的角頻率為自激振蕩的角頻率，交點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的幅值A(chǔ)為自激振蕩的振幅值。下圖所示與的相互關(guān)系曲線

52自激振蕩的振幅和振蕩頻率由下面二式求得

曲線與曲線相互關(guān)系(c)ImImReRe(d)53例8-2一繼電控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。繼電器參數(shù)a＝1，b＝3，試分析系統(tǒng)是否產(chǎn)生自激振蕩，若產(chǎn)生自激振蕩，求出振幅和振蕩頻率。若要使系統(tǒng)不產(chǎn)生自激振蕩，應(yīng)如何調(diào)整繼電器參數(shù)。

繼電控制系統(tǒng)bar=054解：帶死區(qū)的繼電特性的描述函數(shù)為

ImRe55令,求得極值點(diǎn)將a＝1，b＝3

代入下式又令虛部為零求得56求得兩個(gè)振幅值

A1

＝1.11，A2

＝

2.3

所以自激振蕩的振幅為2.3，振蕩頻率為。為使系統(tǒng)不產(chǎn)生自激振蕩，可令將代人實(shí)部求得令可求得繼電器參數(shù)比57例8-3

已知一多環(huán)控制系統(tǒng)如圖所示

多環(huán)控制系統(tǒng)58當(dāng)G1(s)=1

時(shí)，該系統(tǒng)工作在飽和特性線性段時(shí)的無阻尼自然振蕩頻率，阻尼。當(dāng)時(shí)，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的最小比。

解：

當(dāng)G1(s)

＝1時(shí)，多環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

∴

T1＋T2

＝

1

∴令59由于T1和T2參數(shù)未知，曲線有三種可能性，如圖中虛線①、②、③，曲線也畫在圖中。

當(dāng)時(shí)，由閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程

1＋G(s)＝

0，可知：

60和曲線

為確保系統(tǒng)能穩(wěn)定運(yùn)行，我們所選擇的參數(shù)T1和T2應(yīng)能使曲線具有曲線3的形狀。

ImRe61曲線3和曲線2、曲線1的最大區(qū)別在于它與負(fù)實(shí)軸沒有交點(diǎn)。為此令的虛部等于零：

求得

只要

62而

T1

+T2=1

∴

于是，求得使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的最小比值為

則所求值為虛數(shù)，即能確保曲線與負(fù)實(shí)軸沒有交點(diǎn)。638.4相平面法

8.4.1

相平面圖的基本概念8.4.2相軌跡及其繪制方法8.4.3奇點(diǎn)與極限環(huán)8.4.4用相平面法分析非線性系統(tǒng)64相平面法(Phase-planetechnique)是龐卡萊(H.Poincare)提出來的一種用圖解法用來求一階、二階微分方程的解它實(shí)質(zhì)上屬于狀態(tài)空間分析法在二維空間中的應(yīng)用，適合于研究給定初始狀態(tài)的二階自由系統(tǒng)和給定初始及非周期輸入信號(hào)(階躍、斜坡或脈沖信號(hào)等)的二階系統(tǒng)。8.4.1相平面圖的基本概念65二階線性系統(tǒng)令x1=x,x2=x.設(shè)系統(tǒng)僅由初始條件激勵(lì)66以相變量x1和x2為坐標(biāo)構(gòu)成平面，稱為相平面(phaseplane)。在相平面上，由(x1，x2)以時(shí)間為參變量構(gòu)成的曲線，稱為相軌跡(phasetrajectory)。ACBx1=xx2=x.67對(duì)于二階系統(tǒng)f(x,)x..x.+=0(x,)以x,為相變量，可得到相軌跡通過點(diǎn)的斜率x.x.x.=dxdx.f(x,)x.－8.4.2相平面圖的繪制68x.a.關(guān)于軸對(duì)稱即f(x,)是關(guān)于x的奇函數(shù)。x.x.=f(x,)x.f(-x,)x.－x.f(x,)x.=f(-x,)x.－或1、對(duì)稱性一：相平面圖的特點(diǎn)69b、關(guān)于x軸對(duì)稱即f(x,)是的偶函數(shù)。x.x..f(x,-)x.x.=f(x,)x－x.f(x,)x.=f(x,-)x.或70c、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即f(x,)=-f(-x,-)x.x..x.=f(x,)x－x.f(-x,-)x.－71奇點(diǎn)相平面上，同時(shí)滿足=0和f(x,)=0的點(diǎn)。x.x.普通點(diǎn)相平面上不同時(shí)滿足=0和f(x,)=0的點(diǎn)。x.x.2.奇點(diǎn)和普通點(diǎn)72所以，除了奇點(diǎn)外，相軌跡和x軸垂直相交。在x軸上，所有點(diǎn)都滿足=0。除奇點(diǎn)外相軌跡在x軸上的斜率為x.x.=dxdx.f(x,)x.－=∞3.相軌跡通過x軸的斜率73在相平面的上半平面，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡由左向右運(yùn)動(dòng)；在下半平面，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡由右向左運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的移動(dòng)方向由相軌跡上的箭頭表示。4.相軌跡移動(dòng)的方向74x.=g(x)二：繪制相平面圖的解析法若系統(tǒng)的微分方程比較簡(jiǎn)單,對(duì)式x.=dxdx.f(x,)x.－直接積分,可求得相軌跡方程不能直接積分求解的話,可先求得x(t),

x(t).然后消去t,求得相軌跡方程。如果消t有困難或太復(fù)雜，則可求得不同t時(shí)的x(t),

x(t)，.據(jù)此數(shù)值關(guān)系畫出相軌跡曲線75補(bǔ)充例題1試?yán)L制二階系統(tǒng)的相平面圖解：系統(tǒng)方程改寫為積分得相軌跡方程xx.0x076圖解法是通過逐步作圖的方法，不必解出微分方程，而把結(jié)果直接描繪在相平面上。常用的圖解法有等傾線法和園弧近似法。在等傾線法中，首先用等傾線來確定相平面中相軌跡斜率的分布，然后再繪制相軌跡曲線。繪制相平面圖的圖解法——等傾線法(Isoclinemethod)77所有相軌斜率=常量a的點(diǎn)，構(gòu)成了等斜率線即等傾線。dxdx./相軌跡的斜率方程為給定一組a值，可求得一組等傾線族。利用等傾線族，可以確定相平面中任意一點(diǎn)相軌跡的斜率。x.=dxdx.f(x,)x.－等傾線方程為x.a=-f(x,)x.78例：設(shè)系統(tǒng)方程為得等傾線方程：令=a

dxdx./x.a=-1a=-1.2a=-1.4a=-1.6a=-1.8a=-2a=-2.5a=-3a=-4a=-6a=-11a=9a=4a=2a=1a=0.5a=0a=-0.2a=-0.4a=-1xABCDE改寫為：79補(bǔ)充例題2xx.解：

+a+x=0x..x.

-

a+x=0x..x.x.>0x.<0的相平面圖求

+a||+x=0x..x.上半平面的等傾線方程：x.1a+a=-x80三：由相軌跡求時(shí)間響應(yīng)曲線根據(jù)系統(tǒng)的相軌跡可以采用圖解計(jì)算的方法，從相軌跡逐步求出時(shí)間信息，從而獲得系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線x(t)。這里我們介紹一種稱為按平均速度求時(shí)間信息Dt的方法。由x.=dxdtx.=dxdt81ΔxBCΔxCDΔtCDΔtABΔtBCtΔxABxABCDxABCDΔxABΔxCDΔxBCx.CDx.BCx.ABx.82

8.4.3奇點(diǎn)與極限環(huán)相軌跡的斜率可表示為x.x.=dxdf(x,)x.－.x.+f(x,)x.=0在奇點(diǎn)處，相軌跡的斜率不確定，即同時(shí)滿足x.=0f(x,)x.=0一、奇點(diǎn)(Singularpoint)二階系統(tǒng)83二、奇點(diǎn)的類型只要在奇點(diǎn)鄰域內(nèi)滿足線性化條件，則系統(tǒng)方程可表示為：f(x,)x.84(1)0＜x＜1jωσ兩個(gè)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根系統(tǒng)的奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)(Stablefocus)xx.85(2)0＞x＞-1兩個(gè)實(shí)部為正的共軛復(fù)根jωσ系統(tǒng)的奇點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)(Unstablefocus)xx.86(3)x＞1兩個(gè)負(fù)實(shí)根jωσ系統(tǒng)的奇點(diǎn)為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)(Stablenode)xx.87(4)x＜-1兩個(gè)正實(shí)根σjω系統(tǒng)的奇點(diǎn)為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)(Unstablenode)xx.88(5)x＝0兩個(gè)實(shí)部為零的共軛復(fù)根系統(tǒng)的奇點(diǎn)為中心點(diǎn)(Center)xx.jωσ89兩個(gè)異號(hào)實(shí)根jωσ(6)系統(tǒng)的奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)(Saddlepoint)xx.90三、極限環(huán)極限環(huán)(limitcycle)是非線性系統(tǒng)所特有的自激振蕩現(xiàn)象，在相平面圖中表現(xiàn)為一個(gè)孤立的封閉軌跡。91(1)穩(wěn)定極限環(huán)(2)不穩(wěn)定極限環(huán)極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡曲線都從極限環(huán)發(fā)散。xx.極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡曲線都收斂于該極限環(huán)。xx.92xx.(3)半穩(wěn)定極限環(huán)極限環(huán)分割的兩個(gè)區(qū)域都是穩(wěn)定的，或都是不穩(wěn)定的。xx.93補(bǔ)充例題3分析如下系統(tǒng)的穩(wěn)定性.x.x.+0.5+2x+x2=0解：x.=0f(x,)x.=0求得奇點(diǎn)(0,0)和(-2,0).x.x.+0.5+(2+2xi)x=0在(xi,0)奇點(diǎn)附近，系統(tǒng)的線性化方程為24-224-4xx.在奇點(diǎn)(-2,0)處，系統(tǒng)的線性化方程為.x.x.+0.5-2x=0在奇點(diǎn)(0,0)處，系統(tǒng)的線性化方程為.x.x.+0.5+2x=094例8-4

已知一非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。

解：令

經(jīng)整理，得到以極坐標(biāo)變量r

和描述的運(yùn)動(dòng)方程

95當(dāng)x1=

0,x2

=

0

時(shí)，為系統(tǒng)平衡點(diǎn)，下面分析一下該平衡點(diǎn)的類型。

特征方程的根為

96由于特征方程的根是一對(duì)具有正實(shí)部的共軛復(fù)根，奇點(diǎn)(0,0)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)，附近相軌跡為發(fā)散振蕩如圖所示。

當(dāng)x12+x22

=1

時(shí)，在相平面上為一封閉相軌跡，下面分析該相軌跡性質(zhì)。

97假定r<1

，取R1，由于

因此，封閉相軌跡內(nèi)面的相軌跡向單位圓逼近。

假定r

>1

，取r

＝

R2

。

由式

因此，單位圓外面的相軌跡也向單位圓逼近。

988.4.4用相平面法分析

非線性系統(tǒng)一、繼電型控制系統(tǒng)的分析根據(jù)非線性的線性分段情況，把相平面分成幾個(gè)區(qū)域。在各區(qū)域內(nèi)，求出相應(yīng)的線性微分方程，做出各自的相平面圖。根據(jù)連續(xù)性，將相鄰區(qū)域的相軌跡彼此連接成連續(xù)曲線，即得非線性系統(tǒng)的相平面圖。99Ks(Ts+1)+M-Mmecr元件特性為：當(dāng)e＞0時(shí),m=M;當(dāng)e＜0時(shí),m=-M.因此分界線為直線e=0。它把相平面分成兩個(gè)線性區(qū)Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)。

eⅠe.ⅡA0

eⅠe.ⅡA1A2在區(qū)域Ⅰ內(nèi)T+=-KMe..e.等傾線方程：e.-KM/Ta+1/T=e>0,m=M，系統(tǒng)方程為：在區(qū)域Ⅱ內(nèi)T+=KMe..e.e<0,m=-M系統(tǒng)方程為：與T+=-KMe..e.其相平面圖對(duì)稱于原點(diǎn)比較,100M-MΔ-Δem若繼電元件有滯環(huán)特性

在＞0時(shí)的平面內(nèi)，分界線為e=+D。在＜0時(shí)的平面內(nèi)，分界線為e=-D。它們把相平面分為兩部分。e&e&eⅠⅡe.其右半平面，系統(tǒng)在+M信號(hào)作用下，系統(tǒng)方程為：T+=-KMe..e.相軌跡為曲線族Ⅰ。其左半平面，系統(tǒng)在-M信號(hào)作用下，系統(tǒng)方程為：T+=KMe..e.相軌跡為曲線族Ⅱ。101M-MΔ-Δem若繼電元件有死區(qū)

當(dāng)e＞D,m=+M當(dāng)e＜-D,m=-M當(dāng)-D＜e＜D,m=0元件特性為：分界線為e=+D和e=-D，它們將相平面分為三個(gè)區(qū)域eⅠⅡe.III在區(qū)域Ⅰ內(nèi)T+=-KMe..e.在區(qū)域Ⅱ內(nèi)T+=KMe..e.在區(qū)域Ⅲ內(nèi)T+=0e..e.相軌跡斜率為：102二、非線性增益控制系統(tǒng)分析在線性系統(tǒng)中，增益的選擇需要兼顧調(diào)節(jié)時(shí)間，超調(diào)量及振蕩次數(shù)等性能指標(biāo)。在線性系統(tǒng)中只能選取折中方案。若采用非線性校正，則可能得到較好效果。0321xt系統(tǒng)階躍響應(yīng)103Ks(Ts+1)mecrGNmt10e0-e0k系統(tǒng)方程可寫為T+=Kmc..c.ke|

e

|<e0e|

e

|>e0m=e

=r-cT++

Km=e..e.T+r..r.104(一)階躍響應(yīng)分析

AⅡⅠe0e0e0BCDEFe.在區(qū)域Ⅰ內(nèi)

T++kKe=0e..e.在區(qū)域Ⅱ內(nèi)T++Ke=0e..e.105(二)斜坡響應(yīng)分析

BAeⅡⅠCDEp1p20e0e0(b)kKe0＜V＜Ke0,R=0e.p2p1ABe0-e0eⅠⅡ(a)V＜kKe0,R＞e0

0e.T++kKe=V|

e

|<e0

e..e.T++Ke=V|

e

|<e0

e..e.106三、二階時(shí)間—最優(yōu)控制系統(tǒng)的分析及綜合er時(shí)間最優(yōu)控制器直流電動(dòng)機(jī)Js1icc.crRitImax-Imaxc.電動(dòng)機(jī)Mmax=KmImax

加速度Cmax=Mmax/J107設(shè)電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)為Km/s,則i(t)=±Imax

=±JKm.c.Imax=JKm.c.i在r(t)=R作用下，t＞0時(shí),系統(tǒng)的誤差方程=JKm.e.Imax±相軌跡方程為其中K=J2KmImax2=K(e-e0)±e.108Q-Imax0A+ImaxA′B′BpⅠⅡee.109例8-5：如圖所示非線性控制系統(tǒng)在t＝0時(shí)加上一個(gè)幅度為6的階躍輸入，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為，問經(jīng)過多少秒，系統(tǒng)狀態(tài)可到達(dá)原點(diǎn)。解：列寫運(yùn)動(dòng)方程

繼電控制系統(tǒng)s+1rex1uy-1102y=u..e+e>0e+e<0..又

y=-e....于是有

-0.5,e+e>00.5,e+e<0e=..111區(qū)域①：..e=-0.5e=-0.5+c1e=-0.25t2+c1t+c2.代入初始條件有e=-0.5te=-0.25t2+6e=-e2+6112e=-2,e=2區(qū)域②

：

e=0.5e=0.5t2+c3e=0.25t2