河南省洛陽市第四十八中學2021-2022學年高三數學理月考試卷含解析

河南省洛陽市第四十八中學2021-2022學年高三數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.f′（x0）=0是函數f（x）在點x0處取極值的（）A．充分不必要條件 B．既不充分又不必要條件C．充要條件 D．必要不充分條件參考答案：D【考點】利用導數研究函數的極值．【專題】轉化思想；轉化法；簡易邏輯．【分析】根據導函數的零點與函數極值點的關系，結合充要條件的定義，可得答案．【解答】解：f′（x0）=0時，函數f（x）在點x0處不一定取極值，函數f（x）在點x0處取極值時，f′（x0）=0，故f′（x0）=0是函數f（x）在點x0處取極值的必要不充分條件，故選：D【點評】本題考查的知識點是充要條件的定義，熟練掌握并正確理解充要條件的定義是解答的關鍵．2.一個算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結果為10，

則判斷框中應填入的條件是（）A．

B．

C．

D．

參考答案：A3.集合，，則A∩B=（

）A.[－3,3] B. C.(0,3] D.參考答案：C【分析】通過解不等式分別得到集合，然后再求出即可．【詳解】由題意得，，∴．故選C．【點睛】解答本題的關鍵是正確得到不等式的解集，需要注意的是在解對數不等式時要注意定義域的限制，這是容易出現錯誤的地方，屬于基礎題．4.已知點M在曲線上，點N在不等式組所表示的平面區(qū)域上，那么|MN|的最小值是

A．

B．

C．1

D．2參考答案：C5.已知變量x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最大值為A.12

B.11

C.3

D.-1參考答案：B

畫約束區(qū)域如圖所示，令得，化目標函數為斜截式方程得，當時，，故選B。6.若對于定義在R上的函數f(x)，其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=０對任意實數x都成立，則稱f(x)是一個“λ—伴隨函數”.有下列關于“λ—伴隨函數”的結論：①f(x)=０是常數函數中唯一一個“λ—伴隨函數”；②f(x)=x不是“λ—伴隨函數”；③f(x)=x2是“λ—伴隨函數”；④“—伴隨函數”至少有一個零點．其中正確結論的個數是(

)個A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B7.設命題p：函數f（x）=x3在R上為增函數；命題q：函數f（x）=cosx為奇函數．則下列命題中真命題是（）A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨q參考答案：B【考點】復合命題的真假．【專題】簡易邏輯．【分析】先判斷出p，q的真假，從而判斷出復合命題的真假即可．【解答】解：命題p：函數f（x）=x3在R上為增函數，是真命題，命題q：函數f（x）=cosx為奇函數，是假命題，故p∧（￢q）是真命題，故選：B．【點評】本題考查了復合命題的判斷，考查考查函數的奇偶性和單調性，是一道基礎題．8.已知向量a＝(sinx，cosx)，向量b＝(1，)，則|a＋b|的最大值為()A．1

B.

C．3

D．9參考答案：C9.已知函數的零點均在區(qū)間內，則圓的面積的最小值是 A．4 B． C．9 D．以上都不正確參考答案：B∵，當或時，成立，且∴對恒成立，∴函數在R上單調遞增，又∵，，∴函數的唯一零點在[-1,0]內，函數的唯一零點在[-5，-4]內，由題意可知：b-a的最小值為1，∴圓的面積的最小值為。10.已知，則“”是“是偶函數”的（）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知命題“若為任意的正數，則”．能夠說明是假命題的一組正數的值依次為

．參考答案：1,2,3（只要填出，的一組正數即可）12.已知實數x，y滿足約束條件，則的最大值為

.參考答案：12畫出可行域如下圖所示，由圖可知，目標函數在點處取得最大值為.

13.定義在上的函數，滿足，（1）若，則

.（2）若，則

（用含的式子表示）.參考答案：（1）；（2）略14.若單位向量滿足，則向量的夾角的余弦值為_______.參考答案：15.若點P(m,3)到直線4x－3y＋1＝0的距離為4，則m＝_____參考答案：略16.設復數z=，則+?z+?z2+?z3+?z4+?z5+?z6+?z7=_________．參考答案：略17.已知函數在區(qū)間內任取兩個實數，且，不等式恒成立，則實數的取值范圍為

．參考答案：，表示點與點連線的斜率，因為，所以，，即函數圖象在區(qū)間內任意兩點連線的斜率大于1，即在內恒成立。由定義域可知，所以，即，所以成立。設，則，當時，函數的最大值為15，所以，即的取值范圍為。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知函數f(x)=2x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像都過P（2，0），且在點P處有相同的切線.

（1）求實數a、b、c的值.

（2）設函數F(x)=f(x)+g(x)，求F(x)的單調區(qū)間.參考答案：解析：（1）∵f(x),g(x)的圖像過P（2，0）∴f(2)=0即2×23+a×2=0

a=－8…………（2分）g(2)=0即：4×b+c=0……………………（4分）又∵f(x)，g(x)在P處有相同的切線∴4b=16

b=4

c=－16∴a=－18

b=4

c=－16……………………（6分）

（2）F(x)=2x3+4x2－8x－16

F′(x)=6x2+8x－8

解不等式F′(x)=6x2+8x－8≥0得

x≤－2或x≥即單調增區(qū)間為…………（9分）

同理，由F′(x)≤0得－2≤x≤，即單調減區(qū)間為[－2，]…………（12分）19.已知函數f（x）=（x﹣2）ex和g（x）=kx3﹣x﹣2（1）若函數g（x）在區(qū)間（1，2）不單調，求k的取值范圍；（2）當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求k的最大值．參考答案：【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用；函數單調性的性質；函數恒成立問題．【專題】導數的綜合應用．【分析】（1）求出g'（x）=3kx2﹣1，通過①當k≤0時，②當k＞0時，函數g（x）在區(qū)間（1，2）不單調，判斷導數的符號，得到函數有極值，即可求k的取值范圍；（2）構造h（x）=f（x）﹣g（x）=（x﹣2）ex﹣kx3+x+2，轉化h（x）=（x﹣2）ex﹣kx3+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立，通過h'（0）=0，對時，時，判斷函數的單調性，以及函數的最值，是否滿足題意，求出k的最大值．【解答】解：（1）g'（x）=3kx2﹣1…①當k≤0時，g'（x）=3kx2﹣1≤0，所以g（x）在（1，2）單調遞減，不滿足題意；…②當k＞0時，g（x）在上單調遞減，在上單調遞增，因為函數g（x）在區(qū)間（1，2）不單調，所以，解得…綜上k的取值范圍是．…（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=（x﹣2）ex﹣kx3+x+2依題可知h（x）=（x﹣2）ex﹣kx3+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立

…h(huán)'（x）=（x﹣1）ex﹣3kx2+1，令φ（x）=h'（x）=（x﹣1）ex﹣3kx2+1，有φ（0）=h'（0）=0且φ'（x）=x（ex﹣6k）…①當6k≤1，即時，因為x≥0，ex≥1，所以φ'（x）=x（ex﹣6k）≥0所以函數φ（x）即h'（x）在[0，+∞）上單調遞增，又由φ（0）=h'（0）=0故當x∈[0，+∞）時，h'（x）≥h'（0）=0，所以h（x）在[0，+∞）上單調遞增又因為h（0）=0，所以h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，滿足題意；…②當6k＞1，即時，當x∈（0，ln（6k）），φ'（x）=x（ex﹣6k）＜0，函數φ（x）即h'（x）單調遞減，又由φ（0）=h'（0）=0，所以當x∈（0，ln（6k）），h'（x）＜h'（0）=0所以h（x）在（0，ln（6k））上單調遞減，又因為h（0）=0，所以x∈（0，ln（6k））時h（x）＜0，這與題意h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立相矛盾，故舍．…綜上，即k的最大值是．…【點評】本題考查函數的導數的綜合應用，構造法以及轉化思想的應用，同時考查分類討論思想的應用，難度比較大，考查分析問題解決問題的能力．20.（本題滿分12分；第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分6分）在直三棱柱中,,，求：（1）異面直線與所成角的大??；（2）直線到平面的距離．參考答案：（1）因為，所以（或其補角）是異面直線與所成角.

………………1分因為,,所以平面，所以.

………………3分在中,,所以………………5分所以異面直線與所成角的大小為．

………………6分（2）因為//平面所以到平面的距離等于到平面的距離

………………8分設到平面的距離為，因為，所以

………………10分可得

………………11分直線與平面的距離為．

………………12分21.蔬菜批發(fā)市場銷售某種蔬菜，在一個銷售周期內，每售出1噸該蔬菜獲利500元，未售出的蔬菜低價處理，每噸虧損100元.統(tǒng)計該蔬菜以往100個銷售周期的市場需求量，繪制下圖所示頻率分布直方圖.（Ⅰ）求a的值，并求100個銷售周期的平均市場需求量（以各組的區(qū)間中點值代表該組的數值）；（Ⅱ）若經銷商在下個銷售周期購進了190噸該蔬菜，設T為該銷售周期的利潤（單位：元），X為該銷售周期的市場需求量（單位：噸）.求T與X的函數解析式，并估計銷售的利潤不少于86000元的概率.參考答案：(1),181.4;(2);0.66.【分析】（Ⅰ）根據頻率和為1，求得，利用頻率直方圖中平均數的計算公式，求得平均值，即可得到結論．（Ⅱ）根據題意求得與的函數關系式，當時，求得，當，，得到，即可求解銷售的利潤不少于的概率．【詳解】(Ⅰ)由頻率分布直方圖中各個小長方形的面積和為1，可得，解得，．(Ⅱ)由題意可知，當；當，，所以與的函數解析式為.設銷售的利潤不少于86000元的事件記為.當，，當，，所以，所以.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，以及頻率分布直方圖中概率的計算問題，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質，合理列出與的函數關系式是解答本題的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．22.已知函數f（x）=ex，g（x）=ax+b，（a，b∈R）（1）討論函數y=f（x）+g（x）的單調區(qū)間；（2）如果，求證：當x≥0時，．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區(qū)間上函數的最值．【分析】（1）先求導，再分類討論，利用導數和函數單調性關系即可求出，（2）原不等式等價于（e﹣x﹣1）（αx+1）+x≥0，再構造函數，利用函數和最值得關系即可證明【解答】解：（l）y=f（x）+g（x）=ex+ax+b，x∈R，y'=ex+a，若a≥0，則y'＞0所以函數y=f（x）+g（x）的單調增區(qū)間為（﹣∞，+∞），若a＜0，令y'＞0，得x＞ln（﹣a），令y'＜0，得x＜ln（﹣a），所以函數y=f（x）+g（x）的單調增區(qū)間為（ln（﹣a），+∞），單調減區(qū)間為（﹣∞，ln（﹣a））（2）當，x≥0時，要證，即證，即證e﹣x（ax+1）+x≥ax+1，即證（e﹣x﹣1）（αx+1）+x≥0，設h（x）=（e﹣x﹣1）（ax+1）+x，則h（0）=0，h'（x）=e﹣x（a﹣1﹣ax）+1﹣a，下證ex≥x+1，令?（x）=ex﹣x﹣1，則