關(guān)于構(gòu)造法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用4

池州學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文）題目：關(guān)于構(gòu)造法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用學(xué)生姓名：姚江旋學(xué)號：090311125系（部）：數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)系專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)入學(xué)時間：2009年10月導(dǎo)師姓名：李海燕職稱/學(xué)位：講師/碩士導(dǎo)師所在單位：池州學(xué)院關(guān)于構(gòu)造法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用摘要構(gòu)造法是數(shù)學(xué)解題中常用的一種方法，其構(gòu)造出來的數(shù)學(xué)式靈活多樣，有構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造向量等。本文根據(jù)問題不同而選擇相應(yīng)方法作了示范，闡述了構(gòu)造法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，尤其在解決繁難的數(shù)學(xué)問題時，如能根據(jù)具體問題恰當(dāng)運(yùn)用構(gòu)造法，那么就會化難為易、化繁為簡，從而達(dá)到最簡潔快速的解決問題。關(guān)鍵詞：構(gòu)造;函數(shù);解題;應(yīng)用ApplicationofConstructionMethodinSolvingMathematicalProblemsAbstractConstructionmethodisamethodcommonlyusedinmathematicalproblemsolvingmathematicalformulaconstructedflexible,constructors,structuralequation,constructedvector.Thisarticleonhowtoselecttheappropriatemethoddependingontheissuesmadeademonstrationoftheconstructormethodinsolvingmathproblems,especiallyinaddressingthetroublesomemathematicalproblems,suchasthespecificissuestheappropriateuseoftheconstructionmethod,thenitwillanythingeasytosimplify,soastoachievethemostsimpleandfastsolutiontotheproblem.Keywords:construction;function;solvingproblems;application目錄TOC\o"1-3"\h\u21165第一章前言 關(guān)于構(gòu)造法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用第一章前言從數(shù)學(xué)產(chǎn)生那天起，數(shù)學(xué)中構(gòu)造性的方法也就伴隨著產(chǎn)生了。但是構(gòu)造性方法這個術(shù)語的提出，直到把這個方法推向極端，并致力于這個方法的研究，與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的直覺派是密切相關(guān)的。直覺派出于對數(shù)學(xué)“可信性”的考慮，提出了一個著名的口號：“存在必須是被構(gòu)造的。”這就是構(gòu)造主義。近代對構(gòu)造性方法的研究，大致經(jīng)歷了如下三個階段：一是直覺數(shù)學(xué)階段。直覺派的先驅(qū)者是19世紀(jì)末德國的克隆尼克，他明確提出并強(qiáng)調(diào)了能行性，主張沒有能行性就不得承認(rèn)它的存在性。二是算法數(shù)學(xué)階段。算法數(shù)學(xué)的方案是把可容許數(shù)學(xué)對象的范圍限制到某個多少是任意選定的類，而不像直覺數(shù)學(xué)那樣去挑戰(zhàn)傳統(tǒng)的證明規(guī)則。其中以馬爾科夫及其合作者創(chuàng)立的“算法數(shù)學(xué)”，尤為引人注目。三是現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)階段。1967年，比肖泊書的出版宣告了構(gòu)造法進(jìn)入“現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)”階段。實(shí)際上，構(gòu)造法從數(shù)學(xué)產(chǎn)生之時就已經(jīng)存在，在古代數(shù)學(xué)的建立與發(fā)展中起著重要的作用。以西方的《幾何原本》和中國的《九章算術(shù)》為例，盡管兩者在邏輯推理方式上迥異，但在運(yùn)用構(gòu)造性方法方面卻有著一些共同之處。我國古代數(shù)學(xué)所采用的構(gòu)造方法，注重問題解決的能行性，因此形成了豐富的術(shù)，這些術(shù)就是一個個構(gòu)造性的機(jī)械式的計算程序，他們對推動古代數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了重要的作用。數(shù)學(xué)家吳文俊曾指出，《九章算術(shù)》中的開方術(shù)經(jīng)過一千多年發(fā)展到宋代的增開方與正負(fù)開方術(shù)的求方程根的數(shù)值解法是中國古代數(shù)學(xué)構(gòu)造性與機(jī)械性思想方面的代表性成就。由此可知，在數(shù)學(xué)發(fā)展之初，大量的直觀經(jīng)驗(yàn)需要加以總結(jié)和提高，構(gòu)造方法此時就體現(xiàn)出極強(qiáng)的應(yīng)用價值，所以在中西方古代數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中的一種基本方法，它是指當(dāng)某些數(shù)學(xué)問題使用通常辦法，按定勢思維去解決很難奏效時，根據(jù)問題的條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)，從新的角度，用新的觀點(diǎn)觀察、分析、解釋對象，抓住反映問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，把握問題的數(shù)量、結(jié)構(gòu)等關(guān)系的特征，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的新的數(shù)學(xué)對象，或構(gòu)造出一種新的問題形式，使原問題中隱晦不清的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的數(shù)學(xué)對象（或問題形式）中清楚地展現(xiàn)出來，從而借助該數(shù)學(xué)對象（或問題形式）簡捷地解決問題的方法。構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)方法，不同于一般的邏輯方法，它屬于非常規(guī)思維，其本質(zhì)特征是構(gòu)造，其關(guān)鍵是借助對問題特征的敏銳觀察，展開豐富的聯(lián)想、實(shí)施正確的轉(zhuǎn)化。這就要就主體具備良好的知識結(jié)構(gòu)和發(fā)散性的直覺能力。歷史上不少著名的數(shù)學(xué)家都采用構(gòu)造法成功地解決數(shù)學(xué)上的難題，如歐幾里得在《幾何原本》中證明“素數(shù)的個數(shù)是無限的”就是一個典型的范例?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)素質(zhì)教育要求大力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這不僅要使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，而且要使學(xué)生掌握滲透于數(shù)學(xué)知識中的數(shù)學(xué)思想方法，使他們能用數(shù)學(xué)知識和方法解決實(shí)際問題。構(gòu)造法作為一種重要的化歸手段，在數(shù)學(xué)解題中有著重要的作用。本文從構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造復(fù)數(shù)、構(gòu)造向量等多種構(gòu)造方法出發(fā)，談?wù)剺?gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用。相信本課題不僅在理論上豐富了和發(fā)展構(gòu)造法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，而且對社會的發(fā)展也將產(chǎn)生一定的影響。第二章構(gòu)造法在中學(xué)解題中的應(yīng)用2.1構(gòu)造命題當(dāng)論證某些命題感到?jīng)]有直接依據(jù)或比較困難時，可以通過構(gòu)造其有關(guān)引理或輔助命題的辦法，以求問題的解決。2.1.1構(gòu)造引理例1：設(shè)橢圓方程為，試求它的中心軌跡關(guān)于點(diǎn)M（-1,1）對稱圖形的軌跡方程。引理：已知曲線方程，則它關(guān)于點(diǎn)M(a,b)對稱的曲線方程。解：設(shè)橢圓中心為（x,y),根據(jù)題意，有消去參數(shù)的橢圓中心軌跡方程為：由引理知，它關(guān)于M（-1,1）對稱圖形的軌跡方程為即：化為：即為所求軌跡方程。2.1.2構(gòu)造輔助命題法 在解決某些數(shù)學(xué)問題時，如果缺乏現(xiàn)成的根據(jù)，那么我們不妨構(gòu)造一個輔助命題作為根據(jù)，只要證明了這個命題時真命題，原命題就迎刃而解。這種解決數(shù)學(xué)問題的方法，稱為構(gòu)造輔助命題法。例2：解方程(1)分析：直接去原方程的絕對值符號得(2)如果方程（1）與（2）同解，問題就容易解決。但在初等數(shù)學(xué)中沒有定理可用來直接判定這兩個方程是否通解。注意到方程（1）的定義域?yàn)镽，而對于任何恒有,于是可構(gòu)造輔助命題：“設(shè)方程(3)的定義域?yàn)锳,如果對于任何,恒有,那么方程（3）與方程（4）同解?！弊C明：先證（3）的解必是（4）的解，設(shè)是（3）的任一解，則兩邊平方得再證（4）的解必是（3）的解，設(shè)是（4）的任一解，則上式可改寫為，這表明是方程（3）的解，命題得證。根據(jù)上述輔助命題，解例2中方程（1)只須解方程（2）。解得：x=-1或x=7下列方程也可根據(jù)這個輔助命題求解：2.2構(gòu)造函數(shù)法在解決某些數(shù)學(xué)問題時，運(yùn)用函數(shù)概念和性質(zhì)構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為研究這個輔助函數(shù)性質(zhì)的解題方法叫做構(gòu)造函數(shù)法。函數(shù)是數(shù)學(xué)知識中心之一，方程可以看作是函數(shù)值為零的情況，不等式可以看作是兩個函數(shù)之間的不等關(guān)系，因此，方程和不等式都是函數(shù)的特殊表現(xiàn)形式。構(gòu)造函數(shù)的前提和基礎(chǔ)是熟悉函數(shù)的概念，牢固掌握各類初等函數(shù)性質(zhì)。構(gòu)造函數(shù)的過程要求我們敏銳地觀察、正確地判斷、合理地選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，并準(zhǔn)確運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)。有些數(shù)學(xué)問題只要將其中某些變化的量建立起聯(lián)系來構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)性質(zhì)就能解決問題；有些問題實(shí)質(zhì)上與函數(shù)某個性質(zhì)有關(guān)，可以歸納為研究相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)，便可構(gòu)造輔助函數(shù)來解決問題。例3：已知，且滿足：試確定e的最大值（美國第7屆中數(shù)學(xué)競賽題）分析：根據(jù)這兩個式子構(gòu)造以為系數(shù)的二次函數(shù)作為輔助工具手段，從中轉(zhuǎn)化出的不等式。解：由于構(gòu)造二次函數(shù)：由已知條件得:解得：當(dāng)時，有例4：已知求證。分析：因?yàn)?，所以?gòu)造一次函數(shù)的形式，根據(jù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性。解：可構(gòu)造函數(shù)即在R上單調(diào)減函數(shù),即。2.3構(gòu)造方程法作為中學(xué)數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一的方程，它與等式、函數(shù)等許多知識存在著密切的聯(lián)系。有時可根據(jù)題目條件中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出新的方程，將原問題轉(zhuǎn)化為方程的求解式來討論（常用判別式與韋達(dá)定理），從而使問題得到解決。這種方法應(yīng)用較廣，如計算、求值、證明等都可以構(gòu)造輔助方程求解（證）。這時，等式可以理解為方程，恒等式的變形可以理解為方程變形，求值問題可以看成解方程，函數(shù)的許多性質(zhì)也可以歸納為方程來研究。例5：已知，求證：。分析：此數(shù)學(xué)問題不是方程問題，但是通過轉(zhuǎn)化，可以用的表達(dá)式來表示，這樣可以根據(jù)韋達(dá)定理來構(gòu)造一元二次方程。證明：由題意得：而即得因此可構(gòu)造以a、b為根的一元二次方程 令 得:解得：。例6：已知求的值。此題并不難，但如果解法不當(dāng)會求出兩個值，而其中一個是不符合已知條件的卻不易發(fā)現(xiàn)，稍一不注意很易出錯，即使發(fā)現(xiàn)了還需要費(fèi)腦筋排除，而采用構(gòu)造的方法就可以避免上述錯誤，使值唯一。解：將兩邊平方得根據(jù)韋達(dá)定理構(gòu)造方程解得：由已知知所以2.4構(gòu)造數(shù)列法在解題時根據(jù)題目已知條件通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)臄?shù)列來解決問題的方法叫構(gòu)造數(shù)列法。利用構(gòu)造數(shù)列法的前提是靈活運(yùn)用數(shù)列的概念和性質(zhì)，找到題目的已知條件或結(jié)論與數(shù)列的關(guān)系，再利用數(shù)列的知識解決問題。例7：求證：證明：設(shè)，即是遞減數(shù)列，于是即此題的巧妙之處在于恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造了一個輔助數(shù)列，再利用數(shù)列的自身性質(zhì)，將直接難于證明的問題變易，使問題迎刃而解。2.5構(gòu)造復(fù)數(shù)法由于復(fù)數(shù)具有代數(shù)、三角形等多種表示形式以及它的特定性質(zhì)和運(yùn)算法則，我們可以構(gòu)造復(fù)數(shù)求解許多代數(shù)、三角方面的問題。它不但可以提高綜合運(yùn)用知識解題的技巧，而且可激發(fā)發(fā)散思維，破思維定勢，有效地培養(yǎng)學(xué)生的能力、發(fā)展智力。2.5.1構(gòu)造復(fù)數(shù)不等式例8：求證分析：本題特點(diǎn)是左邊為幾個根式之和，因此可借助于復(fù)數(shù)的模來證。證明：構(gòu)造復(fù)數(shù)，則左邊=，即證。2.5.2構(gòu)造復(fù)數(shù)證三角等式例9：已知求證：（1）（2）分析：因題目的條件和結(jié)論都與復(fù)數(shù)的三角式有關(guān)，于是我們聯(lián)想到構(gòu)造復(fù)數(shù)的三角表達(dá)式解題。證：構(gòu)造三個復(fù)數(shù)：則于是有，2.6構(gòu)造向量法利用向量的性質(zhì)解題可起到意想不到的效果。例10：設(shè)，試證：。分析：若能聯(lián)想到不等式兩邊分解成兩個向量的內(nèi)積，然后再利用向量的性質(zhì)化解問題。證明：設(shè)由得：。例11：求的最小值。分析：若用代數(shù)法求解比較困難，為此設(shè)法構(gòu)造向量，利用向量模的性質(zhì)。解：設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立第三章構(gòu)造法在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用3.1構(gòu)造函數(shù)法3.1.1在不等式證明中的應(yīng)用不等式是反映現(xiàn)實(shí)世界中各種復(fù)雜關(guān)系的最基本的形式之一，它在數(shù)學(xué)活動中有著獨(dú)特的地位和作用，不等式的證明歷來都受到數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)工作者和數(shù)學(xué)愛好者的普遍關(guān)注和歡迎。利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式可以說是不等式證明中的一大亮點(diǎn)，也是分析學(xué)的主要成果之一。問題模型:證明函數(shù)不等式。解決思路：根據(jù)函數(shù)不等式的特征構(gòu)造函數(shù)，并利用的符號確定函數(shù)單調(diào)性來證明相應(yīng)的不等式，但若的符號不好確定，可考慮的符號依次來確定的符號，進(jìn)而使問題得到解決。例12：證明：當(dāng)時，。證明:作函數(shù)，，則，而；且在處都連續(xù)，當(dāng)時，推知遞增，有；遞增，有；遞增，有即當(dāng)時，。3.1.2構(gòu)造函數(shù)用零點(diǎn)定理證明根的存在性定理（零點(diǎn)定理）：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號，則至少存在一點(diǎn)，使得，即方程在內(nèi)至少有一個根。例13：證明方程在區(qū)間（0,1）內(nèi)有唯一的實(shí)數(shù)根。證明：構(gòu)造函數(shù)，顯然，函數(shù)在上連續(xù)，且。當(dāng)時，所以。由零點(diǎn)定理可知，函數(shù)在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有一個零點(diǎn)。又因?yàn)??？梢姡瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間（0,1）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，即方程在區(qū)間（0,1）內(nèi)有唯一的實(shí)數(shù)根。3.1.3構(gòu)造函數(shù)用中值定理證明拉格朗日中值定理:若函數(shù)滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間上連續(xù)；（ii）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。例14：設(shè)在上可導(dǎo)，且，在上單調(diào)遞減，試證：也在上單調(diào)遞減。證明：對任意，在上，由拉格朗日中值定理得，，使，即因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以。。從而在上單調(diào)遞減。3.2構(gòu)造積分法19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們在不借助無窮級數(shù)的情況下還不能計算如這樣的定積分。1844年，法國數(shù)學(xué)家、巴黎學(xué)院終生秘書貝特朗（，1822—1900）通過構(gòu)造二元函數(shù)解決了這個定積分計算的難題。為了解決，貝特朗構(gòu)造二元函數(shù)，使得，并設(shè)?？梢酝瞥鱿铝泄剑簶?gòu)造函數(shù)法在定積分的計算問題中有著重要的作用。例15：計算定積分。解：構(gòu)造二次函數(shù)，則有，。令積分上限得到：兩邊對在上求積分可得：，于是可得：。3.3構(gòu)造級數(shù)法級數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、積分等諸多知識密切地聯(lián)系在一起。根據(jù)問題條件中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出一個級數(shù)，然后依據(jù)級數(shù)的理論，使問題在新的關(guān)系下達(dá)到轉(zhuǎn)化而獲解。例16：設(shè)的定義如下：，求。解：構(gòu)造級數(shù)（設(shè)）因此。3.4構(gòu)造伴隨矩陣法構(gòu)造數(shù)學(xué)輔助問題的思維過程應(yīng)當(dāng)符合從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性這一認(rèn)識規(guī)律，按照這一規(guī)律來構(gòu)造某些數(shù)學(xué)問題往往容易奏效。利用伴隨矩陣求逆矩陣，關(guān)鍵在于構(gòu)造伴隨矩陣。例17：求矩陣的逆矩陣。解：設(shè)逆矩陣，則。因,所以由克萊姆法則解得：所以即為A的逆矩陣。第四章總結(jié)通過以上的探討，可以發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中有著意想不到的功效，它使問題很快得到解決。構(gòu)造法解題重在“構(gòu)造”，它能啟發(fā)多角度多渠道的廣泛聯(lián)想，獲得許多構(gòu)思巧妙、新穎獨(dú)特、簡潔有效的解題方法，加強(qiáng)知識的理解，培養(yǎng)思維的靈活性，提高人們分析問題時的創(chuàng)新能力。因此研究構(gòu)造法，研究數(shù)學(xué)方法，不僅對培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力意義重大，它作為一種重要的“數(shù)學(xué)思想”還有著更深刻的內(nèi)涵?？梢哉f，數(shù)學(xué)思想是人們數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規(guī)律的理性認(rèn)識。這種認(rèn)識的主體是人類歷史上過去、現(xiàn)在以及將來有名無名的數(shù)學(xué)家，而認(rèn)識的客體，則包括數(shù)學(xué)科學(xué)的對象及其特征，研究途徑與方法的特點(diǎn)，研究成就的精神文化價值及對物質(zhì)世界的實(shí)際作用，內(nèi)部各種成果或結(jié)論之間的互相關(guān)聯(lián)和互相支持的關(guān)系等。事實(shí)上，世界各國都已經(jīng)認(rèn)識到，在當(dāng)今和未來社會的許多行業(yè)，直接用到學(xué)校數(shù)學(xué)知識的機(jī)會并不多，而且也不是固定不變的，