第八講相似性設計

第八講相似性設計第一頁，共四十二頁，2022年，8月28日一、相似理論的基本概述與基本概念為什么設計一條新船型通常需做模型實驗?第二頁，共四十二頁，2022年，8月28日解決實際中流體力學問題，通常有兩種途徑

：

實際流動現(xiàn)象很復雜，一般難以用微分方程來描述。即使能夠建立微分方程，由于數(shù)學上的困難，往往也難于求解。因此，進行實驗研究是解決許多流體動力學問題的重要手段。建立描述流動過程的微分方程式，給定初始條件、邊界條件對微分方程求解（例如解N-S方程）通過實驗尋求流動過程的規(guī)律性

第三頁，共四十二頁，2022年，8月28日問題的提出：1.實驗條件如何安排？（設計實驗模型的根據(jù)）進行實驗研究，需要解決什么問題？

3.試驗結果如何換算？（試驗結果與實際流動之間服從什么關系）

2.試驗數(shù)據(jù)如何整理？

解決上述三個問題，是進行流體力學試驗研究的基本問題。模型試驗是對真實流動現(xiàn)象在實驗室內(nèi)的再現(xiàn)，目的是揭示流動的物理本質。第四頁，共四十二頁，2022年，8月28日相似理論？相似理論是研究自然界和工程中各種物理過程相似原理的學說，可以把個別現(xiàn)象的研究結果推廣到所有相似的現(xiàn)象中，以減少試驗次數(shù)。早在1606～1638年間，俄國學者米哈伊洛夫、意大利學者伽利略等都從力學相似的某種情況提出過相似的概念。直到1848年，法國科學院院士伯朗特在分析力學方程的基礎上首先確定了相似現(xiàn)象的基本性質，提出了相似第一定理。十九世紀初俄國學者費德爾曼和基爾皮喬夫等相繼提出了相似第二定律和相似第三定律。當前相似理論已廣泛的應用于水力學、空氣動力學、爆炸問題和天體物理學等領域。

第五頁，共四十二頁，2022年，8月28日相似理論在許多流體機械中被廣泛應用，特別是葉輪式流體機械。相似理論的用途：⑴相似設計（?；O計）——新產(chǎn)品仿造⑵相似計算（性能參數(shù)換算）——兩相似機或一機因n不同而進行的其它參數(shù)的換算。⑶相似實驗（模型實驗）——用模型替代實物進行實驗。利用相似理論進行設計、制造和實驗在科技、工程等領域具有廣泛的應用價值。相似理論及應用第六頁，共四十二頁，2022年，8月28日模型試驗的意義模型試驗作為一種研究手段，可以嚴格控制實驗對象的主要參量而不受外界條件的限制；模型試驗有利于在復雜的試驗過程中突出主要矛盾，便于把握、發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象的本質特征和內(nèi)在聯(lián)系；與原型相比，尺寸一般是按比例縮小的，容易制造，節(jié)省資金、人力、時間和空間；能預測和探索尚未建造出來或根本不能進行直接研究的事物對象的性能；第七頁，共四十二頁，2022年，8月28日模型試驗的意義對于自然界一些變化緩慢的現(xiàn)象，模型可以加快其研究進程，而對于一些稍縱即逝的現(xiàn)象，模型可以減緩其過程；當其他各種分析方法或實驗方法不能采用時，模型試驗成了現(xiàn)象研究唯一的研究手段。第八頁，共四十二頁，2022年，8月28日1.幾何相似:

對應邊成比例，對應角相等。

原型流動Prototype模型流動Model對用邊成比例:對應角相等：第九頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.運動相似對應點上，流體質點速度的方向相同，大小成比例。第十頁，共四十二頁，2022年，8月28日運動相似的兩個流動系統(tǒng)中，對應流體質點位移對應距離所需的時間間隔成比例：Ｃｖ，ＣL均為常數(shù)，則Ｃｔ也為常數(shù)，即運動相似的系統(tǒng)，時間也相似。

運動相似必須以幾何相似為前提。第十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日

Ｃｖ，Ｃｔ均為常數(shù)，則Ｃａ也為常數(shù)，即運動相似的系統(tǒng)中，加速度也相似。

運動相似的系統(tǒng)，對應點的加速度也相似。第十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日3、動力相似在對應點上，同名力的方向相同，大小成比例第十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日對于各種同名力，應成同一比例

在原形和模型兩個系統(tǒng)中，若動力相似，對應點上的各種力組成的力多邊形應相似，故每兩邊之間的夾角應相等。第十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日其他相似條件時間相似:兩個相似流動中各種參數(shù)對于時間的變化過程相似，并完成一個特定的流動過程所用的時間成比例。熱力相似：兩個流動過程內(nèi)部的熱功轉化過程和熱量傳遞過程相似。物性相似：兩個流動對應點上介質的物性參數(shù)，如密度、粘性系數(shù)、比容成比例。第十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日二、相似定理相似準則（判據(jù)）：流動現(xiàn)象的特征量所組成的無量綱組合數(shù)。相似準則的作用：判斷兩個現(xiàn)象是否相似；

在進行模型試驗時，模型系統(tǒng)與實物系統(tǒng)的特征物理量之間應保持一定的關系，這些關系就是由相似準則推導出來的。第十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日

1.相似性第一定理（正定理）對于相似的現(xiàn)象，其相似準則的數(shù)值相同。二、相似定理以質點運動為例簡單說明這一問題。對于所有相似的現(xiàn)象：第十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日

2.相似性第二定理（π定理）

設一物理系統(tǒng)有n個物理量，其中k個物理量的量綱是相互獨立的，那么這n個物理量可表示成π1，π2….πn-k之間的函數(shù)關系。F(π1，π2….πn-k)=0第十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日π定理對于n個正值的、不消失（量綱不為零）的物理量的系統(tǒng)，具有如下描述該系統(tǒng)的、完整的函數(shù)關系：式中，前k項假定為可一次提出的最大數(shù)量的、量綱相互獨立的物理量，或稱基本物理量。其余n-k項為導出物理量。第十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日二、相似定理３．相似性第三定理對于同一類物理現(xiàn)象，如果單值量相似，而且由單值量所組成的相似準則在數(shù)值上相等，則現(xiàn)象相似。相似現(xiàn)象都應由文字完全相同的方程所描述；相似現(xiàn)象的單值條件也相似；由單值條件的物理量所組成的相似準則在數(shù)值上應相等。相似第一、第二定理都是在假設兩現(xiàn)象相似的條件下得到兩現(xiàn)象的物理量之間的關系，而第三定理用定理來通過現(xiàn)象最少的外部特征來判斷是否相似。第二十頁，共四十二頁，2022年，8月28日舉流體為例說明各種單值條件的意義幾何條件。許多具體現(xiàn)象都發(fā)生在一定的幾何空間內(nèi)，參與過程的物體的幾何形狀和大小就應作為一個單值條件提出。例如：流體在管內(nèi)流動，應給出管徑和管長的具體數(shù)值。介質條件。參與過程的介質，其物理性質應視作一種單值條件。如：介質密度，粘性等。邊界條件。如：管道內(nèi)流體在進口、出口處的流速平均值及其分布規(guī)律。初始條件。許多物理現(xiàn)象，其發(fā)展過程受起伏狀態(tài)的影響，因此，應把初始條件作為單值條件加以考慮。第二十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日三、定律分析法假定6kg烤肉需要花費3h，問用同一溫度的爐子做3kg烤肉（設兩塊肉外形相似），需要花費多少小時？解：支配這一現(xiàn)象的物理定律是熱傳導以及由熱量積蓄所引起的溫度升高。傳給每單位質量肉的熱量可按如下物理定律計算：klTt為溫度升高而在每單位質量肉內(nèi)積蓄的熱量可按如下物理定律計算：QC=cρVTcρl3T第二十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日三、定律分析法第二十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、方程分析法兩流動現(xiàn)象相擬的充分必要條件：滿足同一微分方程式，而且邊界條件和初始條件相似。一撇:原形系統(tǒng)兩撇：模型系統(tǒng)

對于粘性流體流動相似問題，兩個流動相似系統(tǒng)，均滿足N——S方程（以ｘ方向為例）(a)(b)第二十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日

兩系統(tǒng)流動相似，所有同類物理量成比例，對應的相似常數(shù)表示如下：第二十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日局部慣性力變位慣性力

質量力壓力

粘性力第二十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日全式除以變位慣性力項得：引入音速的傳播公式：對應的相似常數(shù)為所以第二十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日因此可以得到如下五項重要的結果：特洛哈爾數(shù)：佛勞德數(shù)：歐拉數(shù)：第二十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日雷諾數(shù)：馬赫數(shù)：以上五個無因次數(shù)稱為相似準則（相似準數(shù)）第二十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法量綱分析的基本概念一、單位與量綱單位：表征各物理量的大小。如長度單位m、cm、mm；時間單位小時、分、秒等。量綱：表征各物理量單位的種類。如m、cm、mm等同屬于長度類，用L表示；小時、分、秒等同屬于時間類，用T表示；公斤、克等同屬于質量類，用M表示。第三十頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法二、基本量綱與基本物理量1.基本量綱：具有獨立性、唯一性在工程流體力學中，若不考慮溫度變化，則常取質量M、長度L和時間T三個作為基本量綱。其它物理量的量綱可用基本量綱表示，如流速dimv＝LT－1密度dimρ＝ML－3

力dimF＝MLT－2

壓強dimp=ML－1T－1第三十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法2.基本物理量：具有獨立性，但不具唯一性在工程流體力學中，若不考慮溫度變化，通常取3個相互獨立的物理量作為基本物理量。如ρ(密度)、V(流速)、d(管徑)或F(力)、a(加速度)、l(長度)等?；疚锢砹开毩⑿耘袆e任何兩個物理量的組合不能推出第3個物理量的量綱，即為3個物理量相互獨立。第三十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法三、物理方程的量綱齊次性原理凡是正確描述自然現(xiàn)象的物理方程，其方程各項的量綱必然相同。量綱齊次性原理是量綱分析的理論基礎。工程中仍有個別經(jīng)驗公式存在量綱不齊次。滿足量綱齊次性的物理方程，可用任一項去除其余各項，使其變?yōu)闊o量綱方程。如流體靜力學基本方程用除其余各項，可得無量綱方程：第三十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法常用的量綱分析方法有瑞利法和泊金漢法（也稱π定理）。

一、瑞利法

基本思想：假定各物理量之間呈指數(shù)形式的乘積組合。第三十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法[例1]

已知管流的特征流速Vc與流體的密度ρ、動力粘度μ和管徑d有關，試用瑞利量綱分析法建立Vc的公式結構.[解]式中k為無量綱常數(shù)。其中，各物理量的量綱為：假定第三十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法代入指數(shù)方程，則得相應的量綱方程根據(jù)量綱齊次性原理，有解上述三元一次方程組得：故得：其中常數(shù)k需由實驗確定.第三十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法二、π定理

基本思想：對于某個物理現(xiàn)象，若存在n個變量互為函數(shù)關系，即而這些變量中含有m個基本物理量，則可組合這些變量成為(n–m)個無量綱π數(shù)的函數(shù)關系，即第三十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法[例2]

實驗發(fā)現(xiàn)，球形物體在粘性流體中運動所受阻力FD與球體直徑d、球體運動速度V、流體的密度ρ和動力粘度μ有關，試用π定理量綱分析法建立FD的公式結構.[解]選基本物理量ρ、V、d，根據(jù)π定理，上式可變?yōu)槠渲屑俣ǖ谌隧?，共四十二頁?022年，8月28日四、量綱分析法對π1：解上述三元一次方程組得：故第三十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、量綱分析法代入，并就FD解出，可得：式中為繞流阻力系數(shù)，由實驗確定。同理：第四十頁，共四十二頁，2022年，8月28日五、相似性設計相似理論在產(chǎn)品系列化中的應用稱為相似性設計。系列化產(chǎn)品一般具有相同功能、相同結構方案、相同或相似加工工藝，但