2019-2021北京高二（上）期中數(shù)學匯編：空間向量的的應用

13/132019-2021北京高二（上）期中數(shù)學匯編空間向量的的應用一、單選題1．（2020·北京豐臺·高二期中）已知平面的一個法向量為，且，則點A到平面的距離為（

）A． B． C． D．12．（2021·北京海淀·高二期中）過點且與向量垂直的向量（

）A．有且只有一個 B．有無數(shù)個且共面C．只有兩個且方向相反 D．有無數(shù)個且共線3．（2021·北京海淀·高二期中）若平面的法向量為，直線的方向向量為，直線與平面的夾角為，則下列關系式成立的是A． B． C． D．二、填空題4．（2021·北京海淀·高二期中）平面的法向量為，若向量，則直線與平面的位置關系為________．三、解答題5．（2019·北京海淀·高二期中）如圖，平面，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長.6．（2020·北京豐臺·高二期中）如圖，在直三棱柱中，，，.是的中點，是的中點，點在線段上，且，是與的交點.（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？請說明理由.7．（2020·北京豐臺·高二期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，.（1）求證：；（2）求平面與平面的夾角.8．（2021·北京通州·高二期中）在空間直角坐標系中，已知向量，，．(1)求向量在向量上的投影向量；(2)求平面的法向量；(3)求點到平面的距離．9．（2021·北京通州·高二期中）在棱長為2正方體中，，分別為和的中點，為上的動點，平面與棱交于點．(1)求證：點為中點；(2)求證：；(3)當為何值時，與平面所成角的正弦值最大，并求出最大值．10．（2021·北京通州·高二期中）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，，分別為和的中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．11．（2021·北京海淀·高二期中）如圖，在三棱柱中，，頂點在底面上的射影恰為點，且．(1)分別求出與底面、棱所成的角的大小；(2)在棱上確定一點，使，并求出二面角的平面角的余弦值．12．（2021·北京海淀·高二期中）在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點．（1）證明：AC⊥SB；（2）求二面角N-CM-B的正切值大小；（3）求點B到平面CMN的距離．

參考答案1．B【解析】直接由點面距離的向量公式就可求出．【詳解】∵，∴，又平面的一個法向量為，∴點A到平面的距離為故選：B2．B【解析】以向量為法向量，且過點的平面有且只有一個，設為平面，則平面中過點的向量都符合題意，從而得到結果．【詳解】由題意可知，以向量為法向量，且過點的平面有且只有一個，設為平面，則平面內過點的向量都與向量垂直，這樣的向量有無數(shù)個且共面，故選：B．3．D【解析】根據(jù)線面角的正弦值的計算公式，判斷出正確選項.【詳解】由于直線與平面的夾角為，其中，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查線面角的正弦值的向量求法，屬于基礎題.4．平面或平面【解析】根據(jù)題意，分平面和平面兩種情況討論，分別得到直線與平面的位置關系即可．【詳解】由題意，平面的法向量為，向量，若平面，則成立，若平面，則平面，∴直線與平面的位置關系為平面或平面，故答案為：平面或平面．5．（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】首先利用幾何體的特征建立空間直角坐標系(Ⅰ)利用直線BF的方向向量和平面ADE的法向量的關系即可證明線面平行；(Ⅱ)分別求得直線CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解線面角的正弦值即可；(Ⅲ)首先確定兩個半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值計算公式得到關于CF長度的方程，解方程可得CF的長度.【詳解】依題意，可以建立以A為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標系(如圖)，可得.設，則.(Ⅰ)依題意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因為直線平面，所以平面.(Ⅱ)依題意，，設為平面BDE的法向量，則，即，不妨令z=1，可得，因此有.所以，直線與平面所成角的正弦值為.(Ⅲ)設為平面BDF的法向量，則，即.不妨令y=1，可得.由題意，有，解得.經檢驗，符合題意?所以，線段的長為.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.6．（1）證明見詳解；（2）存在，在靠近點的處.【解析】（1）以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，求出，即證.（2）假設上存在點，令，利用線面角的向量求法可得，即可求解.【詳解】如圖，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，，，，，因為是的中點，所以，因為，所以，所以，，，設平面的一個法向量為，所以，即，令，則，所以，所以,所以平面.（2）假設上存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，令，則,，因為直線與平面所成角的正弦值為，所以，，解得（舍去），，所以存在點，在靠近點的處.【點睛】方法點睛：利用向量證明線面垂直的常用方法如下：①證明直線的方向向量與平面的某一法向量垂直.②證明直線的方向向量與平面內某一條直線的方向向量平行.③證明直線的方向向量可以用平面內的兩個不共線的向量表示.7．（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由線面垂直的性質即可得證；（2）建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量為、平面的一個法向量為，利用即可得解.【詳解】（1）證明：因為側棱底面，平面，所以；（2）由題意，底面是正方形，側棱底面，則以點為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，,所以，，，設平面的一個法向量為，則，令則，設平面的一個法向量為，則，令則，則，又平面與平面的夾角為銳角，所以平面與平面的夾角為.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是建立空間直角坐標系，將二面角轉化為平面法向量的夾角.8．(1)；(2)；(3).【解析】(1)求出的坐標，再根據(jù)投影向量的定義直接計算作答.(2)求出的坐標，設出平面的法向量坐標，借助數(shù)量積列式計算作答.(3)利用點到平面距離的向量求法直接列式計算即可作答.(1)因向量，，則，于是得，所以向量在向量上的投影向量.(2)因向量，，則，由(1)知，設平面的一個法向量，則，令，得，所以平面的法向量.(3)由(2)得點到平面的距離，所以點到平面的距離為.9．(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)時，與平面所成角的正弦值最大，最大值為．【解析】（1）只要證明即可；（2）只要證明垂直于所在平面即可；（3）用向量數(shù)量積計算直線與平面成角的正弦值，再用不等式求解最大值即可．(1)證明：因為平面與棱交于點，又因為、是平面與平面共公點，所以平面平面，因為是正方體，所以平面，所以，又因為，所以，因為為中點，所以點為中點．(2)證明：連接，交于，因為，，所以，所以，所以，又因為平面，平面，，因為，所以平面，因為平面，所以．(3)解：建系如圖，設，，，，2，，，0，，，1，，，0，，，，，，，，，，，，，，令，3，，因為，，所以平面的法向量是，所以與平面所成角的正弦值為，當時等號成立．所以當時，與平面所成角的正弦值最大，最大值為．10．(1)證明見解析；(2).【解析】（1）建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，通過證明與平面的法向量垂直，即可證明結論；（2）利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，然后由向量的夾角公式求解即可．(1)證明：由題意四棱錐的底面為正方形，底面，故以點為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，因為，，分別為和的中點，則，0，，，1，，所以，又平面的一個法向量為，所以，故，又平面，故平面.(2)解：因為，2，，，0，，，1，，所以，設平面的法向量為，則，即，令，則，，故，所以，故平面與平面的夾角的余弦值為．11．(1)與底面所成的角為45°，與所成角的大小為60°(2)為中點，【解析】（1）建立空間直角坐標系利用向量法即求；（2）先用兩點間距離公式，列方程確定P點位置，再用向量數(shù)量積計算二面角余弦值．(1)由題意，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為是在平面內投影，所以為與底面的所成角，又因為，所以，所以與底面所成的角為45°．因為，，，所以，，所以與所成的余弦值為，所以與所成角的大小為60°．(2)∵，，設，則，因為，所以，，解得，于是，即為中點，又，，設平面的法向量為，，令，平面的法向量可取，因為二面角為銳角，所以二面角的平面角的余弦值為．12．(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析.【解析】⑴取AC中點O，連結OS、OB∵平面平