大變形問(wèn)題的有限元分析概要

第三章大變形問(wèn)題的有限元分析目的：以大變形問(wèn)題為例，介紹幾何非線性問(wèn)題的有限元方法。特點(diǎn)：與線性有限元方法比較，幾何關(guān)系不再是線性的。內(nèi)容：引言大變形問(wèn)題的應(yīng)變描述大變形分析中的應(yīng)力描述及本構(gòu)關(guān)系大變形問(wèn)題有限元方程的建立大變形分析中的載荷處理小結(jié)2/18/20231引言幾何非線性問(wèn)題：位移與應(yīng)變成非線性（微分意義上）關(guān)系。物理現(xiàn)象：將位移（轉(zhuǎn)動(dòng)）和/或應(yīng)變較大的問(wèn)題統(tǒng)稱為大變形問(wèn)題，有時(shí)稱為有限變形問(wèn)題。這類問(wèn)題又分為大位移（轉(zhuǎn)動(dòng)）小應(yīng)變問(wèn)題及大位移大應(yīng)變問(wèn)題兩大類。

探討意義：和材料非線性問(wèn)題一樣重要。例如，平板的彎曲問(wèn)題，大撓度理論分析結(jié)果更符合實(shí)際狀況；薄殼的屈曲，非線性理論的預(yù)料值更好。又例如，對(duì)于橡皮型材料，大變形還必需考慮本構(gòu)關(guān)系的變更，這與純粹的材料非線性又有區(qū)分。幾何線性問(wèn)題：位移與應(yīng)變成線性（微分）關(guān)系；探討現(xiàn)狀：大變形問(wèn)題有限元分析的理論和方法存在不同學(xué)派間的爭(zhēng)鳴，尚未得到一個(gè)權(quán)威性的結(jié)論。隨之并發(fā)的其它問(wèn)題，如解的穩(wěn)定性、收斂性及收斂率等，都有待進(jìn)一步深化探討。2/18/20232大變形問(wèn)題的應(yīng)變描述(1/4)問(wèn)題的特點(diǎn)：由于變形較大，使得不同時(shí)刻物體具有差別不能忽視的不同構(gòu)型，這是大變形問(wèn)題分析的基本動(dòng)身點(diǎn)。初始構(gòu)型（0時(shí)刻）(a)(b)(c)現(xiàn)時(shí)構(gòu)型（t時(shí)刻）當(dāng)前構(gòu)型（時(shí)刻）連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論對(duì)物體閱歷大變形后的變形有嚴(yán)格的定義和推導(dǎo)。這里不準(zhǔn)備過(guò)多引入困難的概念和符號(hào)，而是與小變形理論比照，介紹進(jìn)行大變形分析時(shí)必需的幾個(gè)概念和術(shù)語(yǔ)。大變形問(wèn)題的分析方法：增量法。2/18/20233大變形問(wèn)題的應(yīng)變描述(2/4)描述的動(dòng)身點(diǎn)：物體的變形描述建立在確定的參考構(gòu)型上。大變形分析由于接受增量方法，需常常用到它們的增量形式。Green應(yīng)變張量：以初始構(gòu)型為參考構(gòu)型所定義的應(yīng)變，數(shù)學(xué)表示為現(xiàn)時(shí)（Updated）Green應(yīng)變張量：以現(xiàn)時(shí)構(gòu)型為參考構(gòu)型所定義的應(yīng)變，數(shù)學(xué)表示為留意：我們用下標(biāo)的大小寫表示坐標(biāo)的大小寫，對(duì)應(yīng)于不同的構(gòu)型。2/18/20234大變形問(wèn)題的應(yīng)變描述(3/4)應(yīng)變?cè)隽浚篏reen應(yīng)變?cè)隽浚含F(xiàn)時(shí)（Updated）Green應(yīng)變?cè)隽浚壕€性部分非線性部分線性部分非線性部分二者之間滿足張量變換關(guān)系！2/18/20235大變形問(wèn)題的應(yīng)變描述(4/4)應(yīng)變?cè)隽浚海ɡm(xù)）－對(duì)于大變形小應(yīng)變情形

Green應(yīng)變?cè)隽客嘶桑含F(xiàn)時(shí)（Updated）Green應(yīng)變?cè)隽客嘶桑壕€性部分非線性部分是高階小量線性部分非線性部分是高階小量對(duì)于小變形情形2/18/20236大變形問(wèn)題的應(yīng)力描述(1/2)應(yīng)力是借助于微元體來(lái)定義的，但在大變形分析中，必需留意微元體所在的構(gòu)型。Euler應(yīng)力：與應(yīng)變類似，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論具有嚴(yán)格的應(yīng)力定義和多種不同的應(yīng)力概念。這里也只介紹后面將要用到的幾種。從當(dāng)前構(gòu)型中取出微元體，在其上定義的應(yīng)力稱為Euler應(yīng)力，用表示。Euler應(yīng)力代表物體的真實(shí)應(yīng)力。然而，當(dāng)前構(gòu)型是待求的未知構(gòu)型，因而，有必要通過(guò)已知構(gòu)型上的微元體再對(duì)應(yīng)力進(jìn)行描述。

Kirchhoff應(yīng)力：通過(guò)初時(shí)構(gòu)型上的微元體定義的應(yīng)力稱為Kirchhoff應(yīng)力，用表示；通過(guò)現(xiàn)時(shí)構(gòu)型的微元體定義的應(yīng)力稱為現(xiàn)時(shí)（Updated）Kirchhoff應(yīng)力，用表示。

2/18/20237大變形問(wèn)題的應(yīng)力描述(2/2)Kirchhoff、現(xiàn)時(shí)Kirchhoff及Euler應(yīng)力（增量）間的關(guān)系：依據(jù)張量的坐標(biāo)變換規(guī)則，它們之間還有以下關(guān)系現(xiàn)時(shí)Kirchhoff應(yīng)力Euler應(yīng)力現(xiàn)時(shí)Kirchhoff應(yīng)力增量時(shí)刻t時(shí)刻特點(diǎn)：以現(xiàn)時(shí)構(gòu)型為參考。2/18/20238大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系(1/5)本構(gòu)關(guān)系的客觀性要求：須要選取合適的應(yīng)力－應(yīng)變共軛對(duì)描述材料的本構(gòu)關(guān)系。彈性材料：加載曲線與卸載曲線相同的材料。本構(gòu)關(guān)系有三種形式，

為常數(shù)線彈性材料(elasticity)超彈性材料(hyperelasticity)次彈性材料

(hypoelasticity)（大變形分析中）2/18/20239大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系(2/5)彈性材料

若Kirchhoff應(yīng)力與Green應(yīng)變之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則稱這類材料為彈性材料

不依靠于構(gòu)型變更彈性本構(gòu)關(guān)系多用于大位移（轉(zhuǎn)動(dòng)）小應(yīng)變的情形。

特殊情形2/18/202310大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系(3/5)

超彈性材料假定材料具有單位質(zhì)量的應(yīng)變能函數(shù)，再依據(jù)能量原理來(lái)定義本構(gòu)關(guān)系，這類材料稱為超彈性材料。(不限于這種形式）總之，對(duì)于一般的大變形問(wèn)題，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中常用超彈性來(lái)表征材料的本構(gòu)關(guān)系。

例如一階近似初始構(gòu)型時(shí)材料的密度－常數(shù)增量形式…坐標(biāo)變換現(xiàn)時(shí)Kirchhoff應(yīng)力或增量形式…Case-1Case-2不能簡(jiǎn)化！一階近似現(xiàn)時(shí)構(gòu)型時(shí)材料的密度－隨變形變更。相比較2/18/202311大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系(4/5)

次彈性材料若應(yīng)力率與變形率之間成線性變更規(guī)律，這類材料稱為次彈性材料。但本構(gòu)關(guān)系描述時(shí)要求“率”為與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān)的客觀時(shí)間導(dǎo)數(shù)。同乘以時(shí)間增量增量形式…Case-2Case-1可以證明，這兩個(gè)率都與轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān)Jaumann應(yīng)力率

現(xiàn)時(shí)Green應(yīng)變的線性部分

可以證明，這兩個(gè)率都與轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān)旋轉(zhuǎn)率2/18/202312大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系(5/5)

三種本構(gòu)關(guān)系間的關(guān)系對(duì)于實(shí)際的大變形問(wèn)題，上述三種本構(gòu)關(guān)系并不等價(jià)?？梢宰C明，彈性材料是一種特殊的次彈性材料，超彈性材料是一種特殊的彈性材料。實(shí)際材料所遵守的本構(gòu)關(guān)系，只有通過(guò)試驗(yàn)測(cè)試才能得以確定。次彈性材料彈性材料超彈性材料2/18/202313大變形問(wèn)題有限元方程的建立

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與塑性力學(xué)有限元方法的異同區(qū)分：塑性力學(xué)的本構(gòu)關(guān)系隨加載變更，而大變形問(wèn)題的構(gòu)型隨加載變更。TL？UL?本節(jié)探討相像：都接受增量方法，都不顯含時(shí)間。導(dǎo)致分析方法、應(yīng)力應(yīng)變描述、本構(gòu)關(guān)系、限制方程的變更。構(gòu)型對(duì)應(yīng)構(gòu)型相關(guān)，本節(jié)探討。。?？陀^性描述2/18/202314大變形問(wèn)題有限元方程的建立

(2/6)

TL法有限元方程的建立特點(diǎn)：始終以初始（0時(shí)刻）構(gòu)型做為應(yīng)力與應(yīng)變描述的參考構(gòu)型，因而，接受Kirchhoff應(yīng)力（增量）和Green應(yīng)變（增量）。t時(shí)刻:TL法：TotalLagrangianDescription（TLD）虛功方程：優(yōu)點(diǎn)：參考構(gòu)型不發(fā)生變更，本構(gòu)關(guān)系與虛功方程描述形式簡(jiǎn)潔。

時(shí)刻:兩式相減，得增量型虛功方程：2/18/202315大變形問(wèn)題有限元方程的建立

(3/6)

TL法有限元方程的建立（續(xù)）將有限元位移插值、初始構(gòu)型下的幾何關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系引入后，得到剛度矩陣形式較困難，因問(wèn)題的類型而不同。載荷向量TL法的求解步驟:Step1：利用有限元方程求出間隔內(nèi)的位移增量；Step2：利用幾何關(guān)系，計(jì)算Green應(yīng)變?cè)隽?；Step3：利用本構(gòu)關(guān)系，計(jì)算Kirchhoff應(yīng)力增量

；Step4：更新當(dāng)前時(shí)刻；更新當(dāng)前應(yīng)力；計(jì)算當(dāng)前剛度矩陣和載荷向量。

Step5：轉(zhuǎn)到Step1，進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間間隔計(jì)算。2/18/202316大變形問(wèn)題有限元方程的建立

(4/6)

UL法有限元方程的建立特點(diǎn)：總以t時(shí)刻（即現(xiàn)時(shí)構(gòu)型）為參考構(gòu)型，也就是說(shuō)參考構(gòu)型是變更的，因而，接受現(xiàn)時(shí)Kirchhoff應(yīng)力（增量）和現(xiàn)時(shí)Green應(yīng)變（增量）。UL法：UpdatedLagrangianDescription（ULD）仿照TL法的推導(dǎo)，可得虛功方程：優(yōu)點(diǎn)：可以處理加載方式更為困難的問(wèn)題，亦可處理邊界非線性問(wèn)題等。TL法的增量型虛功方程：2/18/202317大變形問(wèn)題有限元方程的建立

(5/6)UL法有限元方程的建立（續(xù)）將有限元位移插值、初始構(gòu)型下的幾何關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系引入后，得到UL法的求解步驟及與TL法的比較:Step1：利用有限元方程求出間隔內(nèi)的位移增量；Step2：利用幾何關(guān)系，計(jì)算現(xiàn)時(shí)Green應(yīng)變?cè)隽?；Step3：利用本構(gòu)關(guān)系，計(jì)算現(xiàn)時(shí)Kirchhoff應(yīng)力增量

；Step4：更新當(dāng)前時(shí)刻；更新當(dāng)前應(yīng)力,依據(jù)計(jì)算，并且使得；更新當(dāng)前構(gòu)型；計(jì)算當(dāng)前剛度矩陣與載荷向量。Step5：轉(zhuǎn)到Step1，進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間間隔計(jì)算。2/18/202318大變形問(wèn)題有限元方程的建立

(6/6)小結(jié)大變形問(wèn)題有限元方法與彈塑性問(wèn)題有限元方法都是在增量意義上通過(guò)擬線性化，進(jìn)而加以求解。但彈塑性問(wèn)題有限元方法在確定彈塑性狀態(tài)時(shí)還應(yīng)當(dāng)進(jìn)行迭代或按優(yōu)化問(wèn)題處理，這點(diǎn)與接觸問(wèn)題類似。所以，從方法上說(shuō)，彈塑性問(wèn)題有限元方法包含了大變形問(wèn)題有限元和接觸問(wèn)題有限元兩類問(wèn)題的全部特點(diǎn)。2/18/202319大變形分析中的載荷處理

(1/4)

載荷目前還沒(méi)有考慮重要區(qū)分TL法的載荷項(xiàng)：UL法的載荷項(xiàng)：體積力表面力2/18/202320大變形分析中的載荷處理

(2/4)

體積力的處理原則：物體的重力在變形過(guò)程中保持不變。

全量增量在TL法中，原來(lái)的計(jì)算方法是正確的；在UL法中，須要按本節(jié)的方法計(jì)算，可以看出，其差別不能被忽視。區(qū)分之處2/18/202321大變形分析中的載荷處理

(3/4)

表面力的處理表面力的處理較為困難，不但與構(gòu)型變更有關(guān)，還與表面力的施加方式有關(guān)。以常見(jiàn)的集中力和均布力為例。1）集中力第一種情形：集中力的方向在整個(gè)變形過(guò)程中保持不變；其次種情形：集中力的方向與所作用表面的夾角不變。全量增量可按表面分布力的特殊情形加以處理，詳見(jiàn)下面的分析。2/18/202322大變形分析中的載荷處理

(4/4)

表面力的處理（續(xù)）大變形分析中一般分布載荷隨變形的變更，是一個(gè)困難的問(wèn)題，很難進(jìn)行定量探討。這里對(duì)勻整表面分布力隨大變形的變更進(jìn)行分析。2）表面分布力全量增量原則：不同時(shí)刻，這類載荷的合力一般保持不變。（其它情形仿此進(jìn)行）

在t時(shí)刻：在

時(shí)刻：近似處理后2/18/202323本章總結(jié)

(1/2)

由于發(fā)生了不行忽視的較大變形，大變形問(wèn)題的分析更加困難，所涉及內(nèi)容更加豐富。一般來(lái)說(shuō)，相對(duì)于小變形問(wèn)題，大變形分析具有以下特點(diǎn)：1）應(yīng)變定義發(fā)生了變更。大變形問(wèn)題的最顯明特征就是描述應(yīng)變－位移的幾何關(guān)系發(fā)生了變更。在一些特殊問(wèn)題中，大變形并沒(méi)有產(chǎn)生較大的應(yīng)變，這類問(wèn)題可略去幾何關(guān)系中的高階部分，但必需接受大變形分析方法。事實(shí)上，這種對(duì)幾何關(guān)系簡(jiǎn)化處理，是經(jīng)過(guò)對(duì)更一般的幾何非線性關(guān)系檢驗(yàn)后而確立的。2）構(gòu)型發(fā)生了變更。由于具有較大的變形（位移和/或應(yīng)變），大變形問(wèn)題在不同時(shí)刻其構(gòu)型差異較大，必需區(qū)分對(duì)待。3）應(yīng)力、應(yīng)變描述發(fā)生了變更。由于不同時(shí)刻具有不同的構(gòu)型，并且可以選取不同的參考構(gòu)型，大變形問(wèn)題中的應(yīng)力描述、應(yīng)變描述以及變分方程都發(fā)生了相應(yīng)的變更。2/18/202324小結(jié)

(2/2)

4）求解方法發(fā)生了變更。以增量法為基礎(chǔ)，大變形問(wèn)題的求解方法分為L(zhǎng)agrange方法、Euler方法以及Lagrange-Euler混合方法。5）其它相應(yīng)的變更。由于具有較大的變形，即使對(duì)于彈性材料，本構(gòu)關(guān)系也須要做相應(yīng)變更，以正確描述大變形情形下材料的本構(gòu)規(guī)律；載荷的作用方式也必需考慮構(gòu)型的差異，以獲得高精度的大變形問(wèn)題的分析結(jié)果。事實(shí)上，當(dāng)物體發(fā)生大變形時(shí)，一般都會(huì)伴隨材料的非線性彈性或非彈性行為，因而必需同時(shí)考慮材料和幾何兩種非線性行為，