大變形問題的有限元分析概要

第三章大變形問題的有限元分析目的：以大變形問題為例，介紹幾何非線性問題的有限元方法。特點：與線性有限元方法比較，幾何關(guān)系不再是線性的。內(nèi)容：引言大變形問題的應(yīng)變描述大變形分析中的應(yīng)力描述及本構(gòu)關(guān)系大變形問題有限元方程的建立大變形分析中的載荷處理小結(jié)2/18/20231引言幾何非線性問題：位移與應(yīng)變成非線性（微分意義上）關(guān)系。物理現(xiàn)象：將位移（轉(zhuǎn)動）和/或應(yīng)變較大的問題統(tǒng)稱為大變形問題，有時稱為有限變形問題。這類問題又分為大位移（轉(zhuǎn)動）小應(yīng)變問題及大位移大應(yīng)變問題兩大類。

探討意義：和材料非線性問題一樣重要。例如，平板的彎曲問題，大撓度理論分析結(jié)果更符合實際狀況；薄殼的屈曲，非線性理論的預(yù)料值更好。又例如，對于橡皮型材料，大變形還必需考慮本構(gòu)關(guān)系的變更，這與純粹的材料非線性又有區(qū)分。幾何線性問題：位移與應(yīng)變成線性（微分）關(guān)系；探討現(xiàn)狀：大變形問題有限元分析的理論和方法存在不同學(xué)派間的爭鳴，尚未得到一個權(quán)威性的結(jié)論。隨之并發(fā)的其它問題，如解的穩(wěn)定性、收斂性及收斂率等，都有待進一步深化探討。2/18/20232大變形問題的應(yīng)變描述(1/4)問題的特點：由于變形較大，使得不同時刻物體具有差別不能忽視的不同構(gòu)型，這是大變形問題分析的基本動身點。初始構(gòu)型（0時刻）(a)(b)(c)現(xiàn)時構(gòu)型（t時刻）當前構(gòu)型（時刻）連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論對物體閱歷大變形后的變形有嚴格的定義和推導(dǎo)。這里不準備過多引入困難的概念和符號，而是與小變形理論比照，介紹進行大變形分析時必需的幾個概念和術(shù)語。大變形問題的分析方法：增量法。2/18/20233大變形問題的應(yīng)變描述(2/4)描述的動身點：物體的變形描述建立在確定的參考構(gòu)型上。大變形分析由于接受增量方法，需常常用到它們的增量形式。Green應(yīng)變張量：以初始構(gòu)型為參考構(gòu)型所定義的應(yīng)變，數(shù)學(xué)表示為現(xiàn)時（Updated）Green應(yīng)變張量：以現(xiàn)時構(gòu)型為參考構(gòu)型所定義的應(yīng)變，數(shù)學(xué)表示為留意：我們用下標的大小寫表示坐標的大小寫，對應(yīng)于不同的構(gòu)型。2/18/20234大變形問題的應(yīng)變描述(3/4)應(yīng)變增量：Green應(yīng)變增量：現(xiàn)時（Updated）Green應(yīng)變增量：線性部分非線性部分線性部分非線性部分二者之間滿足張量變換關(guān)系！2/18/20235大變形問題的應(yīng)變描述(4/4)應(yīng)變增量：（續(xù)）－對于大變形小應(yīng)變情形

Green應(yīng)變增量退化成：現(xiàn)時（Updated）Green應(yīng)變增量退化成：線性部分非線性部分是高階小量線性部分非線性部分是高階小量對于小變形情形2/18/20236大變形問題的應(yīng)力描述(1/2)應(yīng)力是借助于微元體來定義的，但在大變形分析中，必需留意微元體所在的構(gòu)型。Euler應(yīng)力：與應(yīng)變類似，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論具有嚴格的應(yīng)力定義和多種不同的應(yīng)力概念。這里也只介紹后面將要用到的幾種。從當前構(gòu)型中取出微元體，在其上定義的應(yīng)力稱為Euler應(yīng)力，用表示。Euler應(yīng)力代表物體的真實應(yīng)力。然而，當前構(gòu)型是待求的未知構(gòu)型，因而，有必要通過已知構(gòu)型上的微元體再對應(yīng)力進行描述。

Kirchhoff應(yīng)力：通過初時構(gòu)型上的微元體定義的應(yīng)力稱為Kirchhoff應(yīng)力，用表示；通過現(xiàn)時構(gòu)型的微元體定義的應(yīng)力稱為現(xiàn)時（Updated）Kirchhoff應(yīng)力，用表示。

2/18/20237大變形問題的應(yīng)力描述(2/2)Kirchhoff、現(xiàn)時Kirchhoff及Euler應(yīng)力（增量）間的關(guān)系：依據(jù)張量的坐標變換規(guī)則，它們之間還有以下關(guān)系現(xiàn)時Kirchhoff應(yīng)力Euler應(yīng)力現(xiàn)時Kirchhoff應(yīng)力增量時刻t時刻特點：以現(xiàn)時構(gòu)型為參考。2/18/20238大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系(1/5)本構(gòu)關(guān)系的客觀性要求：須要選取合適的應(yīng)力－應(yīng)變共軛對描述材料的本構(gòu)關(guān)系。彈性材料：加載曲線與卸載曲線相同的材料。本構(gòu)關(guān)系有三種形式，

為常數(shù)線彈性材料(elasticity)超彈性材料(hyperelasticity)次彈性材料

(hypoelasticity)（大變形分析中）2/18/20239大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系(2/5)彈性材料

若Kirchhoff應(yīng)力與Green應(yīng)變之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，則稱這類材料為彈性材料

不依靠于構(gòu)型變更彈性本構(gòu)關(guān)系多用于大位移（轉(zhuǎn)動）小應(yīng)變的情形。

特殊情形2/18/202310大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系(3/5)

超彈性材料假定材料具有單位質(zhì)量的應(yīng)變能函數(shù)，再依據(jù)能量原理來定義本構(gòu)關(guān)系，這類材料稱為超彈性材料。(不限于這種形式）總之，對于一般的大變形問題，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中常用超彈性來表征材料的本構(gòu)關(guān)系。

例如一階近似初始構(gòu)型時材料的密度－常數(shù)增量形式…坐標變換現(xiàn)時Kirchhoff應(yīng)力或增量形式…Case-1Case-2不能簡化！一階近似現(xiàn)時構(gòu)型時材料的密度－隨變形變更。相比較2/18/202311大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系(4/5)

次彈性材料若應(yīng)力率與變形率之間成線性變更規(guī)律，這類材料稱為次彈性材料。但本構(gòu)關(guān)系描述時要求“率”為與剛體轉(zhuǎn)動無關(guān)的客觀時間導(dǎo)數(shù)。同乘以時間增量增量形式…Case-2Case-1可以證明，這兩個率都與轉(zhuǎn)動無關(guān)Jaumann應(yīng)力率

現(xiàn)時Green應(yīng)變的線性部分

可以證明，這兩個率都與轉(zhuǎn)動無關(guān)旋轉(zhuǎn)率2/18/202312大變形分析中的本構(gòu)關(guān)系(5/5)

三種本構(gòu)關(guān)系間的關(guān)系對于實際的大變形問題，上述三種本構(gòu)關(guān)系并不等價?？梢宰C明，彈性材料是一種特殊的次彈性材料，超彈性材料是一種特殊的彈性材料。實際材料所遵守的本構(gòu)關(guān)系，只有通過試驗測試才能得以確定。次彈性材料彈性材料超彈性材料2/18/202313大變形問題有限元方程的建立

(1/6)

與塑性力學(xué)有限元方法的異同區(qū)分：塑性力學(xué)的本構(gòu)關(guān)系隨加載變更，而大變形問題的構(gòu)型隨加載變更。TL？UL?本節(jié)探討相像：都接受增量方法，都不顯含時間。導(dǎo)致分析方法、應(yīng)力應(yīng)變描述、本構(gòu)關(guān)系、限制方程的變更。構(gòu)型對應(yīng)構(gòu)型相關(guān)，本節(jié)探討。。?？陀^性描述2/18/202314大變形問題有限元方程的建立

(2/6)

TL法有限元方程的建立特點：始終以初始（0時刻）構(gòu)型做為應(yīng)力與應(yīng)變描述的參考構(gòu)型，因而，接受Kirchhoff應(yīng)力（增量）和Green應(yīng)變（增量）。t時刻:TL法：TotalLagrangianDescription（TLD）虛功方程：優(yōu)點：參考構(gòu)型不發(fā)生變更，本構(gòu)關(guān)系與虛功方程描述形式簡潔。

時刻:兩式相減，得增量型虛功方程：2/18/202315大變形問題有限元方程的建立

(3/6)

TL法有限元方程的建立（續(xù)）將有限元位移插值、初始構(gòu)型下的幾何關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系引入后，得到剛度矩陣形式較困難，因問題的類型而不同。載荷向量TL法的求解步驟:Step1：利用有限元方程求出間隔內(nèi)的位移增量；Step2：利用幾何關(guān)系，計算Green應(yīng)變增量；Step3：利用本構(gòu)關(guān)系，計算Kirchhoff應(yīng)力增量

；Step4：更新當前時刻；更新當前應(yīng)力；計算當前剛度矩陣和載荷向量。

Step5：轉(zhuǎn)到Step1，進入下一個時間間隔計算。2/18/202316大變形問題有限元方程的建立

(4/6)

UL法有限元方程的建立特點：總以t時刻（即現(xiàn)時構(gòu)型）為參考構(gòu)型，也就是說參考構(gòu)型是變更的，因而，接受現(xiàn)時Kirchhoff應(yīng)力（增量）和現(xiàn)時Green應(yīng)變（增量）。UL法：UpdatedLagrangianDescription（ULD）仿照TL法的推導(dǎo)，可得虛功方程：優(yōu)點：可以處理加載方式更為困難的問題，亦可處理邊界非線性問題等。TL法的增量型虛功方程：2/18/202317大變形問題有限元方程的建立

(5/6)UL法有限元方程的建立（續(xù)）將有限元位移插值、初始構(gòu)型下的幾何關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系引入后，得到UL法的求解步驟及與TL法的比較:Step1：利用有限元方程求出間隔內(nèi)的位移增量；Step2：利用幾何關(guān)系，計算現(xiàn)時Green應(yīng)變增量；Step3：利用本構(gòu)關(guān)系，計算現(xiàn)時Kirchhoff應(yīng)力增量

；Step4：更新當前時刻；更新當前應(yīng)力,依據(jù)計算，并且使得；更新當前構(gòu)型；計算當前剛度矩陣與載荷向量。Step5：轉(zhuǎn)到Step1，進入下一個時間間隔計算。2/18/202318大變形問題有限元方程的建立

(6/6)小結(jié)大變形問題有限元方法與彈塑性問題有限元方法都是在增量意義上通過擬線性化，進而加以求解。但彈塑性問題有限元方法在確定彈塑性狀態(tài)時還應(yīng)當進行迭代或按優(yōu)化問題處理，這點與接觸問題類似。所以，從方法上說，彈塑性問題有限元方法包含了大變形問題有限元和接觸問題有限元兩類問題的全部特點。2/18/202319大變形分析中的載荷處理

(1/4)

載荷目前還沒有考慮重要區(qū)分TL法的載荷項：UL法的載荷項：體積力表面力2/18/202320大變形分析中的載荷處理

(2/4)

體積力的處理原則：物體的重力在變形過程中保持不變。

全量增量在TL法中，原來的計算方法是正確的；在UL法中，須要按本節(jié)的方法計算，可以看出，其差別不能被忽視。區(qū)分之處2/18/202321大變形分析中的載荷處理

(3/4)

表面力的處理表面力的處理較為困難，不但與構(gòu)型變更有關(guān)，還與表面力的施加方式有關(guān)。以常見的集中力和均布力為例。1）集中力第一種情形：集中力的方向在整個變形過程中保持不變；其次種情形：集中力的方向與所作用表面的夾角不變。全量增量可按表面分布力的特殊情形加以處理，詳見下面的分析。2/18/202322大變形分析中的載荷處理

(4/4)

表面力的處理（續(xù)）大變形分析中一般分布載荷隨變形的變更，是一個困難的問題，很難進行定量探討。這里對勻整表面分布力隨大變形的變更進行分析。2）表面分布力全量增量原則：不同時刻，這類載荷的合力一般保持不變。（其它情形仿此進行）

在t時刻：在

時刻：近似處理后2/18/202323本章總結(jié)

(1/2)

由于發(fā)生了不行忽視的較大變形，大變形問題的分析更加困難，所涉及內(nèi)容更加豐富。一般來說，相對于小變形問題，大變形分析具有以下特點：1）應(yīng)變定義發(fā)生了變更。大變形問題的最顯明特征就是描述應(yīng)變－位移的幾何關(guān)系發(fā)生了變更。在一些特殊問題中，大變形并沒有產(chǎn)生較大的應(yīng)變，這類問題可略去幾何關(guān)系中的高階部分，但必需接受大變形分析方法。事實上，這種對幾何關(guān)系簡化處理，是經(jīng)過對更一般的幾何非線性關(guān)系檢驗后而確立的。2）構(gòu)型發(fā)生了變更。由于具有較大的變形（位移和/或應(yīng)變），大變形問題在不同時刻其構(gòu)型差異較大，必需區(qū)分對待。3）應(yīng)力、應(yīng)變描述發(fā)生了變更。由于不同時刻具有不同的構(gòu)型，并且可以選取不同的參考構(gòu)型，大變形問題中的應(yīng)力描述、應(yīng)變描述以及變分方程都發(fā)生了相應(yīng)的變更。2/18/202324小結(jié)

(2/2)

4）求解方法發(fā)生了變更。以增量法為基礎(chǔ)，大變形問題的求解方法分為Lagrange方法、Euler方法以及Lagrange-Euler混合方法。5）其它相應(yīng)的變更。由于具有較大的變形，即使對于彈性材料，本構(gòu)關(guān)系也須要做相應(yīng)變更，以正確描述大變形情形下材料的本構(gòu)規(guī)律；載荷的作用方式也必需考慮構(gòu)型的差異，以獲得高精度的大變形問題的分析結(jié)果。事實上，當物體發(fā)生大變形時，一般都會伴隨材料的非線性彈性或非彈性行為，因而必需同時考慮材料和幾何兩種非線性行為，