巧妙構(gòu)造“圓”來如此-定弦定角找隱圓 論文

巧妙構(gòu)造，“圓”來如此——定弦定角找隱圓摘要數(shù)學(xué)問題的探索重在揭示問題的本質(zhì)，進(jìn)而找到解決一類問題的通解。對于“定弦定角問題”的探究問題，主要借助于以下知識點(diǎn)：1）直徑所對的圓周角是直角；2）90°的圓周角所對的弦為直徑；3）在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角相等。在此基礎(chǔ)上將問題延伸，利于學(xué)生深度思考，從而達(dá)到“解一題，會一類”的效果。關(guān)鍵詞定弦定角數(shù)學(xué)建模問題背景新課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程當(dāng)做建立數(shù)學(xué)模型的過程，并在建模的過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，引導(dǎo)學(xué)生自覺地應(yīng)用數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維去分析、解決生活中的問題。[1]因此教師在教學(xué)過程中不但要引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，更重要的是讓學(xué)生在探究性教學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，合情、合理、高效的做到自主建構(gòu)模型，切實(shí)做到水到渠成。筆者發(fā)現(xiàn)2018年南通市中考題28題第（3）問，難度系數(shù)較大。通過鉆研，筆者將此題的知識點(diǎn)細(xì)化，并將問題層層剖析，給學(xué)生搭建好“臺階”，進(jìn)而讓他（她）有迎難而上的勇氣，拾階而上。二、問題呈現(xiàn)[定義]如圖1，A、B為直線l同側(cè)的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線l的對稱點(diǎn)A’，連接A’B交直線l于點(diǎn)P，連接AP，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A、B關(guān)于直線l的“等角點(diǎn)”。[運(yùn)用]如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（2，），B(-2,-)兩點(diǎn)。圖1圖2若點(diǎn)P是點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=ax+b(a≠0)的等角點(diǎn)，且點(diǎn)P位于直線AB的右下方，當(dāng)∠APB=60°時(shí)，求圖1圖2從（3）中我們發(fā)現(xiàn)：除了要根據(jù)問題背景理解“等角點(diǎn)”的概念以外，關(guān)鍵是解決了動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡問題。于是筆者主要先設(shè)置問題，遵循從“特殊”到“一般”的設(shè)計(jì)思路，建立并抽象出數(shù)學(xué)模型，并將第（3）問當(dāng)成是“母問題”，并把它逐漸細(xì)化，形成若干“子問題”，順理成章的為學(xué)生搭建好“臺階”，真正達(dá)到“拾階而上，化險(xiǎn)為夷”。三、問題探究，“大”題“小”做1.問題情境具體化，在同感中培養(yǎng)高階思維生活中處處有數(shù)學(xué)，把數(shù)學(xué)與我們經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)價(jià)值的延續(xù)性與無限性。因此課堂教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)膯栴}情境是探究式教學(xué)的起點(diǎn)和關(guān)鍵，問題提出的質(zhì)量直接影響后續(xù)問題的探究。復(fù)雜的幾何綜合題，往往是若干個(gè)小知識點(diǎn)的綜合體。因此，在通往“荊棘”的綜合道路上，需要巧設(shè)小問作為臺階，層層鋪墊，把簡單問題搞清楚，做到“小題大作”，關(guān)聯(lián)類比，這樣才能從容面對“荊棘之路”，于是筆者創(chuàng)設(shè)下列問題情境，抽象出本節(jié)的數(shù)學(xué)模型。（1）如圖3，已知AB=4，在直線AB上方是否存在一個(gè)動點(diǎn)P，使得∠APB=90°？如果存在，點(diǎn)P滿足什么條件？（2）如圖4，已知AB=4，在直線AB上方是否存在一個(gè)動點(diǎn)P，使得∠APB=45°？如果存在，點(diǎn)P滿足什么條件？（3）如圖5，已知AB=4，在直線AB上方是否存在一個(gè)動點(diǎn)P，使得∠APB=120°？如果存在，點(diǎn)P滿足什么條件？2.模型探究一般化，在提煉中培養(yǎng)學(xué)生高層次思維數(shù)學(xué)建模是一種重要的思想方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中，作用巨大。因此，利用數(shù)學(xué)模型解決問題的數(shù)學(xué)建模教學(xué)成為數(shù)學(xué)教育改革的一個(gè)熱點(diǎn)。在教學(xué)中若能幫助學(xué)生建立最基本的數(shù)學(xué)模型，那么學(xué)生在綜合題的解決中定能如魚得水。在上述三個(gè)問題的基礎(chǔ)上，順理成章的將上述問題一般化，提出第四個(gè)問題。圖3圖3圖圖6圖5圖5圖4經(jīng)過激烈討論，數(shù)學(xué)模型自然生成。[數(shù)學(xué)模型]：若AB=a（定值），P為平面內(nèi)的一動點(diǎn)，且∠APB=α（定角），則點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為：在以AB為弦，圓心角為2α的圓上運(yùn)動。3.數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)再生化，在實(shí)踐中培養(yǎng)學(xué)生織出數(shù)學(xué)知識網(wǎng)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要方式，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)需要在“做”與“思考”中沉淀。教學(xué)中教師結(jié)合具體學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)高效的探究式活動，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展過程，是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的重要途徑。[2]。因此在模型提煉的基礎(chǔ)上需要設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動，加深對模型的認(rèn)識，積累一些新的活動經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)再生。如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，），B（-2，-），平面內(nèi)有一個(gè)動點(diǎn)P，滿足∠APB=60°，請你提出一個(gè)有意義的問題？并解決。筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)簡單的開放性問題，讓學(xué)生初步感受AB長度一定，∠APB度圖7圖7角為120°的圓上運(yùn)動，于是學(xué)生可能提出如下問題：①求AB的長度；②點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是什么？③求點(diǎn)P所在圓的圓心E的坐標(biāo)。當(dāng)學(xué)生問出第三個(gè)問題時(shí)，也是對第②個(gè)問題的再深化。單單知道點(diǎn)P運(yùn)動軌跡是圓還不夠，還要進(jìn)一步理解為何在問題背景“已知AB=a，在直線AB上方是否存在一個(gè)動點(diǎn)P，使得∠APB=α？”中特地提出在直線AB的上方的原因。如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，）B（-2，-）兩點(diǎn),∠APB=60°，且P在直線AB的右下方，延長BP,作∠APC的角平分線l：y=ax+b(a≠0)圖8（1）若l與圓E相交，交點(diǎn)為Q，判斷△ABQ圖8（2）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。設(shè)計(jì)意圖：筆者設(shè)置這一“子”問題，已經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生往南通市壓軸題的路上無限靠攏，這一臺階的設(shè)定讓學(xué)生知道：①若∠APC的角平分線l與圓E相交，若交點(diǎn)為Q，則△ABQ一定是等邊三角形。②點(diǎn)Q坐標(biāo)唯一確定，即Q為定點(diǎn)。此刻拾階而上，提出問題（3），學(xué)生便理解了問題（2）的用途，降低了難度。（3）證明：直線l必過定點(diǎn)；設(shè)計(jì)意圖：直線l為∠APC的角平分線，l必過點(diǎn)P，而l與圓E的位置關(guān)系為相切或相交。若l與圓E相交，必過定點(diǎn)Q；若l與圓E相切，切點(diǎn)一定為定點(diǎn)E。故第（3）問證明l過定點(diǎn)，便理所當(dāng)然了。此刻，陳勝追擊，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)知能力，提出下一個(gè)問題。（4）如圖9，若l與圓E相切時(shí)，求直線l的解析式。此刻，對學(xué)生難度有些大，如何理解直線l與圓E相切呢？教師設(shè)置臺階1：直線l與圓E可能存在哪些位置關(guān)系？臺階2：無論直線l與圓E存在什么關(guān)系，它一定過哪個(gè)定點(diǎn)？臺階3：直線l與圓E相切時(shí)，過不過定點(diǎn)Q？臺階4：直線l與圓E相切時(shí)，切點(diǎn)到底在哪里？有沒有思路？在這樣的追問下，學(xué)生漸入佳境，真正感受到這四個(gè)問題之間的連接點(diǎn)，以“小”見“大”，環(huán)環(huán)相扣，此刻再補(bǔ)“一刀”，提出下一個(gè)問題。（5）如圖10，若P在弧BQ（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動，求b的取值范圍。圖11設(shè)計(jì)意圖：感受直線l與y軸交點(diǎn)的變化與切點(diǎn)Q有關(guān)，若l為圓E的切線，此時(shí)的b值最小，當(dāng)點(diǎn)P在弧BQ上運(yùn)動時(shí)，b的值逐漸增大，但直線l不能與x圖11圖10圖10圖94.“子”問題的設(shè)計(jì)思路流程化，“母子”渾然天成如圖11，“子”問題是鋪墊，是墊腳石，它們以點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為主線，對特殊的直線l展開兩方面的研究。先從直線l與圓的一般的關(guān)系--相交出發(fā)，找到突破點(diǎn)，研究透徹特殊直線l過特殊點(diǎn)。由此進(jìn)行類比、遷移，考察直線l與圓的特殊的背景下，是否也恒過這個(gè)特殊點(diǎn)。在這樣的思維認(rèn)知下，方能從容面對問題（5）。這樣，再回首“問題呈現(xiàn)”，立刻茅塞頓開，達(dá)到化“干戈”為“玉帛”的效果。解決問題，總結(jié)提升如圖12，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（2，），B(-2,-)兩點(diǎn)。（3）若點(diǎn)P是點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=ax+b(a≠0)的等角點(diǎn)，且點(diǎn)P位于直線AB的右下方，當(dāng)∠APB=60°時(shí)，求b的取值范圍。圖12圖圖12圖12小結(jié)：本題在上述問題串的設(shè)置后，思路很清晰：（1）由相交，找定點(diǎn)；（2）由定點(diǎn)，找臨界；（3）由轉(zhuǎn)動，定范圍。結(jié)語數(shù)學(xué)建模思想、轉(zhuǎn)化思想作為重要的數(shù)學(xué)思想方法，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的過程中無處不在。對于教師而言，要使學(xué)生對幾何綜合題有因難而上的勇氣，要使復(fù)雜的綜合題型無處遁形，唯有