2020-2021學年高一數(shù)學人教A版必修第二冊第六章章末檢測數(shù)學試題【含答案】

2021年人教A版（新教材）必修第二冊章末檢測

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的）

1.若=（-1,2）,=（1,-1）,貝！J等于（）

A.（—2,3）B.（0,1）

C.（-l,2）D.（2,-3）

2.已知△Z8C中，c=6,a=4,5=120°,則b等于（）

A.76B.2眄C.27D.2a

3.設ei，02為基底向量，已知向量

=白一曲2，=24一62，=3ei—若力，B,。三點共線，則人的

值是（）

A.2B.13C.-2D.3

4.向量a=(l,—1),6=(-1,2),則(2a+A>a等于()

A.-1B.0C.1D.2

5.已知向量?=,h=,若a〃〃，則銳角6（為（)

A.300B.600C.45°D.75°

6.在△NBC中，角B,C的對邊分別是a,b,c,若3=45。，C=60°,

c=l,則最短邊的長等于（）

7.如圖所示，已知兩座燈塔N和8與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔/

在觀察站C的北偏東20°,燈塔B在觀察站C的南偏東40°,則燈塔A與燈塔B

的距離為（）

A.akmB.eqakm

C.eqokmD.2akm

8.在△Z8C中，點”是8c的中點，ZM=1,點尸在上，且滿足

AP=2PM,則-（十）等于（）

44

A.-9B.-3C.eqD.eq

二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的

得0分）

9.已知4B,C,。四點的坐標分別為（1,0）,（4,3）,（2,4）,（0,2）,則此四

邊形不可能為（）

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

10.已知向量a=（l,0）,（cosasin。）,QR,則|a十例的值可以是（）

A./B.eqC.2D.2值

11.在中，若b=3c=3,8=30。，則a等于（）

A.eqB.24C.3小D.4小

71a

12.在中，sinC+sin（4-8）=3sin28^C=3,則Z等于（）

A.eqB.eqC.2D.3

三'填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知/(2,-3),=(3,-2),則線段的中點坐標為.

14.若同=1,步|=2,a與力的夾角為60。，若(3a+5b)_L("—〃)，則加的值為

15.已知同=2,|例=10,a與〃的夾角為120。，則向量力在向量。方向上的投影

是.

無

16.在△45。中,若6=5,8=4,tanZ=2,則sin

A=；a=.(本題第一空3分，第二空2分)

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟)

53

17.(10分)在△NBC中，cos/=-13,cos5=5.

(1)求sinC的值；

(2)設8C=5,求△Z8C的面積.

18.(12分)已知向量a=3ei—2e2，b=4ei+e2>其中e1=(l,0),e2=(0,1).

(1)求a力，|a+臼；

(2)求“與力的夾角的余弦值.

19.(12分)在△N8C中，角/,8,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosC+(cos

J—V^sinJ)cosB=0.

(1)求角8的大小；

(2)若a+c=l,求b的取值范圍.

20.(12分)已知海島/四周8海里內(nèi)有暗礁，有一貨輪由西向東航行，在8處望

見島4在北偏東75。，航行20在海里后，在C處望見此島在北偏東30。，若貨

輪不改變航向繼續(xù)前進，有無觸礁危險？

1

21.(12分)如圖所示，在△N8C中，==3,8。與相交

于1,4的延長線與邊8c交于點P.

⑴用和分別表示和；

(2)如果=+%=+",求實數(shù)久和〃的值;

(3)確定點P在邊BC上的位置.

22.(12分)在中，內(nèi)角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,且a>c.已知

1

=2,COS8=3,b=3,求：

⑴a和c的值；

(2)cos(8—C)的值.

答案及解析

1.答案：D

解析：=(-1,2),=(1,-1),

所以=-=(1+1,-1-2)=(2,-3).

2.答案：B

解析：由余弦定理，得岳=〃+-2accos8=76,所以b=2小.

3.答案：A

解析：易知=-=-ei+2e2=-(ei-2/)，

又/,B,。三點共線，則//，則A=2,故選A.

4.答案：C

解析：V2a+Z>=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),

：.(2a+b\a=(1,0)-(1,-1)=1,

故選C.

5.答案：A

3111

解析：?.??！ā?...sin2a=2x6=4,/.sina=±2.

又為銳角，???a=30。.

6.答案：C

bc

解析：最短邊為b,由正弦定理得sin8=sinC,

1Xsin45°平

所以b=sin60°=3.故選C.

7.答案：B

解析：由題意得N4C3=120。，

AB2=胡+解一2a2cos120°=3a2,

所以48=由4故選B.

8.答案：A

解析：由題意可知點。是△ZBC的重心，

，++=0,

24

????(+)=-2=-=-9.

9.答案：BCD

解析：=(3,3),=(-2,-2),

3

二=-2,/.與共線.

又||#||,...該四邊形為梯形.

10.答案：ABC

解析：\a+b\=J(1+cos8)2+sin2+=^2+2cos0

因為6W,所以cos0W[0,1].

所以+[在，2].結合選項可知選ABC.

11.答案：AB

hc

解析：由正弦定理得sinB=sinC,

<3343

即sin30。=sinC,所以sinC=2,

又CW(0。，180°),所以。=60?；?20。.

所以/=90?；?0°,

當力=90。時,02=32+(4)2,4=2由,

當/=30。時，a=b=4.

12.答案：AD

解析：由sinC+sin(4-B)=3sin2B,可得

sin(/+B)+sin(4-B)=6sin5cosB,

整理得sin4cosB=3sinBcosB,

故cos8=0或sin/=3sinB,

71

當cos8=0時，又8￡(0,兀)，所以8=2,

兀兀。sin/1

又C=3,所以4=6,b=sinB=2,

asinA

當sinA=3sin3時，6=sin8=3,

故選AD.

13.答案：

解析：=+=(2,-3)+(3,-2)=(5,-5),

AB中點

23

14.答案：8

解析：由題意知(3a+5/>)?(ma-/>)=3"?/+(5加-3)。-5〃=0,即3)？+(5加-3)

23

X2Xcos60°-5X4=0,解得加=8.

15.答案：一5

解析：向量〃在向量。方向上的投影為步|cos6=10Xcos120°=-5.

2/

16.答案：52回

解析：因為△ZBC中，tan/=2,所以/是銳角，且

sinA24

cos/=2,sin2J+cos2J=1,聯(lián)立解得sin/=5,再由正弦定理得

ab

sin/=sin8,代入數(shù)據(jù)解得a=2師.

512

17.W：(1)由cos。=—-及—e(o,兀)，得sin/=13,

34

由cos8=5及Be(0,7t),得sinB=5.

16

所以sinC=sin(Z+B)=sin4cosB+cos/sinB=65.

BCXsin513

(2)由正弦定理得ZC=sinJ==3.

所以△Z8C的面積

1113168

5=2X5CXJCXsinC=2X5X3\65=3.

18.解:(1)因為e,=(1,0),?2=(0，1)，

所以a=3ei-2?2=(3,-2),

Z>=4ei+62=(4，1),

所以Q"=(3,-2)-(4,1)=12-2=10,

a+6=(7,-1),

所以M+6產(chǎn)62+(-1)2=572.

(2)設a與b的夾角為0,

ab10^/221

則cosO=IMI〃l==221

19.解：(1)由已知得

-COS(T4+B)+cos4cosB一小sinAcos8=0,

即sinAsinB-由sin/cos5=0,

因為sin4WO,所以sin8-4cos8=0,

即tanB=3

兀

又3為三角形的內(nèi)角，則3=1

(2)因為〃+C=1,即C=1-4,

所以由余弦定理得b2=a2+c2-2ac,cos5,

即b2=a2+c2-ac=(ac)2-3ac

21

=1-3Q(1-a)=3+4,

因為0<a<l,

11

所以4或按<1,則2wb<l.

即6的取值范圍為.

20.解:如圖所示，在△43。中,

,B2（）/2CD

依題意得8。=20M（海里），

ZJSC=90°-75°=15°,

NBAC=60°-/ABC=45°.

ACBC

由正弦定理，得sin15。=sin45。，

20Msin15°

所以NC=sin45°=10（#-隹）（海里）.

色

故/到航線的距離為AD=ACsin60°=10（7^-A/2）X2=（15也-5擊）（海里）.

因為15隹-5#>8,所以貨輪無觸礁危險.

1

21.解：⑴由=2,

1

可得=+--+2

1

,/=3.

=+=-+3.

11

(2)將一+5,=-+3

代入=+A=+〃，

則有+A=+〃

11

即(1-4)+