高等代數(shù)教案第四章線性方程組

放心做自己想做的放心做自己想做的放心做自己想做的放心做自己想做的---（10…0c…cd）1r+11n100…1c…cdrr+1rnr00…00…0dr+1、00…000d,A作同樣的初等變換可化為B=，從而方程組（1）與B所對應my+cy+…+cy11r+1r+1'y+c21nny++cy=d2r+1r+12nn2+cy++cy=drr+1r+1rnnr0=dr+1（2）在某種意義上同解（此y,y，…，y是x,x，…,x12n120=dm一個重新排序）.下面討論（2）的解的情況：情形1：當r<m且d，…,d不全為零時，因有矛盾式（2）無解，故（1）無解.r+1m情形2：當r=m或r<m且d=…=d=0時，（2）直觀上無矛盾式，且與（3）r+1my+cy++cy=d11r+1r+1Inn1y+cy++cy=d22r+1r+12nn2同解.y+cy++cy=drrr+1r+1rnnry=d11y=d當r=n時，（3）即為122有唯一解;y=dnn當r=<n時，（3）即為y=d-cy111r+1r+1y=d-cy222r+1r+1…-cy1nnW，于是任給y，…，y一組值k，…,k，可得（3）的一個解:r+1nr+1ny=d一cycyrrrr+1r+1rnny=dck—…—ck111r+1r+11nny=dck—…—ck222r+1r+12nn1y=d—ck—…—ck,這也是（1）rrrr+1r+1rnny=kr+1r+1y=knn的解，由k，…,k的任意性（1）有無窮多解.r+1nx+2x+3x+x=512341解線性方程組12x+4x—x=—31解線性方程組1124—x—2x+5x+2x=81234x+2x—9x—5x=—211234r1224301—15、—3A=—1—2528<12—9—5一21丿解：對增廣矩陣作行初等變換：r1201_213、_21300120000<00000丿x+2x1——x=12124113x+—x=—3246所原方程組與方程組同解，故原方程組的一般解為31-———2x+x2224131x=—x6244.2矩陣的秩線性方程組可解判別法一教學思考1．本節(jié)在上節(jié)消元法對線性方程組的解的討論的基礎上，引入了矩陣的秩的概念，以此來表述有解判定定理，在有解時從系數(shù)矩陣的秩與未知數(shù)的個數(shù)間的關系可討論解的個數(shù)，其中在有無數(shù)解時引入了一般解與通解的概念.2．矩陣的秩的概念是一個重要的概念，學生易出問題.定義的表述不易理解，應指出秩是一個數(shù)（非負整數(shù)）r,其含義是至少有一個r階非零子式，所有大于r階（若有時）子式全為0?重要的是“秩”的性質——初等變換下不變，提供了求秩的另一方法——初等變換法.3．本節(jié)內容與上一節(jié)和下一節(jié)互有聯(lián)系,結論具體,方法規(guī)范,注意引導總結歸納.二內容要求1．內容：矩陣的秩、線性方程組可解判定定理2．要求：掌握矩陣的秩的概念、求法及線性方程組求解判定定理二教學過程1．矩陣的秩（1）定義

1）在矩陣A中，任取k行k列（k<s,t）位于這些行列交點處的元素構成的k階行列式叫作矩sxt陣A的一個k階子式.2）矩陣A中，不等于零的子式的最大階數(shù)叫做矩陣A的秩；若A沒有不等于零的子式，認為其秩sxt為零.A的秩記為秩（A）或r（A）.2．矩陣的秩的初等變換不變性TH4.2.1矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.3．一般線性方程組解的理論ax111ax<211ax對線性方程組：+axm2+ax+.+ax1221nn+axax111ax<211ax對線性方程組：+axm2+ax+.+ax1221nn+ax+.+ax2222nn1)由上節(jié)知，對（1）的系數(shù)矩陣A=+.+ax=bmnnmaaa11121naa.a21222n??aaam1m2mn.°c1r+1.°c2r+1...?.1c?rr+1.°°..(…°.°(°°2、丿°2可經過行初等變換和列換法變換化為c、1nc2ncrn°...0?0丿1°c1r+1c1ncrr+1°=dmcrn°則對其增廣矩陣A作同樣的初等變換可化為B=相應的方程組同解；由上節(jié)討論知：當r=m或r有解；當r<m且d，…，d不全為零時，即r（A）r+1m_I°°….°°°―d/且在（1）有解時：當r=n，即r（A）=r（A）=n時有唯一解；當r<n，即r（A）=r（A）mn時有無窮解.°<m且d???_?r+1llor(A時.則（1）與B=°時，即r(A)=r(A)時(1)r(A)=r(A)，,（1°無解.總之：（1）有解O此即TH4.2.2-3線性方程組(1)有解Or(A)=r(A)(=r)；當r=n，即r(A)=r(A)=n時有唯一解;當r<n，即r(A)=r(A)<n時有無窮解.例1判斷方程組有無解？有解時，求一般解.x+x+x+x+x=1TOC\o"1-5"\h\z123453x+2x+x+x—3x=—3<12345x+2x+2x+6x=623455x+4x+3x+3x—x=—112345例2對九進行討論，何時方程組有解,無解；有解時求一般解.

\o"CurrentDocument"\o"CurrentDocument"九X+X+x=1123<X+九X+X二九\o"CurrentDocument"123X+X+九X二九21234.3線性方程組的公式解教學思考1．本節(jié)在理論上解決了當線性方程組有解時,用原方程組的系數(shù)和常數(shù)項將解表示出來——即公式解，結論的實質是克拉默法則的應用.其中過程是在有解判定的基礎上選擇R個適當方程而得，可歸納方法步驟（方程的選擇、自由未知量的選擇）,內容規(guī)范完整,理論作用較大,實用性較小.2．作為特殊的線性方程組——齊次線性方程組的解的理論有特殊的結果,易于敘述和理解,需注意其特殊性（與一般的區(qū)別,解的存在性、解的個數(shù)等）.內容要求1．內容：線性方程組的公式解,齊次線性方程組的解2．要求：了解線性方程組的公式解,掌握齊次線性方程組的解的結論三教學過程1．線性方程組的公式解Iax+AxIax+Ax+…-+AX=b1111221nn1AX+Ax+??+Ax=b12112222nn2AX+Ax+?+Ax=bm11m22mnn本節(jié)討論當方程組m1）有解時,用方程組的系數(shù)和常數(shù)項把解表示出來的問題——公式解.處理這個問題用前面的方法——消元法是不行的,因為這個過程使得系數(shù)和常數(shù)項發(fā)生了改變,但其思想即化簡得同解線性方程組的思想是重要的,所以現(xiàn)今能否用其它方法把（1）化簡得同解方程組且系數(shù)和常數(shù)項不變,才可能尋求公式解.x+2x一x=2,（G）TOC\o"1-5"\h\z12312）為此看例，考察＜2x一3x+x—3,（G）2）12324x+x一x=7,（G）1233顯然G,G,G間有關系G=2G+G，此時稱G是G,G的結果（即可用G,G線性表示）.則方程組12331231212二2(G)1二3(G)2同解.Ix+2x一x⑵與12X一二2(G)1二3(G)2同解.123同樣地，把（1）中的m個方程依次用G,G,,G表示,若在這m個方程中，某個方程G是其它若12mi干個方程的結果，則可把（1）中的G舍去,從而達到化簡的目的?即現(xiàn)在又得到化簡（1）的方法：不考i慮（1）中那些是其它若干個方程的結果，而剩下的方程構成與（1）同解的方程組.現(xiàn)在的問題是這樣化簡到何種程度為止，或曰這樣化簡的方程組最少要保留原方程組中多少個方程.由初等變換法，若（1）的R（A）=R,則可把（1）歸結為解一個含有廠個方程的線性方程組.同樣TH4.3?1設方程組（1）有解,R（A）二R（A）二R&0）,則可以在（1）中的M個方程中選取廠個方程,使得剩下的M-廠個方程是這廠個方程的結果.因而解（1）歸結為解由這廠個方程組成的方程組.下看如何解方程組：

ax+ax+?…+ax+ax+?…+ax1111221rr1r+1r+11nn此時原方程組與<ax+ax+ax++axr11r22rrr+ax++axrr+1r+1rnn當r=n時有唯一解,且上述方程組的系數(shù)行列式不等于0,由克拉姆法則可得其解（公式解）.當r<n時有無窮多解,取x,x，…,x為自由未知量,將這些項移至等號右端得:r+1r+2nax+ax+…+ax—b—ax—-…—ax1111221rr11r+1r+11nn<>ax+ax+■-+ax—b—ax—?…一axr11r22rrrrrr+1r+1rnn視x,x，…,x為任意數(shù)，由克拉姆法則可得r+1r+2nDDx—1,?…,x—r；1DrDa11…b—ax—…—ax?…a1r11r+1r+11nn（其中D—)Ja…b—ax—…—ax?…ar1rrr+1r+1rnnrr其展開為x,x，…,x的表達式，且為用原方程組的系數(shù)及常數(shù)項表示的，因而是公式表示的一般解的r+1r+