《勾股定理》練習(xí)題及答案

學(xué)習(xí)必備

歡迎下載八年級(jí)上數(shù)專題訓(xùn)練一《勾股理》典型練習(xí)一、知要點(diǎn)：

答案解析1勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為，那么a

2

+b

2

=c

2

。公式的變形：a

2

=c

2

-b

2

，b

2

=c

2

-a

2

。2勾股定理的定理如果三角形ABC的三邊長分別是a，b，c，且滿足2

+b

2

=c

2

，那么三角形是直角三角形。這個(gè)定理叫做勾股定理的逆定理.該定理在應(yīng)用時(shí)，同學(xué)們要注意處理好如下幾個(gè)要點(diǎn)：已知的條件：某三角形的三條邊的長度.滿足的條件：最大邊的平方=最小邊的平方+間邊的平方.得到的結(jié)論：這個(gè)三角形是直角三角形，并且最大邊的對(duì)角是直角如果不滿足條件，就說明這個(gè)三角形不是直角三角形。3勾股數(shù)滿足a2+2=c2三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。注意：①勾股數(shù)必須是正整數(shù)，不能是分?jǐn)?shù)或小數(shù)。②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍后，仍是勾股數(shù)。常見勾股數(shù)有：（3，，5），，13)(6，8，)(72425)(8，15)(912)常用勾股數(shù)口訣記憶常勾數(shù)，，5：勾股四弦五，，：我要愛一生，8，：連的偶數(shù)，，：企鵝是二百五，，：八月十五在一起特勾數(shù)連續(xù)的勾股數(shù)只有，，5連續(xù)的偶數(shù)勾股數(shù)只有，8，10學(xué)習(xí)必備

歡迎下載4最短離問題要運(yùn)用的依據(jù)是兩之間線最短。二考剖考點(diǎn)一利用勾股定求面積1、求陰影部分面積：1）陰影部分是正方形；2）陰影部分是長方形；3）陰影部分是半圓．2.圖，以Rt△ABC的三邊為直徑分別向外作三個(gè)半圓，試探索三個(gè)半圓的面積之間的關(guān)系．3、如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個(gè)正三角形面積分別是S們之間的關(guān)系）123-S=SB.S+=SS+S<SD.S-S=SA.221231

S

1

S

2

S

3【類型題總結(jié)】）如（分別直三半，其積別用S、S123們S+S23

1

）如（分別直三，面積、、S123S+S=S23）如（分別直三形面積表S、S則123S+S=S23

系．選擇其一個(gè)題證點(diǎn)：股定理題：算2323學(xué)習(xí)必備

歡迎下載析：）分、和AB2=AC+BC2即可、S、123123系）分AB表示22+BC2即可S、SS123123）分AB表示22+BC2即可S、SS123123答：：（=3

18

π

2

，=2

18

π

2

=1

18

AB2．231）=S…分23三個(gè)邊形是正形=AC2S22…（832三角直角角又22=AB2…（．231）=1

33322S=44

2．231評(píng)：題主涉及知點(diǎn)算及勾定的用，解掌握股定的公，度4、四邊形ABCD中，∠°，AB=3，，，求四邊ABCD的面積。（S=36）5、在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示）。已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次、S、（此1、，則S=_______4______。34點(diǎn)：股定理全三形題：律

?慶陽考學(xué)習(xí)必備

歡迎下載析運(yùn)用股定可知相鄰正方面積都于可答答：觀發(fā)現(xiàn)°∴∠BAC=90°，∠°∴∠∴（）22+BC222+ED212S12同S+S34S+S．1234答案：評(píng)：用了等三形判現(xiàn)個(gè)小方的積和正方形面積考點(diǎn)二在直角三角中，已兩邊求第三1．在直角三角形中,若兩直角邊的長分別為1cm，2cm，則斜邊長為

cm．2．（易錯(cuò)題、注意分類的思想）已知直角三角形的兩邊長為32，則另一條邊長的平方是5或13①2邊是邊2直兩情況，三邊長3、已知直角三角形兩直角邊長分別為和12，求斜邊上的高．1122

2222學(xué)習(xí)必備

歡迎下載4、把直角三角形的兩條直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來的倍，則斜邊擴(kuò)大到原來的（）A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍:ab則a2=c;2b，

2

(2)

2

22倍A.5在△，∠°若則c=___________；若，c=25，則b=___________；若，b=60，則a=__________；若b=3∶，c=10ABC的面是________。6果直角三角形的兩直角邊長分別n

，2nn>1），那么它的斜邊長是（DABn+1Cn

－1D、

7Rt△ABC中，a,b,c為三邊長，則下列關(guān)系中正確的是（）A.a222

B.22

C.c22a2

D.以都有可8知eq\o\ac(△,Rt)ABC中，若

，

，則Rt△ABC的面積是（）A24m

2

B36cm

2

C48c

2

D60

2a=c2aba+b=14a+b2（a22）9知x、為正數(shù)，且x-4+y2

=0

，如果以x、y的長為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（A、5B、25C、7D、15

）學(xué)習(xí)必備

歡迎下載則解x

C．考點(diǎn)三應(yīng)用勾股定在等腰角形中求底上的高1、如圖1所示，等腰

中，，

是底邊上的高，若，求①AD的長；②ΔABC的面積．考點(diǎn)四勾股數(shù)的應(yīng)、利用股定理逆定判斷三形的形狀、大、最角的問題1列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是（）A.4，56B.2，4C.13D.815172線段a，b，c組成直角三角形，則它們的比為（）A234B34∶C、∶13D4∶6∶73面的三角形中：△ABC中，∠C=∠A－∠B；△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；△ABC中，a：b：c=3：4：5；△ABC中，三邊長分別為8，15，17．其中是直角三角形的個(gè)數(shù)有（D）．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)學(xué)習(xí)必備

歡迎下載24三角形的三邊之比為:，則這個(gè)三角形一定是（）2A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等邊三角形5知a，b，c為△ABC三邊，且滿足

(a

2－b)(a2+b2－c

)0則它的形狀為（C）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形6直角三角形的三條邊長同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù)得到的三角形是(C)A．鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形7△ABC的三邊長a,b,c滿a

2

2

2

200斷△ABC的形狀。a2+b+c+200=12a+16b+20c（+（b-82-200+200=0（+（b-82=0則、b-8=0得a=6、b=8a2+b=c三角形直角三角形8eq\o\ac(△,、)ABC的兩邊分別為5,12另一邊為奇數(shù)，且

a+b+c

是3的倍數(shù)，c應(yīng)為，此三角形為。點(diǎn)：股定的逆理析：根三角的三邊系求12-5=7＜c＜5+12=17又因?yàn)閭€(gè)數(shù)又3倍，則求此定三形答：：∵12-5=7c，滿足7的數(shù)，，，∵a+b和倍22=13∴是直三角評(píng)：題考了由角的考直角角的定．隱學(xué)思和正運(yùn)算能學(xué)習(xí)必備

歡迎下載9求（1）若三角形三條邊的長分別是7,24,25，則這個(gè)三角形的最大內(nèi)角是90

度。點(diǎn)：股定的逆理析：據(jù)三形的條長角為直三形則可求的最內(nèi)角數(shù)答：：∵角形條的722=25這個(gè)角形直角角，這個(gè)角形最大角評(píng)：題考勾股理逆直三角，知角形三利用股定的逆理以（2）知三角形三邊的比為：，其最小角為30考點(diǎn)五應(yīng)用勾股定解決樓上鋪地毯問

。1、某樓梯的側(cè)面視圖如圖所示，其中

米，，，因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB

段樓梯所鋪地毯的長度應(yīng)為（2+2

）米．所的直角BC只需利求考點(diǎn)六利用列方程線段的（方程思想１、小強(qiáng)想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地AC學(xué)習(xí)必備

歡迎下載面還多米他把繩子的下端拉開后現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來嗎？h2、一架長的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底m如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑m，那么梯子底端將向左滑動(dòng)

米利用勾股定理計(jì)算原來墻高。根號(hào)下（）米下移米根號(hào)下（）米米梯足將向外移米3、如圖，一個(gè)長10米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么，梯子底端的滑動(dòng)距離大于”1米，:分)BC2=AB2

2

2

1′C=7eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)A′CB′中

10

2

2

51

分′C-BC=

分)4、在一棵樹10m的B處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹20m處的池塘處；?另外一只爬到樹頂D處后直接躍到A外距離以直線計(jì)算如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等試問這棵樹有多高？分析：如圖所示，其中一只猴子從是此問題可化歸到直角三角形解決。

共30m，另一只猴子從

也共走了并且樹垂直于地面，于學(xué)習(xí)必備

歡迎下載解：如圖，設(shè)

，由題意知中，

，解之得答：這棵樹高【點(diǎn)撥】：本題的關(guān)鍵是依題意正確地畫出圖形，在此基礎(chǔ)上，再運(yùn)用勾股定理及方程的思想使問題得以解決。5、如圖，是一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸（單位：）計(jì)算兩圓孔中心A和B的距離為100mmAC=120-60=60BC=140-60=80

ABAB=100mm6、如圖：有兩棵樹，一棵高

8

米，另一棵高

2

米，兩樹相距

8

米，

C

第圖7一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了10

米．從題目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．解：過點(diǎn)D作DE⊥于E，連接．在eq\o\ac(△,Rt)BDE中，米BE=8-2=6米．根據(jù)勾股定理得BD=10米7、如圖18-15所示，某人到一個(gè)荒島上去探寶，在A登陸后，往東走8km，又往北2km，遇到障礙后又往西3km，再折向北方走到5km處往東一拐，僅1km?就找到了寶藏，問：登陸點(diǎn)（處）到寶藏埋藏點(diǎn)（B處）的直線距離是多少？解析：

D

A試題分析：要求的長需要構(gòu)造到直角三角形中．連接，作BC垂于過A的平線于C．直角三角形中得，．再運(yùn)用勾股定理計(jì)算即可．過點(diǎn)B作⊥，足為C學(xué)習(xí)必備觀察圖形可知AC=AF-MF+MC=8-3+1=6，

歡迎下載答：登陸點(diǎn)到寶藏埋藏點(diǎn)的直線距離是考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用點(diǎn)評(píng)：解此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理直接求解．注意所求距離實(shí)際上就A的長考點(diǎn)七折疊問題1、如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6BC=8將△ABC折，使B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則CD等于（）講完知識(shí)點(diǎn)梳理后作做問題延伸題（舉一反三）BE的長？求折痕DE的長？A.

75B.C.D.3解：由題意得DB=AD；設(shè)CD=xcm，則AD=DB=（8-x）cm，∵∠C=90°∴，解得x=，即CD=cm．故選C知點(diǎn)理1

翻折變換（折疊問題2、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的性質(zhì)一、翻折變換（折疊問題）折疊問題（翻折變換）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換．折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱．對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，在畫圖時(shí)，畫出折疊前后的圖形，這樣便找到圖形之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．學(xué)習(xí)必備

歡迎下載在矩形（紙片）折疊問題中，重合部分一般會(huì)是一個(gè)以折痕為底邊的等腰三角形利用折疊所得到的直角和相等的邊或角，設(shè)要求的線段長為x然后根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\(yùn)用勾股定理列出方程求解．二、等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對(duì)等角”）。等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高重合（簡寫成“等腰三角形的三線合”）。3.等腰三角形的兩底角的平分線等（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）。等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半。等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰距離之和等于一腰上的高。等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，只有一條對(duì)稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸，等邊三角有三條對(duì)稱軸。等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。等腰三角形中腰大于高。等腰三角形底邊延長線上任意一點(diǎn)到兩腰距離之差等于一腰上的高。2、如圖所示，已知△ABC中∠C=90°，AB的垂直平分線交?于，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，AB的長．解：連接AM∵是AB垂直平分，∴AMN≌△BMN∴MA=MB∠=∠BAM∵M(jìn)B=，MA=2MC，∴∠=30°，即CMA=60°∵∠CMA=∠+∠且∠B=∠BAM∴B=30°，∴AB=2AC=163、折疊矩形的一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)處,已知求CFEC。A解：由翻折的性質(zhì)可得：AD=AF=BC=10EB

F

C學(xué)習(xí)必備

歡迎下載在eq\o\ac(△,Rt)ABF中得BF=

=6，∴FC=BC-BF=4，設(shè)CE=x，EF=DE=8-x，則在eq\o\ac(△,Rt)ECF中，EF=EC+CF，x+16=（8-x）解可得，故CE=3cm．解析：根據(jù)翻折的性質(zhì)，先在eq\o\ac(△,RT)ABF求出BF進(jìn)而得出FC的長然后設(shè)CE=x，EF=8-x，從而在eq\o\ac(△,RT)CFE應(yīng)用勾股定理可解出x的值，即舉一反三：1、BF的長？、△的積？3求折痕AE的長知點(diǎn)理1

翻折變換（折疊問題2、矩的性質(zhì)3勾股定理的性質(zhì)矩形的性質(zhì)定理：矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)。矩形的四個(gè)角都是直角。矩形的對(duì)角線相等。矩形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)軸。4、如圖，在長方形ABCD中，DC=5在DC邊上存在一點(diǎn)E，沿直線把△ABC折疊，使點(diǎn)D恰好在BC邊上，設(shè)此點(diǎn)為，若△的積為30，求折疊的△AED的面積分析：根據(jù)三角形的面積求得BF的，再根據(jù)勾股定理求得AF的長即為AD的；設(shè)DE=x，EC=5-x，EF=x．根據(jù)勾股定理列方程求得x值，進(jìn)而求的面積．解：由折疊的對(duì)稱性，得AD=AFDE=EF．由=BF?AB=30，AB=5，eq\o\ac(△,S)得BF=12．在eq\o\ac(△,Rt)ABF中由勾股定理，得2222222222222222學(xué)習(xí)必備

歡迎下載．所以AD=13．設(shè)DE=x，EC=5-x，，F(xiàn)C=1，在eq\o\ac(△,Rt)ECF中，+FC=EF，即（）+1=x．解得

．故

．點(diǎn)評(píng)：此題主要是能夠根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到相等的線段，能夠熟練根據(jù)勾股定理列方程求得知的線段．5、如圖，矩形紙ABCD的長AD=9㎝，AB=3㎝將其折疊，使D與點(diǎn)B重合，那么折疊后DE的長是多少？（舉一反三：題干不變，求折痕EF的長？）利用直角三角形可得，就是DE長，造EF為邊的直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理求解．解：連接BD交EF于點(diǎn)O，連接DF根據(jù)折疊，知BD垂平分EF．根據(jù)可證明△DOE≌△BOF，得OD=OB．則四邊形BEDF是菱形．設(shè)DE=x，CF=9-x．在直角三角形DCF中根據(jù)勾股定理，得x（9-x+9解得：．在直角三角形BCD中根據(jù)勾股定理，得BD=3在直角三角形BOF中根據(jù)勾股定理，得OF=

，則OB==

．，則EF=．6、如圖，在長方形ABCD中，沿AC對(duì)折AEC位置，CE與AD交于點(diǎn)F。222222學(xué)習(xí)必備

歡迎下載（1）試說明：AF=FC；2）如果AB=3，BC=4，求的長（舉一反三：

試說明EF=DF．試題分析：1）觀察圖形，可得，F(xiàn)EA=∠DFCAEF=∠CDF，由全等三角形判定方AEF≌△，得EF=DF，而得到AFFC.）在eq\o\ac(△,Rt)CDF中應(yīng)用勾股定理即可得.試題解析：（1）證明：由矩形質(zhì)可知AE=AB=DC，根據(jù)對(duì)頂角相等得，EFA=∠DFC而∠E=∠D=90°∴由可，AEF≌△。AFFC.（）FA=x，F(xiàn)C=x，，在eq\o\ac(△,Rt)CDF中，=CD+DF，即

，解得x=.考點(diǎn):1.翻折變換（折疊問題;2.矩形的性;3.等三角形的判定與性質(zhì);4勾定.7如圖2所示長方形ABCD直線AE折疊點(diǎn)D正好落在邊上F點(diǎn)處知CE=3cm，AB=8cm，圖中陰影部分面積為______．（原題圖不標(biāo)準(zhǔn)重新畫一個(gè)圖）解：設(shè)AD=x，則AF=x在Rt△ABF中，解得222△DBE222△DBE學(xué)習(xí)必備

歡迎下載8、如圖2-3，把矩形ABCD直線BD向上折疊，使C落在C′的位置上，已知AB=，重合部分△EBD的面積為________（舉反三AD=8，AB=4求重疊部分的面積？=10)S

△BED

=

DE?AB以求DE的長∠′BD=∠∠BDADE=BEDE=x則AE=7-x．根據(jù)勾股定理求BE即DE的．解：∵∥（形的性質(zhì)），∴∠DBC=∠BDA（兩直線平行，錯(cuò)角相等）；∵∠C′BD=∠DBC（折的性質(zhì)），∴∠C′BD=∠BDA（量代換），∴DE=BE（角對(duì)等邊）；設(shè)DE=x，AE=7-x．△ABE中x=3+（7-x）．解得x=

297

．87∴=××3=14故答案是：

8714

．9如圖5將正方形ABCD疊使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合折痕交ADE交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G。如果M為CD邊的中點(diǎn)，求證：DE：DM：EM=3：5（舉一反三：如果DM：MC=3：，則DEDMEM=()=8：：17．）析：（）方形的證明題有時(shí)用計(jì)算方法證明比幾何方法簡單，此題設(shè)正方形邊長為a，DE為x則根據(jù)折疊知道DM=，，后在eq\o\ac(△,Rt)中就可以求出x，這樣DE，DN，就都a表了就可以求出它們的比值了；222222222222學(xué)習(xí)必備

歡迎下載解：（）明：設(shè)正方形邊長為a，為，則DM=，EM=EA=a-x在eq\o\ac(△,Rt)DEM中∠D=90°，∴DE+DM=EMx+（）=（a-x）x=EM=DE：DM：：：；知識(shí)點(diǎn)理正方形的性:正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。正方形的四條邊都相等，鄰邊垂直，對(duì)邊平行。正方形的四個(gè)角都是直角。正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。正方形是軸對(duì)稱圖形，它有4條對(duì)稱軸。正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對(duì)角線與邊的夾角是4°10、如圖2-5，長方形ABCD中，AB=3BC=4，若將該矩形折疊，C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，?則折疊后痕跡EF的長為（B）A3.74B．C3.76D．3.77分析：先連接AF，由于矩形關(guān)于EF折，所以EF垂直分AC，么就有AF=CF，ABCD是矩形，那么AB=CD，AD=BC，eq\o\ac(△,Rt)ABF中，設(shè)CF=x，利用勾股定理可求出CF=

，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，利用勾股定理可求，eq\o\ac(△,Rt)COF中再利用勾股定理可求出OF=EF=OE+OF=．

，同理可求OE=

，所以22222222222222222222222222222學(xué)習(xí)必備解答：解：連接AF．∵點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF，垂直分AC，∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°

歡迎下載又∵四邊形ABCD為形∴∠B=90°，AB=CD=3，．設(shè)CF=x，AF=x，BF=4-x，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中由勾股定理得AC=BC+AB=5，且O為AC中，∴，AC=．∵AB+BF=AF∴+（4-x）=x∴x=．∵∠FOC=90°∴OF=FC-OC=（

）-（）=（

）

2∴OF=．同理OE=

．即EF=OE+OF=

．點(diǎn)評(píng)：本題利用了折疊的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于折痕垂直平分，以及矩形性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．11、如圖1-3-11，有一塊塑矩形模板ABCD，長為10cm，寬為，將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上（不與A、重合），在AD上適當(dāng)移動(dòng)三角板頂點(diǎn)P：能否使你的三角板兩直角邊分別通過點(diǎn)B與點(diǎn)？若能，請(qǐng)你求出這時(shí)的長；若不能，請(qǐng)說明理由.再次移動(dòng)三角板位置使三角板頂點(diǎn)P在AD移動(dòng)直角邊PH始終通過點(diǎn)B另一直角邊PF與DC的延長線交于點(diǎn)Q，與BC交于點(diǎn)E，能否CE=2cm？若能，請(qǐng)你求出這AP的長；若不能，請(qǐng)你說明理由.（）兩直角邊，能別過點(diǎn)B與點(diǎn)，222222222222222222222222222222222222222222222學(xué)習(xí)必備

歡迎下載∵∠HPF=90°∴+PC=BC=100又設(shè)PA=x，∵∠A=∠D=90°，在ABP△中∴PA+AB=PB，+CD=PC∵PA+PD=AD=10，∴+16+(10-x)+16=PB=100化簡得x-10x+16=0即x-5)＝，以x-5，解之得x=2，=812∵，∴當(dāng)PA=2cm或8cm時(shí)，三角板直角邊，PF分別過點(diǎn)B，C.（）圖2），過點(diǎn)E作⊥AD于點(diǎn)，PGE=90根據(jù)題意得：，EG=CD=4∵BE+CE=BC=10∴BC=8在△PBE中，∵∠BPE=90°∴=BE=64又∵∠∠D=90°∴+AB=PB，+PG+EG=PE而AB=EG=4，設(shè)AP=X，則PG=8-x∴+16+(8-x)+16=64化得x解之得x=x=412答：當(dāng)時(shí)，經(jīng)過B，與BC交于E，且12、如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=ACD是斜邊BC的中點(diǎn)，、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE，若BE=12，求線段EF的長。學(xué)習(xí)必備

歡迎下載舉一反三：如圖，△ABC是腰直角三角形AB=AC，是斜BC中點(diǎn)，、分是AB、AC邊上點(diǎn)，且DE⊥DF請(qǐng)說明DE=DF；請(qǐng)說明BE+CF=EF；若BE=6，CF=8，求△的積(直接寫結(jié))答案：解：（）接AD因?yàn)椤魇堑妊苯侨切?，D為斜BC中點(diǎn)所以，⊥且AD平分BAC，AD=BD=CD所以，∠∠C=45°又已知DE⊥所以，∠∠FDA=90°而，∠∠FDA=90°所以，∠∠那么，在△ADE和△CDF中：∠∠DCF（∠C）=45°（已）DA=DC（證）∠∠CDF（已證）所以，△ADE≌△所以，AE=CF，DE=DF。（）為AE=CF，AB=AC所以AB-AE=AC-CF即BE=CFRt△中∠A=90度學(xué)習(xí)必備

歡迎下載所以所以。（）的積為25。13、如圖，公MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，∠QPN30A處有一所中學(xué)AP。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？【答案分析作AH⊥于H根據(jù)度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AH=PA=80m于這個(gè)距離小于100m所以可判斷拖拉機(jī)在公路沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校受到噪音影響；然后以點(diǎn)A為圓心100m為半徑作A交BC根據(jù)垂徑定理得BH=CH再根據(jù)勾股定理計(jì)算出BH=60mBC=2BH=120m，然后根據(jù)度公式計(jì)算出拖拉機(jī)在線段上行駛所需要的時(shí)間．解答：解：學(xué)校受到噪音影響．理由如下：作AH⊥于H，如圖，∵PA=160m∠QPN=30°，∴PA=80m，而＜100m，∴拖拉機(jī)在公路MN上PN方向行駛時(shí)，學(xué)受到噪音影響，以點(diǎn)為圓心，100m半徑作⊙AMNB、C，如圖，∵⊥，∴BH=CH在eq\o\ac(△,)ABH中，AB=100m，AH=80m，BH==60m∴BC=2BH=120m，學(xué)習(xí)必備

歡迎下載∵拖拉機(jī)的速度=18km/h=5m/s∴拖拉機(jī)在線段BC上行駛所需要的時(shí)間

=24（秒），∴學(xué)校受影響的時(shí)間為秒．點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O半徑為，圓心O到線l的距離d，直線l和⊙交d＜r；直線l和⊙O相切d=r；當(dāng)直線l和⊙相d＞r．也考查了垂徑定理、勾股定理以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．考點(diǎn)八應(yīng)用勾股定解決勾樹問題1、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5則正方形A，B，CD的面積的和為25根據(jù)題意仔細(xì)觀察可得到正方形ABD的面的和等于最大的正方形的面積，已知最大的正形的邊長則不難求得其面積．解：由圖可看出A，B的積和等于其相鄰的直角三角形的斜邊的平方，即等于最大正方形上方的三角形的一個(gè)直角邊的平方；C，D的積和等于與其相鄰的三角形的斜邊的平方，即等于最大正方形的另一直角邊的平方，則A，，C，四個(gè)正方形的面和等于最大的正方形上方的直角三角形的斜邊的平方即等于最的正方形的面積，因?yàn)樽畲蟮恼叫蔚倪呴L為5，其面積是25即正方形A，BC，D的積的和為．故答案為．2、已知△是邊長為1的等腰直角三角形，以Rt△的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰Rt△，再以Rt△的斜邊AD直角邊，畫第三個(gè)等腰△ADE，，依此類推，n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長是．學(xué)習(xí)必備

歡迎下載

解：根據(jù)勾股定理，第1個(gè)等直角三角形的斜邊長是，

第2個(gè)等腰直角三角形的斜邊長是2=（

），3個(gè)腰直角三角形的邊長是

=（），第n個(gè)腰直角三角形的斜邊長是（）．解析：依次、反復(fù)運(yùn)用勾股定理計(jì)算，根據(jù)計(jì)算結(jié)果即可得到結(jié)論．考點(diǎn)九圖形問題1圖1，求該四邊形的面積2圖2，已知，在△ABC中∠A=45，AC2AB=，邊BC的長為2

．12

C

3

B3某公司的大門如圖所示,其中四邊形ＡＢＣＤ是長方形上部是以ＡＤ為直徑的半圓,其中ＢｍＢＣ=2ｍ,現(xiàn)有一輛裝滿

D

13

A

4學(xué)習(xí)必備

歡迎下載貨物的卡車,高為2.5,寬為1.6,問這輛卡車能否通過司的大門并說明你的理由.（注意：答案所標(biāo)字母順序與題干不一樣）點(diǎn)：股定理析：因上部為直徑的為中為圓的圓為徑的車寬一半根據(jù)股理的長度如的2.5車可通過否則能過．答

：能過，由下設(shè)O為圓圓心，O圖，直（已）半，∴Rt△中，2222=0.36能通評(píng)：題考定的長度半的半OF為貨根據(jù)勾定可求的的判度2.5大小系，大2.5以過，則能4一根長24㎝的筷子置于地面直徑為5㎝，高為12的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長為h，則h的取值范圍。先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理解答即可．解：當(dāng)筷子與杯底垂直時(shí)h最，最大=24-12=12cm當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時(shí)h最小，如圖所示：此時(shí)AB==13cm222222222222222222222222222222222學(xué)習(xí)必備

歡迎下載故．故h的值范圍是11cm≤≤．5、如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、為兩村莊，DA?垂直于A，垂直AB于B，已知AD=15kmBC=10km，現(xiàn)在要在鐵AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E，使CD兩村到E站的距離相等，則E站建在距站多少千米處？由勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即可求，即在直角三角形DAE和角三角形CBE中DE=AD+AE，=BE+BC，∴+AE=BE+BC設(shè)AE，則BE=25-x，BC=10代關(guān)系式即可得．解：∵、兩到E站離相等，CE=DE在eq\o\ac(△,Rt)DAE和eq\o\ac(△,Rt)CBE中，DE+AE，，∴AD+AE=BE+BC．設(shè)AE為x，則BE=25-x，將BC=10，DA=15代關(guān)系式為x+15（25-x+10，整理得，，解得x=10，∴站建在距A站10km處．考點(diǎn)十其他圖形與角三角1、如圖是一塊地，已知AD=8m，，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求這塊地的面積?？键c(diǎn)十：與展開圖關(guān)的計(jì)學(xué)習(xí)必備

歡迎下載1、如圖，在棱長為1的正方體—A’B’C’D’的表面上，求從頂點(diǎn)A頂點(diǎn)C’的最短距離．

解：如圖將正方體展開，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”知，線段AC即最短路線．1∵正方體的邊長為1，∴AC==．1舉反：、如圖個(gè)長方體盒子一只螞蟻由A出發(fā)盒子的表面上爬到點(diǎn)C已AB=5cmBC=3cm=4cm，則這只螞蟻爬行的最短路程是_____cm．解析：題中由A出，盒子的表面上爬到點(diǎn)C有兩種爬法，即從前面到上面和從前面到右面，將兩種爬法所經(jīng)過的面分別展開，構(gòu)成兩個(gè)長方形，連接AC，用勾股定理求出距離再比較即可．解：（）圖2，經(jīng)過上面，AC==cm（）圖3，經(jīng)過右面，=cm＜，以此題答案為cm．如圖，長方體的長BE=17cm，寬AB=7cm，高BC=7cm，只小螞蟻從長方體表面由A點(diǎn)到D點(diǎn)吃食物，學(xué)習(xí)必備

歡迎下載則小螞蟻?zhàn)叩淖疃搪烦淌莀____cm．解析：螞蟻有兩種爬法，就是把正視和俯視（或正視和側(cè)視）二個(gè)面展平成一個(gè)長方形，然后求其對(duì)線，比較大小即可求得最短路程．解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個(gè)平面，則這個(gè)長方形的長和寬分別是24和，則所走的最短線段是=25；第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個(gè)長方形，則這個(gè)長方形的長和寬分別是17和14，所以走的最短線段是；第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個(gè)長方形，則這個(gè)長方形的長和寬分別是10和，所以走的最短線段是=25三種情況比較而言，第二種情況最短．故答案為：．知點(diǎn)理平面展開——最短路徑問題求解方法：解決此類問題時(shí)，要先確定好該路徑的起點(diǎn)終點(diǎn)，以及方體的平面展開圖，借助勾股定理來求得路徑的長度。由于展開的方法可以多種，因此對(duì)于路徑的求解是有多種方法，在這里必定有一個(gè)最小值，此值為最短路徑。2、如圖一個(gè)圓柱，底圓周6cm，4cm，一只螞蟻沿外壁爬行，要A點(diǎn)爬到點(diǎn)，則最少要爬行cm

BA3國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊A、B、C、，且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分．請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線．學(xué)習(xí)必備

歡迎下載分析：設(shè)正方形的邊長為a，算出各種情況時(shí)正方形的面積，然后進(jìn)行比較從而解得．解答：

解：方案（）省電線，提示：設(shè)正方形邊長為a，則方①需用線3a方案②需用線3a，方案③需用線如圖所示：∵，

a，∴A