高中數學排列組合書的計算與證明講義與練習

高中數學擺列組合書的計算與證明講義與練習高中數學擺列組合書的計算與證明講義與練習高中數學擺列組合書的計算與證明講義與練習高中數學擺列組合書的計算與證明講義與練習知識內容1．基本計數原理⑴加法原理分類計數原理：做一件事，達成它有n類方法，在第一類方法中有m1種不一樣的方法，在第二類方法中有m2種方法，，在第n類方法中有mn種不一樣的方法．那么達成這件事共有Nm1m2Lmn種不一樣的方法．又稱加法原理．⑵乘法原理分步計數原理：做一件事，達成它需要分紅n個子步驟，做第一個步驟有m1種不一樣的方法，做第二個步驟有m2種不一樣方法，，做第n個步驟有mn種不一樣的方法．那么達成這件事共有Nm1m2Lmn種不同的方法．又稱乘法原理．⑶加法原理與乘法原理的綜合運用假如達成一件事的各樣方法是互相獨立的，那么計算達成這件事的方法數時，使用分類計數原理．假如達成一件事的各個步驟是互相聯系的，即各個步驟都一定達成，這件事才告達成，那么計算達成這件事的方法數時，使用分步計數原理．分類計數原理、分步計數原理是推導擺列數、組合數公式的理論基礎，也是求解擺列、組合問題的基本思想方法，這兩個原理十分重要一定仔細學好，并正確地靈巧加以應用．2．擺列與組合⑴擺列：一般地，從n個不一樣的元素中任取m(m≤n)個元素，依據必定的次序排成一列，叫做從n個不一樣元素中拿出m個元素的一個擺列．（此中被取的對象叫做元素）擺列數：從n個不一樣的元素中拿出m(m≤n)個元素的所有擺列的個數，叫做從n個不一樣元素中拿出m個元素的擺列數，用符號Anm表示．擺列數公式：Amn全擺列：一般地，的階乘：正整數由

nn1)(n2)L(nm1)，m，nN，而且m≤n．(n個不一樣元素所有拿出的一個擺列，叫做n個不一樣元素的一個全擺列．1到n的連乘積，叫作n的階乘，用n!表示．規(guī)定：0!1．⑵組合：一般地，從n個不一樣元素中，隨意拿出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個元素中任取m個元素的一個組合．組合數：從n個不一樣元素中，隨意拿出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不一樣元素中，隨意拿出m個元素的組合數，用符號Cmn表示．mn(n1)(n2)L(nm1)n!，m,nN，而且m≤n．組合數公式：Cnm!m!(nm)!組合數的兩個性質：性質1：CnmCnnm；性質2：Cnm1CnmCnm1．（規(guī)定Cn01）⑶擺列組合綜合問題-1-解擺列組合問題，第一要用好兩個計數原理和擺列組合的定義，即第一弄清是分類仍是分步，是擺列仍是組合，同時要掌握一些常有種類的擺列組合問題的解法：1．特別元素、特別地點優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其余元素；地點優(yōu)先法：先考慮有限制條件的地點的要求，再考慮其余地點；2．分類分步法：對于較復雜的擺列組合問題，常需要分類議論或分步計算，必定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏．3．清除法，從整體中清除不切合條件的方法數，這是一種間接解題的方法．4．捆綁法：某些元素必相鄰的擺列，能夠先將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其余元素進行擺列，而后再給那“一捆元素”內部擺列．5．插空法：某些元素不相鄰的擺列，能夠先排其余元素，再讓不相鄰的元素插空．6．插板法：n個同樣元素，分紅m(m≤n)組，每組起碼一個的分組問題——把n個元素排成一排，從n1個空中選m1個空，各插一個隔板，有Cnm11．7．分組、分派法：分組問題（分紅幾堆，無序）．有平分、不平分、部分平分之別．一般地均勻分成n堆（組），一定除以n！，假如有m堆（組）元素個數相等，一定除以m！8．錯位法：編號為1至n的n個小球放入編號為1到n的n個盒子里，每個盒子放一個小球，要求小球與盒子的編號都不一樣，這類擺列稱為錯位擺列，特別當n2，3，4，5時的錯位數各為1，2，9，44．對于5、6、7個元素的錯位擺列的計算，能夠用剔除法轉變?yōu)?個、3個、4個元素的錯位擺列的問題．1．擺列與組合應用題，主要考察有附帶條件的應用問題，解決此類問題往常有三種門路：①元素剖析法：以元素為主，應先知足特別元素的要求，再考慮其余元素；②地點剖析法：以地點為主考慮，即先知足特別地點的要求，再考慮其余地點；③間接法：先不考慮附帶條件，計算出擺列或組合數，再減去不切合要求的擺列數或組合數．求解時應注意先把詳細問題轉變或歸納為擺列或組合問題；再經過剖析確立運用分類計數原理仍是分步計數原理；而后剖析題目條件，防止“選用”時重復和遺漏；最后列出式子計算作答．2．詳細的解題策略有：①對特別元素進行優(yōu)先安排；②理解題意后進行合理和正確分類，分類后要考證能否不重不漏；③對于抽出部分元素進行擺列的問題一般是先選后排，以防出現重復；④對于元素相鄰的條件，采納捆綁法；對于元素間隔擺列的問題，采納插空法或隔板法；⑤次序固定的問題用除法辦理；分幾排的問題能夠轉變?yōu)橹迸艈栴}辦理；⑥對于正面考慮太復雜的問題，能夠考慮反面．⑦對于一些擺列數與組合數的問題，需要結構模型．典例剖析擺列數組合數的簡單計算【例1】對于知足n≥13的正整數n，n5n6...n12（）A．A7n12B．An75C．An85D．A12n5-2-【例2】計算Α37______．【例3】計算A310，A66；【例4】計算C27______，C57_______．【例5】計算C103，C86；【例6】計算A73，A104，C73，C5048，C192C193．【例7】已知Α42n1140Α3n，求n的值．【例8】解不等式A8x6A8x2【例9】證明：A999A888A77A88．【例10】解方程A32x100A2x．-3-【例11】解不等式A8x6A8x2．【例12】解方程：11C3x24C2x1【例13】解不等式：C8m13C8m．【例14】設[x]表示不超過x的最大整數（如[2]2，51），對于給定的nN，定義4xn(n1)L(nx1)，x1，，則當x3，時，函數x的值域是（）Cnx(x1)L(xx1)23C8A．16B．16,56,2833C．4,28U28,56D．4,16U28,28333【例15】組合數Cnrnr≥1，n、rZ恒等于（）A．r1Cnr11B．n1r1Cnr11C．nrCnr11D．nCnr11n1r【例16】已知Cmn2:Cmn21:Cmn223:5:5，求m、n的值．-4-擺列數組合數公式的應用【例17】已知Cn203Cn202C221Cn22Cn211，求Cn21的值．【例18】若C220n6Cn202,(nN)，則n_______【例19】若Cmn1∶Cmn∶Cmn13∶4∶5，則nm【例20】證明：nCkn(k1)Ckn1kCknn11n【例21】證明：CinCni11．i0i1n1i0m1m1m2．【例22】求證：AnAn1(m1)An1nkCnkn2n1．【例23】證明：k0-5-【例24】證明：Cn12Cn23Cn3LnCnnn(Cn0Cn1LCnn)．2【例25】求證：CnnCnn1Cnn2LCnnmCnn1m1；【例26】計算：C299C399，C04C15C26LC913【例27】證明：C0mCknC1mCkn1C2mCkn2LCkmC0nCknm．（此中k≤min{m，n}）【例28】解方程Cxx5Cxx13Cxx233Α2x34-6-【例29】確立函數A3x的單一區(qū)間．【例30】規(guī)定Amxx(x1)L(xm