線性方程組的消元法和矩陣的初等變換

線性方程組的消元法和矩陣的初等變換第一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)線性方程組的消元法一、線性方程組的基本概念1.線性方程組的定義引例 有三家生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的工廠A1、A2、A3，其年產(chǎn)量分別為40t，20t和10t，該產(chǎn)品每年有兩個(gè)用戶B1、B2，其用量分別為45t和25t第二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日引例

有三家生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的工廠A1、A2、A3，其年產(chǎn)量分別為40t，20t和10t，該產(chǎn)品每年有兩個(gè)用戶B1、B2，其用量分別為45t和25t不妨假設(shè)每噸貨物每公里的運(yùn)費(fèi)為1元，問(wèn)各廠的產(chǎn)品如何調(diào)配才能使總運(yùn)費(fèi)最少？第三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日解設(shè)各廠到各用戶的產(chǎn)品數(shù)量如表1-2依題意，3個(gè)廠的總產(chǎn)量和用戶的總用量相等：第四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日再來(lái)看總運(yùn)費(fèi)，由表1-1：12于是，題目要解決的問(wèn)題是：使之滿足方程組①和②并使總運(yùn)費(fèi)最少.第五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日

幾個(gè)線性方程聯(lián)立在一起，稱為線性方程組，若未知數(shù)的個(gè)數(shù)為n，方程個(gè)數(shù)為m，則線性方程組可以寫(xiě)成如下形式：若常數(shù)項(xiàng)均為0，則稱方程組為齊次線性方程組，否則，稱為非齊次線性方程組.第六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日2.線性方程組的線性組合線性方程的加法：將兩個(gè)線性方程(1)(2)的左右兩邊相加得到如下的新線性方程：稱為原來(lái)兩個(gè)線性方程的和。第七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日線性方程乘常數(shù)將線性方程兩邊同乘以已知常數(shù)，線性方程與常數(shù)相乘，也稱為方程的數(shù)乘。線性方程的線性組合將線性方程(1)和(2)分別稱兩個(gè)已知常數(shù)再將所得的兩個(gè)方程相加，得到新方程：得到一個(gè)新的線性方程：第八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日(3)稱為原來(lái)兩個(gè)方程(1)和(2)的一個(gè)稱為這個(gè)線性方程的組合系數(shù)。將(1)和(2)看作一個(gè)線性方程組，其任意組解一定是線性組合(3)的解。對(duì)給定的兩個(gè)線性方程組(I)和(II)，如果(II)中每個(gè)方程都是(I)中方程的線性組合，就稱(II)是(I)的線性組合。線性組合，若方程組(I)和(II)互為線性組合，則稱這兩個(gè)方程組等價(jià)，等價(jià)的線性方程組一定同解。將方程組(I)變成方程組(II)的過(guò)程稱為同解變換。第九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日例1二、線性方程組的消元法求解線性方程組1、線性方程組的初等變換第十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日解第十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日用“回代”的方法求出解：第十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日于是解得(2)第十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．（以替換）定義1上述三種變換均稱為線性方程組的初等變換．（以替換）（與相互替換）第十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．定理1線性方程組的初等變換總是把方程組變成同解方程組．第十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)第十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)第十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)第十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)第十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)第二十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日定理2在齊次線性方程組證明：顯然，方程組在化成階梯型方程組之后，方程個(gè)數(shù)不會(huì)超過(guò)原方程組中方程個(gè)數(shù)，即第二十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)矩陣的初等變換

為了簡(jiǎn)化方程組的表達(dá)，可以省掉各個(gè)未知數(shù)，只考慮系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，把它們排成一個(gè)表，用這個(gè)表代替線性方程組，直接對(duì)這個(gè)表進(jìn)行與求解線性方程組相應(yīng)的初等變換，這樣在表達(dá)上可以更加簡(jiǎn)潔和直觀。為此，我們將引出矩陣的概念，介紹用矩陣的初等行變換將線性方程組化為階梯型方程組后求解。第二十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日1.線性方程組的解取決于系數(shù)常數(shù)項(xiàng)一、矩陣及其初等變換第二十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表的研究.線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為第二十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日由個(gè)數(shù)排成的m行n列矩陣的數(shù)表稱為m行n列矩陣.簡(jiǎn)稱矩陣.記作定義1第二十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日簡(jiǎn)記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.第二十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日例如是一個(gè)實(shí)矩陣,是一個(gè)復(fù)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣.第三十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日例如是一個(gè)3階方陣.幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作第三十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).

稱為對(duì)角矩陣(或?qū)顷嚕?（3）形如的方陣,不全為0第三十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如記作（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.第三十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日（5）方陣稱為單位矩陣（或單位陣）.同型矩陣與矩陣相等的概念

1.兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時(shí),稱為同型矩陣.全為1第三十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日

2.兩個(gè)矩陣為同型矩陣,并且對(duì)應(yīng)元素相等,即則稱矩陣相等,記作例如為同型矩陣.第三十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日矩陣的轉(zhuǎn)置（1）定義

設(shè)是一個(gè)矩陣，把A的各行都變?yōu)榱?，不改變它們前后的順序而得到的矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為A'

（或AT）即A'=第三十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日線性方程組稱為方程組的系數(shù)矩陣；稱為方程組的增廣矩陣。第三十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:定義2第三十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：一般，將具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)．同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.定義3第三十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日例1求解線性方程組解：用矩陣的初等行變換解方程組第四十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第四十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第四十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日特點(diǎn)：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．第四十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日注意：行最簡(jiǎn)形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．第四十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日例2求解方程組解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換，得第四十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日顯然無(wú)解,故方程組無(wú)解.第四十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日例如，二、用矩陣的初等變換化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)型行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過(guò)初等列變換